Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Sachaufgaben und Problemlösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele raten wild herum oder rechnen 56 − 20. Manche geben nach zwei Versuchen auf, andere finden die Lösung zufällig, können aber nicht sagen, wie. Wenn der Weg nicht dasteht, hilft ein Werkzeug: Wir legen eine Tabelle an und probieren mit System, Zeile für Zeile. So kommt jede und jeder ans Ziel und kann den Weg erklären.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Größen rechnet man mit Einheit, und vor dem Rechnen stehen alle Angaben in derselben Einheit.

●39
Ein Datenpaket fürs Handy hat 24.000 MB. Jeden Tag verbrauchst du 400 MB. Wie viele Tage reicht das Paket?
Lösung zeigen
1. 24.000 geteilt durch 400
2. Das Paket reicht 60 Tage
Ergebnis:
60 Tage
●40
Du kaufst Sachen für 5,13 €, 7,37 € und zahlst mit einem 20-€-Schein. Berechne das Rückgeld.
Lösung zeigen
1. Summe: 5,13 + 7,37 = 12,50 €
2. Rückgeld: 20 − 12,5 = 7,50 €
Ergebnis:
7,50 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Situation, dann die Rechnung

Eine Sachaufgabe ist eine Situation und keine Zahlensammlung. Erst klären, was gefragt und was gegeben ist, dann einen Weg wählen: Skizze, Tabelle oder rückwärts. Zum Schluss wird das Ergebnis an der Situation geprüft.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und was verrät dir diese Frage über das Lösen von Sachaufgaben?

1Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

EntdeckenFrage

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann niemand wissen – die Zahlen haben mit dem Alter nichts zu tun. Trotzdem rechneten in französischen Untersuchungen viele Grundschulkinder 26 + 10 = 36 und schrieben „36 Jahre“. Wer zuerst die Frage liest, fällt darauf nicht herein.

MerkenWichtige und überflüssige Angaben

Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Fehlt eine Angabe, kann man die Frage nicht beantworten.

BeispielÜberflüssige Angaben erkennen

Ein Beet ist 6 m lang und 5 m breit. Darin wachsen 33 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.

Schritt für Schritt

Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
Nicht gebraucht: 33 Tulpen.
Umfang: 2 · 6 m + 2 · 5 m
2 · 6 m + 2 · 5 m = 22 m

Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
Nicht gebraucht: 33 Tulpen.
Umfang: 2 · 6 m + 2 · 5 m
2 · 6 m + 2 · 5 m = 22 m

Ergebnis:

überflüssig: 33 Tulpen; 22 m

AchtungAngaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €

So richtig

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

○1
Ein Bus fährt um 9:45 Uhr los. Er braucht 40 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 13 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
So fängst du an:
Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
2. Nicht gebraucht: 13 Haltestellen.
3. 9:45 Uhr und 40 min
4. Ankunft: 10:25 Uhr
Ergebnis:
überflüssig: 13 Haltestellen; 10:25 Uhr
●2
Tom ist 11 Jahre alt und kauft 5 Hefte zu je 1,50 €. Was kosten die Hefte zusammen? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
2. Nicht gebraucht: 11 Jahre.
3. 5 · 1,50 € = 7,50 €
Ergebnis:
überflüssig: 11 Jahre; 7,50 €
★3
Ein Bus fährt um 8:15 Uhr los. Er braucht 25 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 8 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
2. Nicht gebraucht: 8 Haltestellen.
3. 8:15 Uhr und 25 min
4. Ankunft: 8:40 Uhr
Ergebnis:
überflüssig: 8 Haltestellen; 8:40 Uhr

2Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

In einem Käfig sitzen Fasane und Kaninchen, zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

23 Fasane und 12 Kaninchen: 23 · 2 + 12 · 4 = 46 + 48 = 94. Das Rätsel steht in einem chinesischen Rechenbuch, das rund 1500 Jahre alt ist. Mit einer Tabelle und systematischem Probieren findet man die Lösung, ohne zu raten.

MerkenEine Skizze hilft

Zeichne die Sache einfach und klein.

