Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Sachaufgaben und Problemlösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele raten wild herum oder rechnen 56 − 20. Manche geben nach zwei Versuchen auf, andere finden die Lösung zufällig, können aber nicht sagen, wie. Wenn der Weg nicht dasteht, hilft ein Werkzeug: Wir legen eine Tabelle an und probieren mit System, Zeile für Zeile. So kommt jede und jeder ans Ziel und kann den Weg erklären.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Größen rechnet man mit Einheit, und vor dem Rechnen stehen alle Angaben in derselben Einheit.

●39
Ein Datenpaket fürs Handy hat 24.000 MB. Jeden Tag verbrauchst du 250 MB. Wie viele Tage reicht das Paket?
Lösung zeigen
1. 24.000 geteilt durch 250
2. Das Paket reicht 96 Tage
Ergebnis:
96 Tage
●40
Du kaufst Sachen für 10,97 €, 1,84 € und zahlst mit einem 20-€-Schein. Berechne das Rückgeld.
Lösung zeigen
1. Summe: 10,97 + 1,84 = 12,81 €
2. Rückgeld: 20 − 12,81 = 7,19 €
Ergebnis:
7,19 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Situation, dann die Rechnung

Eine Sachaufgabe ist eine Situation und keine Zahlensammlung. Erst klären, was gefragt und was gegeben ist, dann einen Weg wählen: Skizze, Tabelle oder rückwärts. Zum Schluss wird das Ergebnis an der Situation geprüft.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und was verrät dir diese Frage über das Lösen von Sachaufgaben?

1Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

EntdeckenFrage

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann niemand wissen – die Zahlen haben mit dem Alter nichts zu tun. Trotzdem rechneten in französischen Untersuchungen viele Grundschulkinder 26 + 10 = 36 und schrieben „36 Jahre“. Wer zuerst die Frage liest, fällt darauf nicht herein.

MerkenWichtige und überflüssige Angaben

Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Fehlt eine Angabe, kann man die Frage nicht beantworten.

BeispielÜberflüssige Angaben erkennen

Ein Beet ist 6 m lang und 5 m breit. Darin wachsen 50 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.

Schritt für Schritt

Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
Nicht gebraucht: 50 Tulpen.
Umfang: 2 · 6 m + 2 · 5 m
2 · 6 m + 2 · 5 m = 22 m

Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
Nicht gebraucht: 50 Tulpen.
Umfang: 2 · 6 m + 2 · 5 m
2 · 6 m + 2 · 5 m = 22 m

Ergebnis:

überflüssig: 50 Tulpen; 22 m

AchtungAngaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €

So richtig

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

○1
Ein Bus fährt um 8:05 Uhr los. Er braucht 35 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 8 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
So fängst du an:
Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
2. Nicht gebraucht: 8 Haltestellen.
3. 8:05 Uhr und 35 min
4. Ankunft: 8:40 Uhr
Ergebnis:
überflüssig: 8 Haltestellen; 8:40 Uhr
●2
Ein Beet ist 5 m lang und 2 m breit. Darin wachsen 37 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
2. Nicht gebraucht: 37 Tulpen.
3. Umfang: 2 · 5 m + 2 · 2 m
4. 2 · 5 m + 2 · 2 m = 14 m
Ergebnis:
überflüssig: 37 Tulpen; 14 m
★3
Lena ist 12 Jahre alt und kauft 8 Hefte zu je 1,45 €. Was kosten die Hefte zusammen? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
2. Nicht gebraucht: 12 Jahre.
3. 8 · 1,45 € = 11,60 €
Ergebnis:
überflüssig: 12 Jahre; 11,60 €

2Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

In einem Käfig sitzen Fasane und Kaninchen, zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

23 Fasane und 12 Kaninchen: 23 · 2 + 12 · 4 = 46 + 48 = 94. Das Rätsel steht in einem chinesischen Rechenbuch, das rund 1500 Jahre alt ist. Mit einer Tabelle und systematischem Probieren findet man die Lösung, ohne zu raten.

MerkenEine Skizze hilft

Zeichne die Sache einfach und klein.

