Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Sachaufgaben und Problemlösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele raten wild herum oder rechnen 56 − 20. Manche geben nach zwei Versuchen auf, andere finden die Lösung zufällig, können aber nicht sagen, wie. Wenn der Weg nicht dasteht, hilft ein Werkzeug: Wir legen eine Tabelle an und probieren mit System, Zeile für Zeile. So kommt jede und jeder ans Ziel und kann den Weg erklären.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Größen rechnet man mit Einheit, und vor dem Rechnen stehen alle Angaben in derselben Einheit.

●39
Ein Datenpaket fürs Handy hat 18.000 MB. Jeden Tag verbrauchst du 250 MB. Wie viele Tage reicht das Paket?
Lösung zeigen
1. 18.000 geteilt durch 250
2. Das Paket reicht 72 Tage
Ergebnis:
72 Tage
●40
Du kaufst Sachen für 8,47 €, 12,23 € und zahlst mit einem 50-€-Schein. Berechne das Rückgeld.
Lösung zeigen
1. Summe: 8,47 + 12,23 = 20,70 €
2. Rückgeld: 50 − 20,7 = 29,30 €
Ergebnis:
29,30 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Situation, dann die Rechnung

Eine Sachaufgabe ist eine Situation und keine Zahlensammlung. Erst klären, was gefragt und was gegeben ist, dann einen Weg wählen: Skizze, Tabelle oder rückwärts. Zum Schluss wird das Ergebnis an der Situation geprüft.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und was verrät dir diese Frage über das Lösen von Sachaufgaben?

1Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

EntdeckenFrage

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann niemand wissen – die Zahlen haben mit dem Alter nichts zu tun. Trotzdem rechneten in französischen Untersuchungen viele Grundschulkinder 26 + 10 = 36 und schrieben „36 Jahre“. Wer zuerst die Frage liest, fällt darauf nicht herein.

MerkenWichtige und überflüssige Angaben

Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Fehlt eine Angabe, kann man die Frage nicht beantworten.

BeispielÜberflüssige Angaben erkennen

Ein Beet ist 4 m lang und 2 m breit. Darin wachsen 31 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.

Schritt für Schritt

Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
Nicht gebraucht: 31 Tulpen.
Umfang: 2 · 4 m + 2 · 2 m
2 · 4 m + 2 · 2 m = 12 m

Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
Nicht gebraucht: 31 Tulpen.
Umfang: 2 · 4 m + 2 · 2 m
2 · 4 m + 2 · 2 m = 12 m

Ergebnis:

überflüssig: 31 Tulpen; 12 m

AchtungAngaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €

So richtig

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

○1
Aylin ist 11 Jahre alt und spart jede Woche 4,00 €. Wie viel hat Aylin nach 9 Wochen gespart? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
So fängst du an:
Gefragt ist: Wie viel hat Aylin nach 9 Wochen gespart?
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wie viel hat Aylin nach 9 Wochen gespart?
2. Nicht gebraucht: 11 Jahre.
3. 9 · 4,00 € = 36,00 €
Ergebnis:
überflüssig: 11 Jahre; 36,00 €
●2
Ein Aquarium ist 80 cm lang, 25 cm breit und 50 cm hoch. Darin schwimmen 12 Fische. Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein?
2. Nicht gebraucht: 12 Fische.
3. 80 cm · 25 cm · 50 cm = 100.000 cm³
4. 1000 cm³ sind 1 Liter: 100.000 cm³ = 100 Liter
Ergebnis:
überflüssig: 12 Fische; 100 Liter
★3
Ein Bus fährt um 9:25 Uhr los. Er braucht 50 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 12 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
2. Nicht gebraucht: 12 Haltestellen.
3. 9:25 Uhr und 50 min
4. Ankunft: 10:15 Uhr
Ergebnis:
überflüssig: 12 Haltestellen; 10:15 Uhr

2Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

In einem Käfig sitzen Fasane und Kaninchen, zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

23 Fasane und 12 Kaninchen: 23 · 2 + 12 · 4 = 46 + 48 = 94. Das Rätsel steht in einem chinesischen Rechenbuch, das rund 1500 Jahre alt ist. Mit einer Tabelle und systematischem Probieren findet man die Lösung, ohne zu raten.