An der Skizze sieht man, was man zählen muss. Ein Zaun mit Pfählen an beiden Enden hat einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

BeispielMit einer Skizze zählen: Pfähle und Bäume

Ein Zaun ist 24 m lang. Alle 4 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?

Schritt für Schritt

Zwischenräume: 24 m : 4 m = 6
Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
6 + 1 = 7

Zwischenräume: 24 m : 4 m = 6
Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
6 + 1 = 7

Ergebnis:

7 Pfähle

AchtungAnfang oder Ende nicht mitgezählt

So nicht

Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 → 10 Pfähle

So richtig

Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 = 10 Zwischenräume → 11 Pfähle

Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt es: Bei zwei Enden gibt es einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

ÜbenJetzt du

○4
Ein rechteckiger Garten ist 15 m lang und 6 m breit. Rundherum kommt alle 3 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
So fängst du an:
Umfang: 2 · 15 m + 2 · 6 m = 42 m
Lösung zeigen
1. Umfang: 2 · 15 m + 2 · 6 m = 42 m
2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
3. 42 m : 3 m = 14
Ergebnis:
14 Pfähle
●5
An beiden Seiten eines 50 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 5 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Zwischenräume auf einer Seite: 50 m : 5 m = 10
2. Bäume auf einer Seite: 10 + 1 = 11
3. Beide Seiten: 2 · 11 = 22
Ergebnis:
22 Bäume
★6
Eine Straße ist 168 m lang. Alle 8 m steht eine Laterne, aber nicht an den beiden Enden. Wie viele Laternen stehen dort?
Lösung zeigen
1. Zwischenräume: 168 m : 8 m = 21
2. Ohne die beiden Enden: eine Laterne weniger als Zwischenräume.
3. 21 − 1 = 20
Ergebnis:
20 Laternen

3Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein 20 m langer Zaun, wenn alle 2 m einer steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Elf, nicht zehn: 20 : 2 = 10 Zwischenräume, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Dieser Fehler ist so verbreitet, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler. Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt ihn sofort.

MerkenTabelle und Probieren

Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.

Jede Zeile prüft alle Bedingungen. So wird nichts vergessen, und man sieht, in welche Richtung man weitergehen muss.

BeispielKöpfe und Beine: systematisch probieren

Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 8 Köpfe und 30 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?

Schritt für Schritt

Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
Probieren: 4 Kaninchen, 4 Hühner: 16 + 8 = 24 Beine
Probieren: 7 Kaninchen, 1 Hühner: 28 + 2 = 30 Beine
Passt: 7 Kaninchen und 1 Hühner.

Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
Probieren: 4 Kaninchen, 4 Hühner: 16 + 8 = 24 Beine
Probieren: 7 Kaninchen, 1 Hühner: 28 + 2 = 30 Beine
Passt: 7 Kaninchen und 1 Hühner.

Ergebnis:

7 Kaninchen

AchtungNoch einmal: Angaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €

So richtig

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

○7
Im Hof stehen 8 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 17 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
So fängst du an:
Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
2. Probieren: 1 Dreiräder, 7 Fahrräder: 3 + 14 = 17 Räder
3. Passt: 1 Dreiräder und 7 Fahrräder.
Ergebnis:
1 Dreiräder
●8
Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 14 Köpfe und 42 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
2. Probieren: 5 Kaninchen, 9 Hühner: 20 + 18 = 38 Beine
3. Probieren: 7 Kaninchen, 7 Hühner: 28 + 14 = 42 Beine
4. Passt: 7 Kaninchen und 7 Hühner.
Ergebnis:
7 Kaninchen
★9
Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 25 Köpfe und 96 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
2. Probieren: 12 Kaninchen, 13 Hühner: 48 + 26 = 74 Beine
3. Probieren: 23 Kaninchen, 2 Hühner: 92 + 4 = 96 Beine
4. Passt: 23 Kaninchen und 2 Hühner.
Ergebnis:
23 Kaninchen

4Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

EntdeckenFrage

Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago – und wie kann man das ohne Nachschlagen schätzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Diese Frage stellte der Physiker Enrico Fermi seinen Studierenden. Mit wenigen Annahmen – Einwohner, Haushalte mit Klavier, wie oft ein Klavier gestimmt wird, wie viele Klaviere ein Stimmer schafft – kommt man auf eine Zahl in der Größenordnung von hundert.