An der Skizze sieht man, was man zählen muss. Ein Zaun mit Pfählen an beiden Enden hat einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

BeispielMit einer Skizze zählen: Pfähle und Bäume

An beiden Seiten eines 24 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 3 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?

Schritt für Schritt

Zwischenräume auf einer Seite: 24 m : 3 m = 8
Bäume auf einer Seite: 8 + 1 = 9
Beide Seiten: 2 · 9 = 18

Zwischenräume auf einer Seite: 24 m : 3 m = 8
Bäume auf einer Seite: 8 + 1 = 9
Beide Seiten: 2 · 9 = 18

Ergebnis:

18 Bäume

AchtungAnfang oder Ende nicht mitgezählt

So nicht

Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 → 10 Pfähle

So richtig

Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 = 10 Zwischenräume → 11 Pfähle

Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt es: Bei zwei Enden gibt es einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

ÜbenJetzt du

○4
An beiden Seiten eines 18 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 2 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
So fängst du an:
Zwischenräume auf einer Seite: 18 m : 2 m = 9
Lösung zeigen
1. Zwischenräume auf einer Seite: 18 m : 2 m = 9
2. Bäume auf einer Seite: 9 + 1 = 10
3. Beide Seiten: 2 · 10 = 20
Ergebnis:
20 Bäume
●5
An beiden Seiten eines 35 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 5 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Zwischenräume auf einer Seite: 35 m : 5 m = 7
2. Bäume auf einer Seite: 7 + 1 = 8
3. Beide Seiten: 2 · 8 = 16
Ergebnis:
16 Bäume
★6
Eine Straße ist 52 m lang. Alle 4 m steht eine Laterne, aber nicht an den beiden Enden. Wie viele Laternen stehen dort?
Lösung zeigen
1. Zwischenräume: 52 m : 4 m = 13
2. Ohne die beiden Enden: eine Laterne weniger als Zwischenräume.
3. 13 − 1 = 12
Ergebnis:
12 Laternen

3Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein 20 m langer Zaun, wenn alle 2 m einer steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Elf, nicht zehn: 20 : 2 = 10 Zwischenräume, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Dieser Fehler ist so verbreitet, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler. Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt ihn sofort.

MerkenTabelle und Probieren

Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.

Jede Zeile prüft alle Bedingungen. So wird nichts vergessen, und man sieht, in welche Richtung man weitergehen muss.

BeispielKöpfe und Beine: systematisch probieren

Im Hof stehen 6 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 16 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?

Schritt für Schritt

Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
Probieren: 2 Dreiräder, 4 Fahrräder: 6 + 8 = 14 Räder
Probieren: 4 Dreiräder, 2 Fahrräder: 12 + 4 = 16 Räder
Passt: 4 Dreiräder und 2 Fahrräder.

Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
Probieren: 2 Dreiräder, 4 Fahrräder: 6 + 8 = 14 Räder
Probieren: 4 Dreiräder, 2 Fahrräder: 12 + 4 = 16 Räder
Passt: 4 Dreiräder und 2 Fahrräder.

Ergebnis:

4 Dreiräder

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht

27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse

So richtig

27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

○7
Im Hof stehen 14 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 31 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
So fängst du an:
Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
2. Probieren: 1 Dreiräder, 13 Fahrräder: 3 + 26 = 29 Räder
3. Probieren: 3 Dreiräder, 11 Fahrräder: 9 + 22 = 31 Räder
4. Passt: 3 Dreiräder und 11 Fahrräder.
Ergebnis:
3 Dreiräder
●8
Im Hof stehen 10 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 22 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
2. Probieren: 1 Dreiräder, 9 Fahrräder: 3 + 18 = 21 Räder
3. Probieren: 2 Dreiräder, 8 Fahrräder: 6 + 16 = 22 Räder
4. Passt: 2 Dreiräder und 8 Fahrräder.
Ergebnis:
2 Dreiräder
★9
Im Hof stehen 16 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 33 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
2. Probieren: 1 Dreiräder, 15 Fahrräder: 3 + 30 = 33 Räder
3. Passt: 1 Dreiräder und 15 Fahrräder.
Ergebnis:
1 Dreiräder

4Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

EntdeckenFrage

Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago – und wie kann man das ohne Nachschlagen schätzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Diese Frage stellte der Physiker Enrico Fermi seinen Studierenden. Mit wenigen Annahmen – Einwohner, Haushalte mit Klavier, wie oft ein Klavier gestimmt wird, wie viele Klaviere ein Stimmer schafft – kommt man auf eine Zahl in der Größenordnung von hundert.