MerkenEine Skizze hilft

Zeichne die Sache einfach und klein.

An der Skizze sieht man, was man zählen muss. Ein Zaun mit Pfählen an beiden Enden hat einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

BeispielMit einer Skizze zählen: Pfähle und Bäume

Ein Zaun ist 30 m lang. Alle 5 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?

Schritt für Schritt

Zwischenräume: 30 m : 5 m = 6
Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
6 + 1 = 7

Zwischenräume: 30 m : 5 m = 6
Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
6 + 1 = 7

Ergebnis:

7 Pfähle

AchtungAnfang oder Ende nicht mitgezählt

So nicht

Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 → 10 Pfähle

So richtig

Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 = 10 Zwischenräume → 11 Pfähle

Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt es: Bei zwei Enden gibt es einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

ÜbenJetzt du

○4
Ein Zaun ist 28 m lang. Alle 4 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
So fängst du an:
Zwischenräume: 28 m : 4 m = 7
Lösung zeigen
1. Zwischenräume: 28 m : 4 m = 7
2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
3. 7 + 1 = 8
Ergebnis:
8 Pfähle
●5
An beiden Seiten eines 12 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 2 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Zwischenräume auf einer Seite: 12 m : 2 m = 6
2. Bäume auf einer Seite: 6 + 1 = 7
3. Beide Seiten: 2 · 7 = 14
Ergebnis:
14 Bäume
★6
An beiden Seiten eines 65 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 5 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Zwischenräume auf einer Seite: 65 m : 5 m = 13
2. Bäume auf einer Seite: 13 + 1 = 14
3. Beide Seiten: 2 · 14 = 28
Ergebnis:
28 Bäume

3Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein 20 m langer Zaun, wenn alle 2 m einer steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Elf, nicht zehn: 20 : 2 = 10 Zwischenräume, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Dieser Fehler ist so verbreitet, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler. Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt ihn sofort.

MerkenTabelle und Probieren

Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.

Jede Zeile prüft alle Bedingungen. So wird nichts vergessen, und man sieht, in welche Richtung man weitergehen muss.

BeispielKöpfe und Beine: systematisch probieren

Im Hof stehen 12 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 26 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?

Schritt für Schritt

Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
Probieren: 1 Dreiräder, 11 Fahrräder: 3 + 22 = 25 Räder
Probieren: 2 Dreiräder, 10 Fahrräder: 6 + 20 = 26 Räder
Passt: 2 Dreiräder und 10 Fahrräder.

Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
Probieren: 1 Dreiräder, 11 Fahrräder: 3 + 22 = 25 Räder
Probieren: 2 Dreiräder, 10 Fahrräder: 6 + 20 = 26 Räder
Passt: 2 Dreiräder und 10 Fahrräder.

Ergebnis:

2 Dreiräder

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht

27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse

So richtig

27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

○7
Im Hof stehen 12 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 28 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
So fängst du an:
Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
2. Probieren: 2 Dreiräder, 10 Fahrräder: 6 + 20 = 26 Räder
3. Probieren: 4 Dreiräder, 8 Fahrräder: 12 + 16 = 28 Räder
4. Passt: 4 Dreiräder und 8 Fahrräder.
Ergebnis:
4 Dreiräder
●8
Im Hof stehen 9 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 23 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
2. Probieren: 3 Dreiräder, 6 Fahrräder: 9 + 12 = 21 Räder
3. Probieren: 5 Dreiräder, 4 Fahrräder: 15 + 8 = 23 Räder
4. Passt: 5 Dreiräder und 4 Fahrräder.
Ergebnis:
5 Dreiräder
★9
Im Hof stehen 17 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 47 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
2. Probieren: 8 Dreiräder, 9 Fahrräder: 24 + 18 = 42 Räder
3. Probieren: 13 Dreiräder, 4 Fahrräder: 39 + 8 = 47 Räder
4. Passt: 13 Dreiräder und 4 Fahrräder.
Ergebnis:
13 Dreiräder

4Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

EntdeckenFrage

Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago – und wie kann man das ohne Nachschlagen schätzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Diese Frage stellte der Physiker Enrico Fermi seinen Studierenden. Mit wenigen Annahmen – Einwohner, Haushalte mit Klavier, wie oft ein Klavier gestimmt wird, wie viele Klaviere ein Stimmer schafft – kommt man auf eine Zahl in der Größenordnung von hundert.