MerkenRückwärtsarbeiten

Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärtsarbeiten mit Anzahlen und Geld

Sara hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 4 Stück. Vom Rest behält Sara die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Sara behält 10 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?

Schritt für Schritt

Rückwärts: Sara behält 10 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
Rest: 10 · 2 = 20
Vor dem Bruder: 20 + 4 = 24

Rückwärts: Sara behält 10 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
Rest: 10 · 2 = 20
Vor dem Bruder: 20 + 4 = 24

Ergebnis:

24 Bonbons

AchtungRückwärts mit derselben Rechenart gerechnet

So nicht

Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 − 4 → 4 · 2 → 8 €

So richtig

Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 + 4 = 12 → 12 · 2 = 24 €

Rückwärts dreht jede Rechnung um: plus wird minus, mal wird geteilt – und der letzte Schritt kommt zuerst.

ÜbenJetzt du

○10
Paul hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 7 Stück. Vom Rest behält Paul die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Paul behält 13 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
So fängst du an:
Rückwärts: Paul behält 13 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
Lösung zeigen
1. Rückwärts: Paul behält 13 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
2. Rest: 13 · 2 = 26
3. Vor dem Bruder: 26 + 7 = 33
Ergebnis:
33 Bonbons
●11
Sara gibt die Hälfte des Taschengeldes für Kinokarten aus. Danach kauft Sara ein Eis für 6 €. Jetzt sind noch 10 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Ende: 10 €
2. Das Eis zurückrechnen: 10 € + 6 € = 16 €
3. Die Hälfte zurückrechnen: 16 € · 2 = 32 €
Ergebnis:
32 €
★12
Sara gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein Buch aus. Danach kauft Sara ein Eis für 5 €. Jetzt sind noch 6 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Ende: 6 €
2. Das Eis zurückrechnen: 6 € + 5 € = 11 €
3. Die Hälfte zurückrechnen: 11 € · 2 = 22 €
Ergebnis:
22 €

5Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

EntdeckenFrage

Ist die große Familienpackung immer billiger als die kleine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Manchmal kostet ein Kilogramm in der Großpackung mehr. Deshalb muss im Laden neben dem Preis auch der Grundpreis stehen, zum Beispiel der Preis für ein Kilogramm oder einen Liter. Nur damit kann man Angebote wirklich vergleichen.

MerkenSchätzen mit Annahmen

Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.

Man rechnet mit runden Zahlen und rundet das Ergebnis, denn genauer sind die Annahmen nicht.

BeispielSchätzen mit Annahmen

Wie oft schlägt dein Herz an einem Tag? Nimm an: etwa 90-mal in der Minute. Runde auf Tausender.

Schritt für Schritt

In einer Stunde: 90 · 60 = 5400
An einem Tag: 5400 · 24 = 129.600
Auf Tausender gerundet: 130.000

In einer Stunde: 90 · 60 = 5400
An einem Tag: 5400 · 24 = 129.600
Auf Tausender gerundet: 130.000

Ergebnis:

etwa 130.000-mal

AchtungErgebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht

130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse

So richtig

130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

○13
Wie viel Wasser verbraucht eine Familie zum Duschen in einem Monat? Nimm an: 4 Personen duschen jeden Tag, jede Dusche braucht etwa 50 Liter, der Monat hat 30 Tage. Runde auf Hunderter.
So fängst du an:
An einem Tag: 4 · 50 Liter = 200 Liter
Lösung zeigen
1. An einem Tag: 4 · 50 Liter = 200 Liter
2. 30 Tage: 200 · 30 = 6000
3. Gerundet: 6000 Liter
Ergebnis:
etwa 6000 Liter
●14
Wie viel Wasser verbraucht eine Familie zum Duschen in einem Monat? Nimm an: 3 Personen duschen jeden Tag, jede Dusche braucht etwa 80 Liter, der Monat hat 30 Tage. Runde auf Hunderter.
Lösung zeigen
1. An einem Tag: 3 · 80 Liter = 240 Liter
2. 30 Tage: 240 · 30 = 7200
3. Gerundet: 7200 Liter
Ergebnis:
etwa 7200 Liter
★15
Wie oft schlägt dein Herz an einem Tag? Nimm an: etwa 75-mal in der Minute. Runde auf Tausender.
Lösung zeigen
1. In einer Stunde: 75 · 60 = 4500
2. An einem Tag: 4500 · 24 = 108.000
3. Auf Tausender gerundet: 108.000
Ergebnis:
etwa 108.000-mal

6Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

EntdeckenFrage

Wann musst du losgehen, wenn der Bus um 7:42 Uhr fährt und du 9 Minuten zur Haltestelle brauchst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Um 7:33 Uhr – man rechnet vom Ziel aus rückwärts. Der Mathematiker George Pólya nannte das Rückwärtsarbeiten eine der wichtigsten Strategien: beim Gesuchten anfangen und fragen, was man dafür braucht.

MerkenDer Rechenplan

Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?

Dann Schritt für Schritt rechnen und jedes Zwischenergebnis mit Einheit notieren.

BeispielMit einem Rechenplan in mehreren Schritten

Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 6 m lang und 3 m breit. Für 1 m² braucht man 20 g Samen. Eine Packung enthält 250 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?

Schritt für Schritt

Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
Fläche: 6 m · 3 m = 18 m²
Samen: 18 · 20 g = 360 g
Packungen: 360 g : 250 g, aufgerundet 2

Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
Fläche: 6 m · 3 m = 18 m²
Samen: 18 · 20 g = 360 g
Packungen: 360 g : 250 g, aufgerundet 2

Ergebnis:

2 Packungen

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht

0,3 · 0,2 = 0,6

So richtig

0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 6 m lang und 6 m breit. Für 1 m² braucht man 20 g Samen. Eine Packung enthält 500 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
So fängst du an:
Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
Lösung zeigen
1. Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
2. Fläche: 6 m · 6 m = 36 m²
3. Samen: 36 · 20 g = 720 g
4. Packungen: 720 g : 500 g, aufgerundet 2
Ergebnis:
2 Packungen
●17
Zu einer Feier kommen 8 Kinder. Jedes isst 3 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 8,00 €. Was kosten die Pizzen?
Lösung zeigen
1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
2. Stücke: 8 · 3 = 24
3. Pizzen: 24 : 6 = 4
4. Preis: 4 · 8,00 € = 32,00 €
Ergebnis:
32,00 €
★18
Zu einer Feier kommen 12 Kinder. Jedes isst 3 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 8,00 €. Was kosten die Pizzen?
Lösung zeigen
1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
2. Stücke: 12 · 3 = 36
3. Pizzen: 36 : 6 = 6
4. Preis: 6 · 8,00 € = 48,00 €
Ergebnis:
48,00 €

7Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

EntdeckenFrage

Ab wie vielen Fahrten im Monat war 2025 in Berlin das Deutschlandticket billiger als Einzelfahrscheine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Deutschlandticket kostete 2025 im Monat 58 €, ein Einzelfahrschein Berlin AB 3,80 €. 15 Fahrten kosten 57 €, 16 Fahrten schon 60,80 €. Ab 16 Fahrten im Monat war das Deutschlandticket also billiger.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

Bei Tarifen rechnet man aus, was jeder für die eigene Nutzung kostet.

BeispielAngebote über den Preis für ein Stück vergleichen

Angebot A: 6 Joghurts für 3,90 €. Angebot B: 8 Joghurts für 2,48 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.

Schritt für Schritt

A: 3,90 € : 6 = 0,65 €
B: 2,48 € : 8 = 0,31 €
0,31 € ist weniger: B ist günstiger.

A: 3,90 € : 6 = 0,65 €
B: 2,48 € : 8 = 0,31 €
0,31 € ist weniger: B ist günstiger.

Ergebnis:

B, 0,31 € je Stück

AchtungGesamtpreise statt Preise für ein Stück verglichen

So nicht

A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → B kostet weniger, B ist günstiger

So richtig

A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → A 0,45 € je Stück < B 0,49 € je Stück

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen: Preis für ein Stück oder einen Liter ausrechnen.

