Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Sachaufgaben und Problemlösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele raten wild herum oder rechnen 56 − 20. Manche geben nach zwei Versuchen auf, andere finden die Lösung zufällig, können aber nicht sagen, wie. Wenn der Weg nicht dasteht, hilft ein Werkzeug: Wir legen eine Tabelle an und probieren mit System, Zeile für Zeile. So kommt jede und jeder ans Ziel und kann den Weg erklären.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Größen rechnet man mit Einheit, und vor dem Rechnen stehen alle Angaben in derselben Einheit.

  1. ●39
    Zu einem Spiel fahren 3150 Menschen mit dem Bus. In einen Bus passen 50 Personen. Wie viele Busse braucht man?
    Lösung zeigen
    1. 3150 geteilt durch 50 ist 63 Rest 0
    2. Der Rest braucht noch einen Bus: 63 Busse
    Ergebnis:
    63 Busse
  2. ●40
    Du kaufst Sachen für 11,12 €, 9,41 € und zahlst mit einem 50-€-Schein. Berechne das Rückgeld.
    Lösung zeigen
    1. Summe: 11,12 + 9,41 = 20,53 €
    2. Rückgeld: 50 − 20,53 = 29,47 €
    Ergebnis:
    29,47 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Situation, dann die Rechnung

Eine Sachaufgabe ist eine Situation und keine Zahlensammlung. Erst klären, was gefragt und was gegeben ist, dann einen Weg wählen: Skizze, Tabelle oder rückwärts. Zum Schluss wird das Ergebnis an der Situation geprüft.

Pfeilkette: Hälfte, dann 4 weg, Rest 8; rückwärts plus 4 und mal 2 ergibt 2424128: 2− 4+ 4· 2Rückwärts: jede Rechnung umkehren

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und was verrät dir diese Frage über das Lösen von Sachaufgaben?

1Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

EntdeckenFrage

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann niemand wissen – die Zahlen haben mit dem Alter nichts zu tun. Trotzdem rechneten in französischen Untersuchungen viele Grundschulkinder 26 + 10 = 36 und schrieben „36 Jahre“. Wer zuerst die Frage liest, fällt darauf nicht herein.

MerkenWichtige und überflüssige Angaben

Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Fehlt eine Angabe, kann man die Frage nicht beantworten.

BeispielÜberflüssige Angaben erkennen

Paul ist 12 Jahre alt und spart jede Woche 3,00 €. Wie viel hat Paul nach 7 Wochen gespart? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
Schritt für Schritt
  1. Gefragt ist: Wie viel hat Paul nach 7 Wochen gespart?
  2. Nicht gebraucht: 12 Jahre.
  3. 7 · 3,00 € = 21,00 €
  1. Gefragt ist: Wie viel hat Paul nach 7 Wochen gespart?
  2. Nicht gebraucht: 12 Jahre.
  3. 7 · 3,00 € = 21,00 €
Ergebnis:
überflüssig: 12 Jahre; 21,00 €

AchtungAngaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €
So richtig
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ben ist 11 Jahre alt und kauft 4 Hefte zu je 2,00 €. Was kosten die Hefte zusammen? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    So fängst du an:
    Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
    2. Nicht gebraucht: 11 Jahre.
    3. 4 · 2,00 € = 8,00 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 11 Jahre; 8,00 €
  2. ●2
    Lea ist 11 Jahre alt und kauft 5 Hefte zu je 2,00 €. Was kosten die Hefte zusammen? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
    2. Nicht gebraucht: 11 Jahre.
    3. 5 · 2,00 € = 10,00 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 11 Jahre; 10,00 €
  3. ★3
    Can ist 13 Jahre alt und spart jede Woche 2,50 €. Wie viel hat Can nach 10 Wochen gespart? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie viel hat Can nach 10 Wochen gespart?
    2. Nicht gebraucht: 13 Jahre.
    3. 10 · 2,50 € = 25,00 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 13 Jahre; 25,00 €

2Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

In einem Käfig sitzen Fasane und Kaninchen, zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

23 Fasane und 12 Kaninchen: 23 · 2 + 12 · 4 = 46 + 48 = 94. Das Rätsel steht in einem chinesischen Rechenbuch, das rund 1500 Jahre alt ist. Mit einer Tabelle und systematischem Probieren findet man die Lösung, ohne zu raten.