MerkenRückwärtsarbeiten

Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärtsarbeiten mit Anzahlen und Geld

Tom hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 6 Stück. Vom Rest behält Tom die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Tom behält 8 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?

Schritt für Schritt

Rückwärts: Tom behält 8 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
Rest: 8 · 2 = 16
Vor dem Bruder: 16 + 6 = 22

Rückwärts: Tom behält 8 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
Rest: 8 · 2 = 16
Vor dem Bruder: 16 + 6 = 22

Ergebnis:

22 Bonbons

AchtungRückwärts mit derselben Rechenart gerechnet

So nicht

Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 − 4 → 4 · 2 → 8 €

So richtig

Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 + 4 = 12 → 12 · 2 = 24 €

Rückwärts dreht jede Rechnung um: plus wird minus, mal wird geteilt – und der letzte Schritt kommt zuerst.

ÜbenJetzt du

○10
Paul spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 7 verloren. Am Ende hat Paul 29 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts: Am Ende sind es 29.
Lösung zeigen
1. Rückwärts: Am Ende sind es 29.
2. Die verlorenen zurück: 29 + 7 = 36
3. Das Verdoppeln zurück: 36 : 2 = 18
Ergebnis:
18 Murmeln
●11
Aylin spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 10 verloren. Am Ende hat Aylin 28 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: Am Ende sind es 28.
2. Die verlorenen zurück: 28 + 10 = 38
3. Das Verdoppeln zurück: 38 : 2 = 19
Ergebnis:
19 Murmeln
★12
Lea gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein T-Shirt aus. Danach kauft Lea ein Eis für 3 €. Jetzt sind noch 8 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Ende: 8 €
2. Das Eis zurückrechnen: 8 € + 3 € = 11 €
3. Die Hälfte zurückrechnen: 11 € · 2 = 22 €
Ergebnis:
22 €

5Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

EntdeckenFrage

Ist die große Familienpackung immer billiger als die kleine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Manchmal kostet ein Kilogramm in der Großpackung mehr. Deshalb muss im Laden neben dem Preis auch der Grundpreis stehen, zum Beispiel der Preis für ein Kilogramm oder einen Liter. Nur damit kann man Angebote wirklich vergleichen.

MerkenSchätzen mit Annahmen

Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.

Man rechnet mit runden Zahlen und rundet das Ergebnis, denn genauer sind die Annahmen nicht.

BeispielSchätzen mit Annahmen

Wie viel Wasser verbraucht eine Familie zum Duschen in einem Monat? Nimm an: 4 Personen duschen jeden Tag, jede Dusche braucht etwa 60 Liter, der Monat hat 30 Tage. Runde auf Hunderter.

Schritt für Schritt

An einem Tag: 4 · 60 Liter = 240 Liter
30 Tage: 240 · 30 = 7200
Gerundet: 7200 Liter

An einem Tag: 4 · 60 Liter = 240 Liter
30 Tage: 240 · 30 = 7200
Gerundet: 7200 Liter

Ergebnis:

etwa 7200 Liter

AchtungErgebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht

130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse

So richtig

130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

○13
Wie viel Wasser verbraucht eine Familie zum Duschen in einem Monat? Nimm an: 4 Personen duschen jeden Tag, jede Dusche braucht etwa 80 Liter, der Monat hat 30 Tage. Runde auf Hunderter.
So fängst du an:
An einem Tag: 4 · 80 Liter = 320 Liter
Lösung zeigen
1. An einem Tag: 4 · 80 Liter = 320 Liter
2. 30 Tage: 320 · 30 = 9600
3. Gerundet: 9600 Liter
Ergebnis:
etwa 9600 Liter
●14
Wie oft schlägt dein Herz an einem Tag? Nimm an: etwa 80-mal in der Minute. Runde auf Tausender.
Lösung zeigen
1. In einer Stunde: 80 · 60 = 4800
2. An einem Tag: 4800 · 24 = 115.200
3. Auf Tausender gerundet: 115.000
Ergebnis:
etwa 115.000-mal
★15
Wie viel Wasser verbraucht eine Familie zum Duschen in einem Jahr? Nimm an: 5 Personen duschen jeden Tag, jede Dusche braucht etwa 40 Liter, das Jahr hat 365 Tage. Runde auf Tausender.
Lösung zeigen
1. An einem Tag: 5 · 40 Liter = 200 Liter
2. 365 Tage: 200 · 365 = 73.000
3. Gerundet: 73.000 Liter
Ergebnis:
etwa 73.000 Liter

6Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

EntdeckenFrage

Wann musst du losgehen, wenn der Bus um 7:42 Uhr fährt und du 9 Minuten zur Haltestelle brauchst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Um 7:33 Uhr – man rechnet vom Ziel aus rückwärts. Der Mathematiker George Pólya nannte das Rückwärtsarbeiten eine der wichtigsten Strategien: beim Gesuchten anfangen und fragen, was man dafür braucht.

MerkenDer Rechenplan

Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?

Dann Schritt für Schritt rechnen und jedes Zwischenergebnis mit Einheit notieren.

BeispielMit einem Rechenplan in mehreren Schritten

Die Klasse 6c fährt mit 20 Kindern in den Tierpark. Der Bus kostet zusammen 240,00 €. Der Eintritt kostet 8,00 € je Kind, das Mittagessen 5,00 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
Bus je Kind: 240,00 € : 20 = 12,00 €
Je Kind: 12,00 € + 8,00 € + 5,00 € = 25,00 €

Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
Bus je Kind: 240,00 € : 20 = 12,00 €
Je Kind: 12,00 € + 8,00 € + 5,00 € = 25,00 €

Ergebnis:

25,00 €

AchtungNoch einmal: Angaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €

So richtig

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

○16
Die Klasse 6c fährt mit 28 Kindern in den Tierpark. Der Bus kostet zusammen 224,00 €. Der Eintritt kostet 6,00 € je Kind, das Mittagessen 3,00 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
2. Bus je Kind: 224,00 € : 28 = 8,00 €
3. Je Kind: 8,00 € + 6,00 € + 3,00 € = 17,00 €
Ergebnis:
17,00 €
●17
Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 12 m lang und 3 m breit. Für 1 m² braucht man 30 g Samen. Eine Packung enthält 250 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
Lösung zeigen
1. Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
2. Fläche: 12 m · 3 m = 36 m²
3. Samen: 36 · 30 g = 1080 g
4. Packungen: 1080 g : 250 g, aufgerundet 5
Ergebnis:
5 Packungen
★18
Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 15 m lang und 12 m breit. Für 1 m² braucht man 40 g Samen. Eine Packung enthält 500 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
Lösung zeigen
1. Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
2. Fläche: 15 m · 12 m = 180 m²
3. Samen: 180 · 40 g = 7200 g
4. Packungen: 7200 g : 500 g, aufgerundet 15
Ergebnis:
15 Packungen

7Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

EntdeckenFrage

Ab wie vielen Fahrten im Monat war 2025 in Berlin das Deutschlandticket billiger als Einzelfahrscheine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Deutschlandticket kostete 2025 im Monat 58 €, ein Einzelfahrschein Berlin AB 3,80 €. 15 Fahrten kosten 57 €, 16 Fahrten schon 60,80 €. Ab 16 Fahrten im Monat war das Deutschlandticket also billiger.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

Bei Tarifen rechnet man aus, was jeder für die eigene Nutzung kostet.

BeispielAngebote über den Preis für ein Stück vergleichen

Angebot A: 8 Joghurts für 6,00 €. Angebot B: 6 Joghurts für 2,64 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.

Schritt für Schritt

A: 6,00 € : 8 = 0,75 €
B: 2,64 € : 6 = 0,44 €
0,44 € ist weniger: B ist günstiger.

A: 6,00 € : 8 = 0,75 €
B: 2,64 € : 6 = 0,44 €
0,44 € ist weniger: B ist günstiger.

Ergebnis:

B, 0,44 € je Stück

AchtungGesamtpreise statt Preise für ein Stück verglichen

So nicht

A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → B kostet weniger, B ist günstiger

So richtig

A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → A 0,45 € je Stück < B 0,49 € je Stück

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen: Preis für ein Stück oder einen Liter ausrechnen.