ÜbenJetzt du

○19
Angebot A: 4 Joghurts für 2,20 €. Angebot B: 8 Joghurts für 3,92 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
So fängst du an:
A: 2,20 € : 4 = 0,55 €
Lösung zeigen
1. A: 2,20 € : 4 = 0,55 €
2. B: 3,92 € : 8 = 0,49 €
3. 0,49 € ist weniger: B ist günstiger.
Ergebnis:
B, 0,49 € je Stück
●20
Angebot A: 5 Hefte für 1,45 €. Angebot B: 3 Hefte für 1,08 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
Lösung zeigen
1. A: 1,45 € : 5 = 0,29 €
2. B: 1,08 € : 3 = 0,36 €
3. 0,29 € ist weniger: A ist günstiger.
Ergebnis:
A, 0,29 € je Stück
★21
Angebot A: 5 Hefte für 3,90 €. Angebot B: 10 Hefte für 4,50 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
Lösung zeigen
1. A: 3,90 € : 5 = 0,78 €
2. B: 4,50 € : 10 = 0,45 €
3. 0,45 € ist weniger: B ist günstiger.
Ergebnis:
B, 0,45 € je Stück

8Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

EntdeckenFrage

Warum ging 1999 eine NASA-Sonde am Mars verloren, obwohl die Computer richtig gerechnet hatten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Team lieferte Werte in englischen Einheiten, das andere las sie als metrische Einheiten. Die Werte waren dadurch etwa 4,45-mal zu klein. Die Sonde flog zu tief in die Marsatmosphäre. Niemand hatte geprüft, ob die Ergebnisse zusammenpassen.

MerkenErgebnisse prüfen

Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Ein Überschlag prüft das Komma, und die Einheiten müssen passen.

BeispielIst das Ergebnis sinnvoll?

Sara hat 20 €. Ein Comic kostet 1,50 €. Sara rechnet 20 : 1,5 und sagt: „Ich kann 13,33 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Sara wirklich kaufen?

Schritt für Schritt

20 : 1,5 ≈ 13,33
Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
Abrunden: 13 Comics

20 : 1,5 ≈ 13,33
Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
Abrunden: 13 Comics

Ergebnis:

13 Comics

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht

27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse

So richtig

27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas hat 15 €. Ein Comic kostet 1,20 €. Jonas rechnet 15 : 1,2 und sagt: „Ich kann 12,5 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Jonas wirklich kaufen?
So fängst du an:
15 : 1,2 ≈ 12,5
Lösung zeigen
1. 15 : 1,2 ≈ 12,5
2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
3. Abrunden: 12 Comics
Ergebnis:
12 Comics
●23
Eine Latte ist 300 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 45 cm. Can rechnet und sagt: „Das gibt 6,67 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?
Lösung zeigen
1. 300 : 45 ≈ 6,67
2. Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
3. Abrunden: 6 Stücke
Ergebnis:
6 Stücke
★24
Lena hat 10 €. Ein Comic kostet 1,50 €. Lena rechnet 10 : 1,5 und sagt: „Ich kann 6,67 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Lena wirklich kaufen?
Lösung zeigen
1. 10 : 1,5 ≈ 6,67
2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
3. Abrunden: 6 Comics
Ergebnis:
6 Comics