MerkenEine Skizze hilft

Zeichne die Sache einfach und klein.

An der Skizze sieht man, was man zählen muss. Ein Zaun mit Pfählen an beiden Enden hat einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

BeispielMit einer Skizze zählen: Pfähle und Bäume

Ein rechteckiger Garten ist 24 m lang und 9 m breit. Rundherum kommt alle 3 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
Schritt für Schritt
  1. Umfang: 2 · 24 m + 2 · 9 m = 66 m
  2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
  3. 66 m : 3 m = 22
  1. Umfang: 2 · 24 m + 2 · 9 m = 66 m
  2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
  3. 66 m : 3 m = 22
Ergebnis:
22 Pfähle

AchtungAnfang oder Ende nicht mitgezählt

So nicht
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 → 10 Pfähle
So richtig
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 = 10 Zwischenräume → 11 Pfähle

Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt es: Bei zwei Enden gibt es einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    An beiden Seiten eines 20 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 5 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …5 m20 m?
    So fängst du an:
    Zwischenräume auf einer Seite: 20 m : 5 m = 4
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 20 m : 5 m = 4
    2. Bäume auf einer Seite: 4 + 1 = 5
    3. Beide Seiten: 2 · 5 = 10
    Ergebnis:
    10 Bäume
  2. ●5
    Ein Zaun ist 12 m lang. Alle 3 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
    …3 m12 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume: 12 m : 3 m = 4
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
    3. 4 + 1 = 5
    Ergebnis:
    5 Pfähle
  3. ★6
    An beiden Seiten eines 30 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 2,5 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …2,5 m30 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 30 m : 2,5 m = 12
    2. Bäume auf einer Seite: 12 + 1 = 13
    3. Beide Seiten: 2 · 13 = 26
    Ergebnis:
    26 Bäume

3Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein 20 m langer Zaun, wenn alle 2 m einer steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Elf, nicht zehn: 20 : 2 = 10 Zwischenräume, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Dieser Fehler ist so verbreitet, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler. Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt ihn sofort.

MerkenTabelle und Probieren

Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.

Jede Zeile prüft alle Bedingungen. So wird nichts vergessen, und man sieht, in welche Richtung man weitergehen muss.

BeispielKöpfe und Beine: systematisch probieren

Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 7 Karten und zahlt 43 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
Erwachsene0123…Preis????
Schritt für Schritt
  1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
  2. Probieren: 1 Erwachsenenkarten, 6 Kinderkarten: 9 + 24 = 33 €
  3. Probieren: 3 Erwachsenenkarten, 4 Kinderkarten: 27 + 16 = 43 €
  4. Passt: 3 Erwachsenenkarten und 4 Kinderkarten.
  1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
  2. Probieren: 1 Erwachsenenkarten, 6 Kinderkarten: 9 + 24 = 33 €
  3. Probieren: 3 Erwachsenenkarten, 4 Kinderkarten: 27 + 16 = 43 €
  4. Passt: 3 Erwachsenenkarten und 4 Kinderkarten.
Ergebnis:
3 Erwachsenenkarten