ÜbenJetzt du

○19
Angebot A: 6 Joghurts für 3,30 €. Angebot B: 8 Joghurts für 5,76 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
So fängst du an:
A: 3,30 € : 6 = 0,55 €
Lösung zeigen
1. A: 3,30 € : 6 = 0,55 €
2. B: 5,76 € : 8 = 0,72 €
3. 0,55 € ist weniger: A ist günstiger.
Ergebnis:
A, 0,55 € je Stück
●20
Angebot A: 8 Joghurts für 4,56 €. Angebot B: 10 Joghurts für 7,80 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
Lösung zeigen
1. A: 4,56 € : 8 = 0,57 €
2. B: 7,80 € : 10 = 0,78 €
3. 0,57 € ist weniger: A ist günstiger.
Ergebnis:
A, 0,57 € je Stück
★21
Angebot A: 1 Liter Saft für 0,33 €. Angebot B: 3 Liter Saft für 1,41 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
Lösung zeigen
1. A: 0,33 € : 1 = 0,33 €
2. B: 1,41 € : 3 = 0,47 €
3. 0,33 € ist weniger: A ist günstiger.
Ergebnis:
A, 0,33 € je Liter

8Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

EntdeckenFrage

Warum ging 1999 eine NASA-Sonde am Mars verloren, obwohl die Computer richtig gerechnet hatten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Team lieferte Werte in englischen Einheiten, das andere las sie als metrische Einheiten. Die Werte waren dadurch etwa 4,45-mal zu klein. Die Sonde flog zu tief in die Marsatmosphäre. Niemand hatte geprüft, ob die Ergebnisse zusammenpassen.

MerkenErgebnisse prüfen

Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Ein Überschlag prüft das Komma, und die Einheiten müssen passen.

BeispielIst das Ergebnis sinnvoll?

Sara hat 20 €. Ein Comic kostet 1,50 €. Sara rechnet 20 : 1,5 und sagt: „Ich kann 13,33 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Sara wirklich kaufen?

Schritt für Schritt

20 : 1,5 ≈ 13,33
Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
Abrunden: 13 Comics

20 : 1,5 ≈ 13,33
Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
Abrunden: 13 Comics

Ergebnis:

13 Comics

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
354 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 60 Kinder. Jonas teilt 354 durch 60 und sagt: „Wir brauchen 5,9 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
So fängst du an:
354 : 60 = 5,9
Lösung zeigen
1. 354 : 60 = 5,9
2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
3. Aufrunden: 6 Busse
Ergebnis:
6 Busse
●23
Tom hat 20 €. Ein Comic kostet 4,50 €. Tom rechnet 20 : 4,5 und sagt: „Ich kann 4,44 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Tom wirklich kaufen?
Lösung zeigen
1. 20 : 4,5 ≈ 4,44
2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
3. Abrunden: 4 Comics
Ergebnis:
4 Comics
★24
175 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 50 Kinder. Sara teilt 175 durch 50 und sagt: „Wir brauchen 3,5 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
Lösung zeigen
1. 175 : 50 = 3,5
2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
3. Aufrunden: 4 Busse
Ergebnis:
4 Busse