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Noah ist 12 Jahre alt und kauft 3 Hefte zu je 1,20 €. Was kosten die Hefte zusammen? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
2. Nicht gebraucht: 12 Jahre.
3. 3 · 1,20 € = 3,60 €
Ergebnis:
überflüssig: 12 Jahre; 3,60 €
●26
Noah fährt mit dem Rad 16 km in einer Stunde. Wie lange braucht Noah bis zum See? Eine wichtige Angabe fehlt. Wähle sie aus.
A: wie weit es bis zum See ist
B: wie schnell das Kind fährt
C: wie warm das Wasser ist
Lösung zeigen
1. Gesucht ist die Fahrzeit.
2. Dafür fehlt: wie weit es bis zum See ist.
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A
●27
An beiden Seiten eines 28 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 4 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Zwischenräume auf einer Seite: 28 m : 4 m = 7
2. Bäume auf einer Seite: 7 + 1 = 8
3. Beide Seiten: 2 · 8 = 16
Ergebnis:
16 Bäume
●28
Im Klassenraum werden 5 quadratische Tische (an jeder Seite ein Stuhl) zu einer langen Reihe zusammengeschoben. Wie viele Kinder finden Platz?
Lösung zeigen
1. Zeichnung: An den Stoßstellen fallen die Stühle weg.
2. Jeder Tisch: 2 Plätze oben und unten, dazu 2 an den Enden.
3. 2 · 5 + 2 = 12
Ergebnis:
12 Kinder
●29
Im Hof stehen 7 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 18 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
2. Probieren: 2 Dreiräder, 5 Fahrräder: 6 + 10 = 16 Räder
3. Probieren: 4 Dreiräder, 3 Fahrräder: 12 + 6 = 18 Räder
4. Passt: 4 Dreiräder und 3 Fahrräder.
Ergebnis:
4 Dreiräder
●30
Zwei natürliche Zahlen haben die Summe 13 und das Produkt 30. Welche Zahlen sind es?
Lösung zeigen
1. Tabelle: Zahlenpaare mit der Summe 13, dazu ihr Produkt.
2. Probieren: 4 und 9 geben 36.
3. Probieren: 3 und 10 geben 30.
Ergebnis:
3 und 10

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Wichtige und überflüssige Angaben: Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.
Eine Skizze hilft: Zeichne die Sache einfach und klein.
Tabelle und Probieren: Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.
Rückwärtsarbeiten: Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.
Schätzen mit Annahmen: Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.
Der Rechenplan: Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.
Ergebnisse prüfen: Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.
31
Ein Bus fährt um 9:05 Uhr los. Er braucht 40 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 6 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
Lösung zeigen
Ergebnis:
überflüssig: 6 Haltestellen; 9:45 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
32
An beiden Seiten eines 28 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 4 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16 Bäume
Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.
33
Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 6 Köpfe und 22 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
5 Kaninchen
Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.
34
Paul gibt die Hälfte des Taschengeldes für Kinokarten aus. Danach kauft Paul ein Eis für 4 €. Jetzt sind noch 5 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
18 €
Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).
35
Eine Klasse hat 22 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 4 Scheiben Brot. Ein Brot hat 20 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 5 Schultage?
Lösung zeigen
Ergebnis:
22 Brote
Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.
36
Zu einer Feier kommen 11 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 10,00 €. Was kosten die Pizzen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
40,00 €
Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.
37
Angebot A: 1,5 Liter Saft für 0,75 €. Angebot B: 1 Liter Saft für 0,64 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
Lösung zeigen
Ergebnis:
A, 0,50 € je Liter
Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.
38
Eine Latte ist 250 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 70 cm. Sara rechnet und sagt: „Das gibt 3,57 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Stücke

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Heurismen als Werkzeugkasten: Skizze, Tabelle und Rückwärtsarbeiten, wenn kein Rechenweg dasteht.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Einkaufen, Fahrpläne, Feste planen, Tarife vergleichen. Beruf: Handwerk (Material kalkulieren), Einzelhandel, Veranstaltungsplanung.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Terme und einfache Gleichungen, Zuordnungen und Dreisatz, Sachaufgaben lösen

Lösungen

überflüssig: 13 Haltestellen; 10:25 Uhr
überflüssig: 11 Jahre; 7,50 €
überflüssig: 8 Haltestellen; 8:40 Uhr
14 Pfähle
22 Bäume
20 Laternen
1 Dreiräder
7 Kaninchen
23 Kaninchen
33 Bonbons
32 €
22 €
etwa 6000 Liter
etwa 7200 Liter
etwa 108.000-mal
2 Packungen
32,00 €
48,00 €
B, 0,49 € je Stück
A, 0,29 € je Stück
B, 0,45 € je Stück
12 Comics
6 Stücke
6 Comics
überflüssig: 12 Jahre; 3,60 €
A
16 Bäume
12 Kinder
4 Dreiräder
3 und 10
überflüssig: 6 Haltestellen; 9:45 Uhr
16 Bäume
5 Kaninchen
18 €
22 Brote
40,00 €
A, 0,50 € je Liter
3 Stücke
60 Tage
7,50 €