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Im Hof stehen 8 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 23 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
    Dreiräder0123…Räder????
    So fängst du an:
    Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
    2. Probieren: 4 Dreiräder, 4 Fahrräder: 12 + 8 = 20 Räder
    3. Probieren: 7 Dreiräder, 1 Fahrräder: 21 + 2 = 23 Räder
    4. Passt: 7 Dreiräder und 1 Fahrräder.
    Ergebnis:
    7 Dreiräder
  2. ●8
    Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 7 Köpfe und 18 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
    2. Probieren: 1 Kaninchen, 6 Hühner: 4 + 12 = 16 Beine
    3. Probieren: 2 Kaninchen, 5 Hühner: 8 + 10 = 18 Beine
    4. Passt: 2 Kaninchen und 5 Hühner.
    Ergebnis:
    2 Kaninchen
  3. ★9
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 30 Karten und zahlt 205 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    2. Probieren: 15 Erwachsenenkarten, 15 Kinderkarten: 135 + 60 = 195 €
    3. Probieren: 17 Erwachsenenkarten, 13 Kinderkarten: 153 + 52 = 205 €
    4. Passt: 17 Erwachsenenkarten und 13 Kinderkarten.
    Ergebnis:
    17 Erwachsenenkarten

4Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

EntdeckenFrage

Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago – und wie kann man das ohne Nachschlagen schätzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Diese Frage stellte der Physiker Enrico Fermi seinen Studierenden. Mit wenigen Annahmen – Einwohner, Haushalte mit Klavier, wie oft ein Klavier gestimmt wird, wie viele Klaviere ein Stimmer schafft – kommt man auf eine Zahl in der Größenordnung von hundert.

MerkenRückwärtsarbeiten

Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärtsarbeiten mit Anzahlen und Geld

Emma hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 8 Stück. Vom Rest behält Emma die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Emma behält 15 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts: Emma behält 15 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
  2. Rest: 15 · 2 = 30
  3. Vor dem Bruder: 30 + 8 = 38
  1. Rückwärts: Emma behält 15 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
  2. Rest: 15 · 2 = 30
  3. Vor dem Bruder: 30 + 8 = 38
Ergebnis:
38 Bonbons

AchtungRückwärts mit derselben Rechenart gerechnet

So nicht
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 − 4 → 4 · 2 → 8 €
So richtig
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 + 4 = 12 → 12 · 2 = 24 €

Rückwärts dreht jede Rechnung um: plus wird minus, mal wird geteilt – und der letzte Schritt kommt zuerst.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Noah hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 8 Stück. Vom Rest behält Noah die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Noah behält 13 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
    So fängst du an:
    Rückwärts: Noah behält 13 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: Noah behält 13 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
    2. Rest: 13 · 2 = 26
    3. Vor dem Bruder: 26 + 8 = 34
    Ergebnis:
    34 Bonbons
  2. ●11
    Mia gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein Spiel aus. Danach kauft Mia ein Eis für 6 €. Jetzt sind noch 10 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 6 €10 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Ende: 10 €
    2. Das Eis zurückrechnen: 10 € + 6 € = 16 €
    3. Die Hälfte zurückrechnen: 16 € · 2 = 32 €
    Ergebnis:
    32 €
  3. ★12
    Sara gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein T-Shirt aus. Danach kauft Sara ein Eis für 3 €. Jetzt sind noch 4 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 3 €4 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Ende: 4 €
    2. Das Eis zurückrechnen: 4 € + 3 € = 7 €
    3. Die Hälfte zurückrechnen: 7 € · 2 = 14 €
    Ergebnis:
    14 €

5Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

EntdeckenFrage

Ist die große Familienpackung immer billiger als die kleine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Manchmal kostet ein Kilogramm in der Großpackung mehr. Deshalb muss im Laden neben dem Preis auch der Grundpreis stehen, zum Beispiel der Preis für ein Kilogramm oder einen Liter. Nur damit kann man Angebote wirklich vergleichen.

MerkenSchätzen mit Annahmen

Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.

Man rechnet mit runden Zahlen und rundet das Ergebnis, denn genauer sind die Annahmen nicht.