MerkenRückwärtsarbeiten

Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärtsarbeiten mit Anzahlen und Geld

Paul hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 4 Stück. Vom Rest behält Paul die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Paul behält 13 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?

Schritt für Schritt

Rückwärts: Paul behält 13 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
Rest: 13 · 2 = 26
Vor dem Bruder: 26 + 4 = 30

Rückwärts: Paul behält 13 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
Rest: 13 · 2 = 26
Vor dem Bruder: 26 + 4 = 30

Ergebnis:

30 Bonbons

AchtungRückwärts mit derselben Rechenart gerechnet

So nicht

Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 − 4 → 4 · 2 → 8 €

So richtig

Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 + 4 = 12 → 12 · 2 = 24 €

Rückwärts dreht jede Rechnung um: plus wird minus, mal wird geteilt – und der letzte Schritt kommt zuerst.

ÜbenJetzt du

○10
Sara hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 3 Stück. Vom Rest behält Sara die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Sara behält 10 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
So fängst du an:
Rückwärts: Sara behält 10 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
Lösung zeigen
1. Rückwärts: Sara behält 10 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
2. Rest: 10 · 2 = 20
3. Vor dem Bruder: 20 + 3 = 23
Ergebnis:
23 Bonbons
●11
Tom gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein Buch aus. Danach kauft Tom ein Eis für 4 €. Jetzt sind noch 6 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Ende: 6 €
2. Das Eis zurückrechnen: 6 € + 4 € = 10 €
3. Die Hälfte zurückrechnen: 10 € · 2 = 20 €
Ergebnis:
20 €
★12
Emma hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 7 Stück. Vom Rest behält Emma ein Drittel, den anderen Teil bekommen Freunde. Emma behält 9 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: Emma behält 9 Stück, das ist ein Drittel vom Rest.
2. Rest: 9 · 3 = 27
3. Vor dem Bruder: 27 + 7 = 34
Ergebnis:
34 Bonbons

5Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

EntdeckenFrage

Ist die große Familienpackung immer billiger als die kleine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Manchmal kostet ein Kilogramm in der Großpackung mehr. Deshalb muss im Laden neben dem Preis auch der Grundpreis stehen, zum Beispiel der Preis für ein Kilogramm oder einen Liter. Nur damit kann man Angebote wirklich vergleichen.

MerkenSchätzen mit Annahmen

Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.

Man rechnet mit runden Zahlen und rundet das Ergebnis, denn genauer sind die Annahmen nicht.

BeispielSchätzen mit Annahmen

Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 680 Kinder, und jedes braucht etwa 9 Hefte. Runde auf Hunderter.

Schritt für Schritt

680 · 9 = 6120
Auf Hunderter gerundet: 6100

680 · 9 = 6120
Auf Hunderter gerundet: 6100

Ergebnis:

etwa 6100 Hefte

AchtungErgebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht

130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse

So richtig

130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

○13
Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 440 Kinder, und jedes braucht etwa 7 Hefte. Runde auf Hunderter.
So fängst du an:
440 · 7 = 3080
Lösung zeigen
1. 440 · 7 = 3080
2. Auf Hunderter gerundet: 3100
Ergebnis:
etwa 3100 Hefte
●14
Eine Klasse hat 22 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 4 Scheiben Brot. Ein Brot hat 24 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 5 Schultage?
Lösung zeigen
1. Scheiben: 22 · 4 · 5 = 440
2. 440 : 24 = 18,33
3. Aufrunden, damit es reicht: 19 Brote
Ergebnis:
19 Brote
★15
Wie viel Wasser verbraucht eine Familie zum Duschen in einem Jahr? Nimm an: 4 Personen duschen jeden Tag, jede Dusche braucht etwa 80 Liter, das Jahr hat 365 Tage. Runde auf Tausender.
Lösung zeigen
1. An einem Tag: 4 · 80 Liter = 320 Liter
2. 365 Tage: 320 · 365 = 116.800
3. Gerundet: 117.000 Liter
Ergebnis:
etwa 117.000 Liter

6Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

EntdeckenFrage

Wann musst du losgehen, wenn der Bus um 7:42 Uhr fährt und du 9 Minuten zur Haltestelle brauchst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Um 7:33 Uhr – man rechnet vom Ziel aus rückwärts. Der Mathematiker George Pólya nannte das Rückwärtsarbeiten eine der wichtigsten Strategien: beim Gesuchten anfangen und fragen, was man dafür braucht.

MerkenDer Rechenplan

Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?

Dann Schritt für Schritt rechnen und jedes Zwischenergebnis mit Einheit notieren.

BeispielMit einem Rechenplan in mehreren Schritten

Die Klasse 6c fährt mit 25 Kindern in den Tierpark. Der Bus kostet zusammen 225,00 €. Der Eintritt kostet 7,00 € je Kind, das Mittagessen 3,00 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
Bus je Kind: 225,00 € : 25 = 9,00 €
Je Kind: 9,00 € + 7,00 € + 3,00 € = 19,00 €

Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
Bus je Kind: 225,00 € : 25 = 9,00 €
Je Kind: 9,00 € + 7,00 € + 3,00 € = 19,00 €

Ergebnis:

19,00 €

AchtungKomma beim Mal oder Durch 10, 100, 1000 falsch verschoben

So nicht

3,5 · 10 = 0,35

So richtig

3,5 · 10 = 35

Frag dich: Wird die Zahl größer oder kleiner? Mit mal 10 wird sie größer.

ÜbenJetzt du

○16
Zu einer Feier kommen 8 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 10,00 €. Was kosten die Pizzen?
So fängst du an:
Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
Lösung zeigen
1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
2. Stücke: 8 · 2 = 16
3. Pizzen: 16 : 8 = 2
4. Preis: 2 · 10,00 € = 20,00 €
Ergebnis:
20,00 €
●17
Zu einer Feier kommen 8 Kinder. Jedes isst 3 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 7,50 €. Was kosten die Pizzen?
Lösung zeigen
1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
2. Stücke: 8 · 3 = 24
3. Pizzen: 24 : 8 = 3
4. Preis: 3 · 7,50 € = 22,50 €
Ergebnis:
22,50 €
★18
Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 16 m lang und 10 m breit. Für 1 m² braucht man 20 g Samen. Eine Packung enthält 500 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
Lösung zeigen
1. Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
2. Fläche: 16 m · 10 m = 160 m²
3. Samen: 160 · 20 g = 3200 g
4. Packungen: 3200 g : 500 g, aufgerundet 7
Ergebnis:
7 Packungen

7Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

EntdeckenFrage

Ab wie vielen Fahrten im Monat war 2025 in Berlin das Deutschlandticket billiger als Einzelfahrscheine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Deutschlandticket kostete 2025 im Monat 58 €, ein Einzelfahrschein Berlin AB 3,80 €. 15 Fahrten kosten 57 €, 16 Fahrten schon 60,80 €. Ab 16 Fahrten im Monat war das Deutschlandticket also billiger.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

Bei Tarifen rechnet man aus, was jeder für die eigene Nutzung kostet.

BeispielAngebote über den Preis für ein Stück vergleichen

Angebot A: 3 Hefte für 2,04 €. Angebot B: 10 Hefte für 3,50 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.

Schritt für Schritt

A: 2,04 € : 3 = 0,68 €
B: 3,50 € : 10 = 0,35 €
0,35 € ist weniger: B ist günstiger.

A: 2,04 € : 3 = 0,68 €
B: 3,50 € : 10 = 0,35 €
0,35 € ist weniger: B ist günstiger.

Ergebnis:

B, 0,35 € je Stück

AchtungGesamtpreise statt Preise für ein Stück verglichen

So nicht

A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → B kostet weniger, B ist günstiger

So richtig

A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → A 0,45 € je Stück < B 0,49 € je Stück

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen: Preis für ein Stück oder einen Liter ausrechnen.