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Ein Beet ist 5 m lang und 2 m breit. Darin wachsen 25 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
2. Nicht gebraucht: 25 Tulpen.
3. Umfang: 2 · 5 m + 2 · 2 m
4. 2 · 5 m + 2 · 2 m = 14 m
Ergebnis:
überflüssig: 25 Tulpen; 14 m
●26
Ein Zug fährt um 12:40 Uhr in Berlin ab. Wann kommt er in Leipzig an? Diese Aufgabe kann man nicht lösen. Welche Angabe fehlt?
A: wann der Zug abfährt
B: wie viele Wagen der Zug hat
C: wie lange die Fahrt dauert
Lösung zeigen
1. Gesucht ist die Ankunftszeit.
2. Dafür fehlt: wie lange die Fahrt dauert.
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C
●27
Ein rechteckiger Garten ist 40 m lang und 10 m breit. Rundherum kommt alle 5 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Umfang: 2 · 40 m + 2 · 10 m = 100 m
2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
3. 100 m : 5 m = 20
Ergebnis:
20 Pfähle
●28
Beim Sommerfest stehen 6 Tische in einer Reihe: quadratische Tische, an jeder Seite ein Stuhl. Zeichne drei Tische und finde eine Regel. Wie viele Stühle passen an alle 6 Tische?
Lösung zeigen
1. Zeichnung: An den Stoßstellen fallen die Stühle weg.
2. Jeder Tisch: 2 Plätze oben und unten, dazu 2 an den Enden.
3. 2 · 6 + 2 = 14
Ergebnis:
14 Stühle
●29
Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 13 Köpfe und 32 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
2. Probieren: 1 Kaninchen, 12 Hühner: 4 + 24 = 28 Beine
3. Probieren: 3 Kaninchen, 10 Hühner: 12 + 20 = 32 Beine
4. Passt: 3 Kaninchen und 10 Hühner.
Ergebnis:
3 Kaninchen
●30
Paul und Can haben zusammen 26 €. Paul hat 4 € mehr als Can. Wie viel Geld hat jeder?
Lösung zeigen
1. Tabelle: Betrag von Can, Betrag von Paul, zusammen.
2. Probieren: Can 10 €, Paul 14 €, zusammen 24 €
3. Probieren: Can 11 €, Paul 15 €, zusammen 26 €
Ergebnis:
Paul 15 €, Can 11 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Wichtige und überflüssige Angaben: Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.
Eine Skizze hilft: Zeichne die Sache einfach und klein.
Tabelle und Probieren: Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.
Rückwärtsarbeiten: Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.
Schätzen mit Annahmen: Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.
Der Rechenplan: Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.
Ergebnisse prüfen: Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.
31
Ein Beet ist 5 m lang und 3 m breit. Darin wachsen 35 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
Lösung zeigen
Ergebnis:
überflüssig: 35 Tulpen; 16 m
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
32
Ein rechteckiger Garten ist 12 m lang und 9 m breit. Rundherum kommt alle 3 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
14 Pfähle
Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.
33
Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 6 Karten und zahlt 44 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Erwachsenenkarten
Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.
34
Sara hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 9 Stück. Vom Rest behält Sara die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Sara behält 11 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
31 Bonbons
Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).
35
Wie oft schlägt dein Herz an einem Tag? Nimm an: etwa 75-mal in der Minute. Runde auf Tausender.
Lösung zeigen
Ergebnis:
etwa 108.000-mal
Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.
36
Die Klasse 6c fährt mit 25 Kindern in den Tierpark. Der Bus kostet zusammen 375,00 €. Der Eintritt kostet 3,00 € je Kind, das Mittagessen 4,00 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
22,00 €
Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.
37
Angebot A: 6 Joghurts für 2,10 €. Angebot B: 4 Joghurts für 2,28 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
Lösung zeigen
Ergebnis:
A, 0,35 € je Stück
Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.
38
105 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 50 Kinder. Sara teilt 105 durch 50 und sagt: „Wir brauchen 2,1 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Busse

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Heurismen als Werkzeugkasten: Skizze, Tabelle und Rückwärtsarbeiten, wenn kein Rechenweg dasteht.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Einkaufen, Fahrpläne, Feste planen, Tarife vergleichen. Beruf: Handwerk (Material kalkulieren), Einzelhandel, Veranstaltungsplanung.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Terme und einfache Gleichungen, Zuordnungen und Dreisatz, Sachaufgaben lösen

Lösungen

überflüssig: 11 Jahre; 36,00 €
überflüssig: 12 Fische; 100 Liter
überflüssig: 12 Haltestellen; 10:15 Uhr
8 Pfähle
14 Bäume
28 Bäume
4 Dreiräder
5 Dreiräder
13 Dreiräder
18 Murmeln
19 Murmeln
22 €
etwa 9600 Liter
etwa 115.000-mal
etwa 73.000 Liter
17,00 €
5 Packungen
15 Packungen
A, 0,55 € je Stück
A, 0,57 € je Stück
A, 0,33 € je Liter
6 Busse
4 Comics
4 Busse
überflüssig: 25 Tulpen; 14 m
C
20 Pfähle
14 Stühle
3 Kaninchen
Paul 15 €, Can 11 €
überflüssig: 35 Tulpen; 16 m
14 Pfähle
4 Erwachsenenkarten
31 Bonbons
etwa 108.000-mal
22,00 €
A, 0,35 € je Stück
3 Busse
72 Tage
29,30 €