BeispielSchätzen mit Annahmen

Wie viel Wasser verbraucht eine Familie zum Duschen in einem Monat? Nimm an: 5 Personen duschen jeden Tag, jede Dusche braucht etwa 60 Liter, der Monat hat 30 Tage. Runde auf Hunderter.
5 Personen60 Liter30 Tage
Schritt für Schritt
  1. An einem Tag: 5 · 60 Liter = 300 Liter
  2. 30 Tage: 300 · 30 = 9000
  3. Gerundet: 9000 Liter
  1. An einem Tag: 5 · 60 Liter = 300 Liter
  2. 30 Tage: 300 · 30 = 9000
  3. Gerundet: 9000 Liter
Ergebnis:
etwa 9000 Liter

AchtungErgebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse
So richtig
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 480 Kinder, und jedes braucht etwa 6 Hefte. Runde auf Hunderter.
    480 Kinder6 Hefte
    So fängst du an:
    480 · 6 = 2880
    Lösung zeigen
    1. 480 · 6 = 2880
    2. Auf Hunderter gerundet: 2900
    Ergebnis:
    etwa 2900 Hefte
  2. ●14
    Wie oft schlägt dein Herz an einem Tag? Nimm an: etwa 75-mal in der Minute. Runde auf Tausender.
    Lösung zeigen
    1. In einer Stunde: 75 · 60 = 4500
    2. An einem Tag: 4500 · 24 = 108.000
    3. Auf Tausender gerundet: 108.000
    Ergebnis:
    etwa 108.000-mal
  3. ★15
    Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 640 Kinder, und jedes braucht etwa 9 Hefte. Runde auf Hunderter.
    640 Kinder9 Hefte
    Lösung zeigen
    1. 640 · 9 = 5760
    2. Auf Hunderter gerundet: 5800
    Ergebnis:
    etwa 5800 Hefte

6Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

EntdeckenFrage

Wann musst du losgehen, wenn der Bus um 7:42 Uhr fährt und du 9 Minuten zur Haltestelle brauchst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Um 7:33 Uhr – man rechnet vom Ziel aus rückwärts. Der Mathematiker George Pólya nannte das Rückwärtsarbeiten eine der wichtigsten Strategien: beim Gesuchten anfangen und fragen, was man dafür braucht.

MerkenDer Rechenplan

Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?

Dann Schritt für Schritt rechnen und jedes Zwischenergebnis mit Einheit notieren.

BeispielMit einem Rechenplan in mehreren Schritten

Zu einer Feier kommen 12 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 8,00 €. Was kosten die Pizzen?
Schritt für Schritt
  1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
  2. Stücke: 12 · 2 = 24
  3. Pizzen: 24 : 8 = 3
  4. Preis: 3 · 8,00 € = 24,00 €
  1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
  2. Stücke: 12 · 2 = 24
  3. Pizzen: 24 : 8 = 3
  4. Preis: 3 · 8,00 € = 24,00 €
Ergebnis:
24,00 €

AchtungEiner beim Malnehmen nicht malgenommen

So nicht
24 · 4 = 80 + 4 = 84
So richtig
24 · 4 = 20 · 4 + 4 · 4 = 80 + 16 = 96

Zerlege die Zahl. Nimm jeden Teil mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zu einer Feier kommen 7 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 9,50 €. Was kosten die Pizzen?
    So fängst du an:
    Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    2. Stücke: 7 · 2 = 14
    3. Pizzen: 14 : 6, aufgerundet 3
    4. Preis: 3 · 9,50 € = 28,50 €
    Ergebnis:
    28,50 €
  2. ●17
    Die Klasse 6c fährt mit 20 Kindern in den Tierpark. Der Bus kostet zusammen 220,00 €. Der Eintritt kostet 3,00 € je Kind, das Mittagessen 3,00 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    20 KinderBus 220,00 €Eintritt 3,00 €Essen 3,00 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
    2. Bus je Kind: 220,00 € : 20 = 11,00 €
    3. Je Kind: 11,00 € + 3,00 € + 3,00 € = 17,00 €
    Ergebnis:
    17,00 €
  3. ★18
    Die Klasse 6c fährt mit 30 Kindern in den Tierpark. Der Bus kostet zusammen 270,00 €. Der Eintritt kostet 5,50 € je Kind, das Mittagessen 2,50 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    30 KinderBus 270,00 €Eintritt 5,50 €Essen 2,50 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
    2. Bus je Kind: 270,00 € : 30 = 9,00 €
    3. Je Kind: 9,00 € + 5,50 € + 2,50 € = 17,00 €
    Ergebnis:
    17,00 €

7Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

EntdeckenFrage

Ab wie vielen Fahrten im Monat war 2025 in Berlin das Deutschlandticket billiger als Einzelfahrscheine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Deutschlandticket kostete 2025 im Monat 58 €, ein Einzelfahrschein Berlin AB 3,80 €. 15 Fahrten kosten 57 €, 16 Fahrten schon 60,80 €. Ab 16 Fahrten im Monat war das Deutschlandticket also billiger.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

Bei Tarifen rechnet man aus, was jeder für die eigene Nutzung kostet.

BeispielAngebote über den Preis für ein Stück vergleichen

Angebot A: 10 Joghurts für 4,30 €. Angebot B: 8 Joghurts für 3,84 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
Angebot A10 Joghurts4,30 €Angebot B8 Joghurts3,84 €
Schritt für Schritt
  1. A: 4,30 € : 10 = 0,43 €
  2. B: 3,84 € : 8 = 0,48 €
  3. 0,43 € ist weniger: A ist günstiger.
  1. A: 4,30 € : 10 = 0,43 €
  2. B: 3,84 € : 8 = 0,48 €
  3. 0,43 € ist weniger: A ist günstiger.
Ergebnis:
A, 0,43 € je Stück

AchtungGesamtpreise statt Preise für ein Stück verglichen

So nicht
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → B kostet weniger, B ist günstiger
So richtig
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → A 0,45 € je Stück < B 0,49 € je Stück

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen: Preis für ein Stück oder einen Liter ausrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Angebot A: 6 Joghurts für 3,06 €. Angebot B: 10 Joghurts für 4,20 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A6 Joghurts3,06 €Angebot B10 Joghurts4,20 €
    So fängst du an:
    A: 3,06 € : 6 = 0,51 €
    Lösung zeigen
    1. A: 3,06 € : 6 = 0,51 €
    2. B: 4,20 € : 10 = 0,42 €
    3. 0,42 € ist weniger: B ist günstiger.
    Ergebnis:
    B, 0,42 € je Stück
  2. ●20
    Angebot A: 4 Joghurts für 2,64 €. Angebot B: 8 Joghurts für 3,52 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A4 Joghurts2,64 €Angebot B8 Joghurts3,52 €
    Lösung zeigen
    1. A: 2,64 € : 4 = 0,66 €
    2. B: 3,52 € : 8 = 0,44 €
    3. 0,44 € ist weniger: B ist günstiger.
    Ergebnis:
    B, 0,44 € je Stück
  3. ★21
    Angebot A: 6 Joghurts für 2,52 €. Angebot B: 4 Joghurts für 1,80 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A6 Joghurts2,52 €Angebot B4 Joghurts1,80 €
    Lösung zeigen
    1. A: 2,52 € : 6 = 0,42 €
    2. B: 1,80 € : 4 = 0,45 €
    3. 0,42 € ist weniger: A ist günstiger.
    Ergebnis:
    A, 0,42 € je Stück

8Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

EntdeckenFrage

Warum ging 1999 eine NASA-Sonde am Mars verloren, obwohl die Computer richtig gerechnet hatten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Team lieferte Werte in englischen Einheiten, das andere las sie als metrische Einheiten. Die Werte waren dadurch etwa 4,45-mal zu klein. Die Sonde flog zu tief in die Marsatmosphäre. Niemand hatte geprüft, ob die Ergebnisse zusammenpassen.