ÜbenJetzt du

○19
Angebot A: 10 Joghurts für 6,10 €. Angebot B: 6 Joghurts für 4,56 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
So fängst du an:
A: 6,10 € : 10 = 0,61 €
Lösung zeigen
1. A: 6,10 € : 10 = 0,61 €
2. B: 4,56 € : 6 = 0,76 €
3. 0,61 € ist weniger: A ist günstiger.
Ergebnis:
A, 0,61 € je Stück
●20
Angebot A: 1 Liter Saft für 0,41 €. Angebot B: 3 Liter Saft für 2,04 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
Lösung zeigen
1. A: 0,41 € : 1 = 0,41 €
2. B: 2,04 € : 3 = 0,68 €
3. 0,41 € ist weniger: A ist günstiger.
Ergebnis:
A, 0,41 € je Liter
★21
Angebot A: 10 Joghurts für 4,20 €. Angebot B: 8 Joghurts für 4,16 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
Lösung zeigen
1. A: 4,20 € : 10 = 0,42 €
2. B: 4,16 € : 8 = 0,52 €
3. 0,42 € ist weniger: A ist günstiger.
Ergebnis:
A, 0,42 € je Stück

8Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

EntdeckenFrage

Warum ging 1999 eine NASA-Sonde am Mars verloren, obwohl die Computer richtig gerechnet hatten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Team lieferte Werte in englischen Einheiten, das andere las sie als metrische Einheiten. Die Werte waren dadurch etwa 4,45-mal zu klein. Die Sonde flog zu tief in die Marsatmosphäre. Niemand hatte geprüft, ob die Ergebnisse zusammenpassen.

MerkenErgebnisse prüfen

Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Ein Überschlag prüft das Komma, und die Einheiten müssen passen.

BeispielIst das Ergebnis sinnvoll?

Eine Latte ist 250 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 40 cm. Ben rechnet und sagt: „Das gibt 6,25 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?

Schritt für Schritt

250 : 40 ≈ 6,25
Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
Abrunden: 6 Stücke

250 : 40 ≈ 6,25
Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
Abrunden: 6 Stücke

Ergebnis:

6 Stücke

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Eine Latte ist 250 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 60 cm. Jonas rechnet und sagt: „Das gibt 4,17 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?
So fängst du an:
250 : 60 ≈ 4,17
Lösung zeigen
1. 250 : 60 ≈ 4,17
2. Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
3. Abrunden: 4 Stücke
Ergebnis:
4 Stücke
●23
204 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 60 Kinder. Mia teilt 204 durch 60 und sagt: „Wir brauchen 3,4 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
Lösung zeigen
1. 204 : 60 = 3,4
2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
3. Aufrunden: 4 Busse
Ergebnis:
4 Busse
★24
Eine Latte ist 320 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 35 cm. Ben rechnet und sagt: „Das gibt 9,14 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?
Lösung zeigen
1. 320 : 35 ≈ 9,14
2. Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
3. Abrunden: 9 Stücke
Ergebnis:
9 Stücke