MerkenErgebnisse prüfen

Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Ein Überschlag prüft das Komma, und die Einheiten müssen passen.

BeispielIst das Ergebnis sinnvoll?

222 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 60 Kinder. Lena teilt 222 durch 60 und sagt: „Wir brauchen 3,7 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
Schritt für Schritt
  1. 222 : 60 = 3,7
  2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
  3. Aufrunden: 4 Busse
  1. 222 : 60 = 3,7
  2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
  3. Aufrunden: 4 Busse
Ergebnis:
4 Busse

AchtungPlus statt mal

So nicht
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 + 5 = 9
So richtig
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 · 5 = 20

Frag dich: Wie oft kommt die Zahl vor? Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Can hat 20 €. Ein Comic kostet 3,50 €. Can rechnet 20 : 3,5 und sagt: „Ich kann 5,71 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Can wirklich kaufen?
    So fängst du an:
    20 : 3,5 ≈ 5,71
    Lösung zeigen
    1. 20 : 3,5 ≈ 5,71
    2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
    3. Abrunden: 5 Comics
    Ergebnis:
    5 Comics
  2. ●23
    Noah hat 15 €. Ein Comic kostet 2,40 €. Noah rechnet 15 : 2,4 und sagt: „Ich kann 6,25 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Noah wirklich kaufen?
    Lösung zeigen
    1. 15 : 2,4 ≈ 6,25
    2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
    3. Abrunden: 6 Comics
    Ergebnis:
    6 Comics
  3. ★24
    180 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 50 Kinder. Lea teilt 180 durch 50 und sagt: „Wir brauchen 3,6 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
    Lösung zeigen
    1. 180 : 50 = 3,6
    2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
    3. Aufrunden: 4 Busse
    Ergebnis:
    4 Busse

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Sara ist 11 Jahre alt und kauft 4 Hefte zu je 1,20 €. Was kosten die Hefte zusammen? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
    2. Nicht gebraucht: 11 Jahre.
    3. 4 · 1,20 € = 4,80 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 11 Jahre; 4,80 €
  2. ●26
    Eine Kiste ist 38 cm lang und 29 cm breit. Wie viel passt hinein? Was musst du noch wissen, um die Frage zu beantworten?
    A: was in der Kiste liegt
    B: wie lang die Kiste ist
    C: wie hoch die Kiste ist
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist das Volumen.
    2. Dafür fehlt: wie hoch die Kiste ist.
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C
  3. ●27
    Ein rechteckiger Garten ist 24 m lang und 16 m breit. Rundherum kommt alle 4 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    1. Umfang: 2 · 24 m + 2 · 16 m = 80 m
    2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
    3. 80 m : 4 m = 20
    Ergebnis:
    20 Pfähle
  4. ●28
    Beim Sommerfest stehen 12 Tische in einer Reihe: quadratische Tische, an jeder Seite ein Stuhl. Zeichne drei Tische und finde eine Regel. Wie viele Stühle passen an alle 12 Tische?
    ?
    Lösung zeigen
    1. Zeichnung: An den Stoßstellen fallen die Stühle weg.
    2. Jeder Tisch: 2 Plätze oben und unten, dazu 2 an den Enden.
    3. 2 · 12 + 2 = 26
    Ergebnis:
    26 Stühle
  5. ●29
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 13 Karten und zahlt 92 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    2. Probieren: 6 Erwachsenenkarten, 7 Kinderkarten: 54 + 28 = 82 €
    3. Probieren: 8 Erwachsenenkarten, 5 Kinderkarten: 72 + 20 = 92 €
    4. Passt: 8 Erwachsenenkarten und 5 Kinderkarten.
    Ergebnis:
    8 Erwachsenenkarten
  6. ●30
    Jonas und Emma haben zusammen 56 €. Jonas hat 6 € mehr als Emma. Wie viel Geld hat jeder?
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Betrag von Emma, Betrag von Jonas, zusammen.
    2. Probieren: Emma 24 €, Jonas 30 €, zusammen 54 €
    3. Probieren: Emma 25 €, Jonas 31 €, zusammen 56 €
    Ergebnis:
    Jonas 31 €, Emma 25 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Wichtige und überflüssige Angaben
Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.
Eine Skizze hilft
Zeichne die Sache einfach und klein.
Tabelle und Probieren
Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.
Rückwärtsarbeiten
Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.
Schätzen mit Annahmen
Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.
Der Rechenplan
Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.
Ergebnisse prüfen
Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

    31
    Ein Bus fährt um 8:25 Uhr los. Er braucht 40 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 14 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    überflüssig: 14 Haltestellen; 9:05 Uhr

  2. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    32
    Ein Zaun ist 50 m lang. Alle 5 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
    …5 m50 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11 Pfähle

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

    33
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 14 Karten und zahlt 121 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13 Erwachsenenkarten

  4. Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

    34
    Lena hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 3 Stück. Vom Rest behält Lena die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Lena behält 5 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13 Bonbons

  5. Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

    35
    Eine Klasse hat 20 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 3 Scheiben Brot. Ein Brot hat 20 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 5 Schultage?
    3 Scheiben20 Scheiben5 Schultage
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 Brote

  6. Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

    36
    Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 11 m lang und 5 m breit. Für 1 m² braucht man 25 g Samen. Eine Packung enthält 250 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
    11 m5 m
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Packungen

  7. Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

    37
    Angebot A: 5 Hefte für 3,65 €. Angebot B: 3 Hefte für 0,87 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A5 Hefte3,65 €Angebot B3 Hefte0,87 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B, 0,29 € je Stück

  8. Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

    38
    140 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 40 Kinder. Emma teilt 140 durch 40 und sagt: „Wir brauchen 3,5 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Busse

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Heurismen als Werkzeugkasten: Skizze, Tabelle und Rückwärtsarbeiten, wenn kein Rechenweg dasteht.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Einkaufen, Fahrpläne, Feste planen, Tarife vergleichen. Beruf: Handwerk (Material kalkulieren), Einzelhandel, Veranstaltungsplanung.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Terme und einfache Gleichungen, Zuordnungen und Dreisatz, Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. überflüssig: 11 Jahre; 8,00 €
  2. überflüssig: 11 Jahre; 10,00 €
  3. überflüssig: 13 Jahre; 25,00 €
  4. 10 Bäume
  5. 5 Pfähle
  6. 26 Bäume
  7. 7 Dreiräder
  8. 2 Kaninchen
  9. 17 Erwachsenenkarten
  10. 34 Bonbons
  11. 32 €
  12. 14 €
  13. etwa 2900 Hefte
  14. etwa 108.000-mal
  15. etwa 5800 Hefte
  16. 28,50 €
  17. 17,00 €
  18. 17,00 €
  19. B, 0,42 € je Stück
  20. B, 0,44 € je Stück
  21. A, 0,42 € je Stück
  22. 5 Comics
  23. 6 Comics
  24. 4 Busse
  25. überflüssig: 11 Jahre; 4,80 €
  26. C
  27. 20 Pfähle
  28. 26 Stühle
  29. 8 Erwachsenenkarten
  30. Jonas 31 €, Emma 25 €
  31. überflüssig: 14 Haltestellen; 9:05 Uhr
  32. 11 Pfähle
  33. 13 Erwachsenenkarten
  34. 13 Bonbons
  35. 15 Brote
  36. 6 Packungen
  37. B, 0,29 € je Stück
  38. 4 Busse
  39. 63 Busse
  40. 29,47 €