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Ein Aquarium ist 80 cm lang, 30 cm breit und 40 cm hoch. Darin schwimmen 10 Fische. Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein?
2. Nicht gebraucht: 10 Fische.
3. 80 cm · 30 cm · 40 cm = 96.000 cm³
4. 1000 cm³ sind 1 Liter: 96.000 cm³ = 96 Liter
Ergebnis:
überflüssig: 10 Fische; 96 Liter
●26
Die Klasse 6a sammelt für einen Ausflug. Jedes Kind gibt 6 €. Wie viel Geld kommt zusammen? Was musst du noch wissen, um die Frage zu beantworten?
A: wie viel jedes Kind gibt
B: wie viele Kinder in der Klasse sind
C: wohin der Ausflug geht
Lösung zeigen
1. Gesucht ist das gesammelte Geld.
2. Dafür fehlt: wie viele Kinder in der Klasse sind.
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B
●27
Ein rechteckiger Garten ist 35 m lang und 15 m breit. Rundherum kommt alle 5 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Umfang: 2 · 35 m + 2 · 15 m = 100 m
2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
3. 100 m : 5 m = 20
Ergebnis:
20 Pfähle
●28
Für ein Fest werden quadratische Tische, an jeder Seite ein Stuhl, in einer langen Reihe aneinandergestellt. Es kommen 30 Gäste. Wie viele Tische braucht man?
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1. Jeder Tisch bringt 2 Plätze, dazu kommen 2 an den Enden.
2. 30 − 2 = 28
3. 28 : 2 = 14
Ergebnis:
14 Tische
●29
Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 14 Köpfe und 40 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
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1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
2. Probieren: 4 Kaninchen, 10 Hühner: 16 + 20 = 36 Beine
3. Probieren: 6 Kaninchen, 8 Hühner: 24 + 16 = 40 Beine
4. Passt: 6 Kaninchen und 8 Hühner.
Ergebnis:
6 Kaninchen
●30
Zwei natürliche Zahlen haben die Summe 9 und das Produkt 20. Welche Zahlen sind es?
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1. Tabelle: Zahlenpaare mit der Summe 9, dazu ihr Produkt.
2. Probieren: 5 und 4 geben 20.
3. Probieren: 4 und 5 geben 20.
Ergebnis:
4 und 5

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Wichtige und überflüssige Angaben: Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.
Eine Skizze hilft: Zeichne die Sache einfach und klein.
Tabelle und Probieren: Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.
Rückwärtsarbeiten: Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.
Schätzen mit Annahmen: Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.
Der Rechenplan: Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.
Ergebnisse prüfen: Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.
31
Ben ist 11 Jahre alt und kauft 6 Hefte zu je 1,20 €. Was kosten die Hefte zusammen? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
überflüssig: 11 Jahre; 7,20 €
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
32
Ein Zaun ist 60 m lang. Alle 5 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
Lösung zeigen
Ergebnis:
13 Pfähle
Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.
33
Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 8 Karten und zahlt 67 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
7 Erwachsenenkarten
Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.
34
Ben hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 5 Stück. Vom Rest behält Ben die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Ben behält 10 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
25 Bonbons
Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).
35
Eine Klasse hat 25 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 2 Scheiben Brot. Ein Brot hat 20 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 5 Schultage?
Lösung zeigen
Ergebnis:
13 Brote
Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.
36
Zu einer Feier kommen 11 Kinder. Jedes isst 3 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 8,00 €. Was kosten die Pizzen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
48,00 €
Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.
37
Angebot A: 5 Hefte für 3,20 €. Angebot B: 12 Hefte für 9,48 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
Lösung zeigen
Ergebnis:
A, 0,64 € je Stück
Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.
38
220 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 40 Kinder. Aylin teilt 220 durch 40 und sagt: „Wir brauchen 5,5 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Busse

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Heurismen als Werkzeugkasten: Skizze, Tabelle und Rückwärtsarbeiten, wenn kein Rechenweg dasteht.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Einkaufen, Fahrpläne, Feste planen, Tarife vergleichen. Beruf: Handwerk (Material kalkulieren), Einzelhandel, Veranstaltungsplanung.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Terme und einfache Gleichungen, Zuordnungen und Dreisatz, Sachaufgaben lösen

Lösungen

überflüssig: 8 Haltestellen; 8:40 Uhr
überflüssig: 37 Tulpen; 14 m
überflüssig: 12 Jahre; 11,60 €
20 Bäume
16 Bäume
12 Laternen
3 Dreiräder
2 Dreiräder
1 Dreiräder
23 Bonbons
20 €
34 Bonbons
etwa 3100 Hefte
19 Brote
etwa 117.000 Liter
20,00 €
22,50 €
7 Packungen
A, 0,61 € je Stück
A, 0,41 € je Liter
A, 0,42 € je Stück
4 Stücke
4 Busse
9 Stücke
überflüssig: 10 Fische; 96 Liter
B
20 Pfähle
14 Tische
6 Kaninchen
4 und 5
überflüssig: 11 Jahre; 7,20 €
13 Pfähle
7 Erwachsenenkarten
25 Bonbons
13 Brote
48,00 €
A, 0,64 € je Stück
6 Busse
96 Tage
7,19 €