Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Sachaufgaben und Problemlösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele raten wild herum oder rechnen 56 − 20. Manche geben nach zwei Versuchen auf, andere finden die Lösung zufällig, können aber nicht sagen, wie. Wenn der Weg nicht dasteht, hilft ein Werkzeug: Wir legen eine Tabelle an und probieren mit System, Zeile für Zeile. So kommt jede und jeder ans Ziel und kann den Weg erklären.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Größen rechnet man mit Einheit, und vor dem Rechnen stehen alle Angaben in derselben Einheit.

●39
Eine Klassenfahrt kostet für 24 Kinder zusammen 3.360,00 €. Alle zahlen gleich viel. Wie viel zahlt ein Kind?
Lösung zeigen
1. 3.360,00 € geteilt durch 24 Kinder
2. Ein Kind zahlt 140,00 €
Ergebnis:
140,00 €
●40
Du kaufst Sachen für 9,97 €, 7,56 € und zahlst mit einem 20-€-Schein. Berechne das Rückgeld.
Lösung zeigen
1. Summe: 9,97 + 7,56 = 17,53 €
2. Rückgeld: 20 − 17,53 = 2,47 €
Ergebnis:
2,47 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Situation, dann die Rechnung

Eine Sachaufgabe ist eine Situation und keine Zahlensammlung. Erst klären, was gefragt und was gegeben ist, dann einen Weg wählen: Skizze, Tabelle oder rückwärts. Zum Schluss wird das Ergebnis an der Situation geprüft.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und was verrät dir diese Frage über das Lösen von Sachaufgaben?

1Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

EntdeckenFrage

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann niemand wissen – die Zahlen haben mit dem Alter nichts zu tun. Trotzdem rechneten in französischen Untersuchungen viele Grundschulkinder 26 + 10 = 36 und schrieben „36 Jahre“. Wer zuerst die Frage liest, fällt darauf nicht herein.

MerkenWichtige und überflüssige Angaben

Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Fehlt eine Angabe, kann man die Frage nicht beantworten.

BeispielÜberflüssige Angaben erkennen

Paul ist 11 Jahre alt und kauft 5 Hefte zu je 0,50 €. Was kosten die Hefte zusammen? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.

Schritt für Schritt

Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
Nicht gebraucht: 11 Jahre.
5 · 0,50 € = 2,50 €

Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
Nicht gebraucht: 11 Jahre.
5 · 0,50 € = 2,50 €

Ergebnis:

überflüssig: 11 Jahre; 2,50 €

AchtungAngaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €

So richtig

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

○1
Emma ist 11 Jahre alt und spart jede Woche 4,00 €. Wie viel hat Emma nach 10 Wochen gespart? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
So fängst du an:
Gefragt ist: Wie viel hat Emma nach 10 Wochen gespart?
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wie viel hat Emma nach 10 Wochen gespart?
2. Nicht gebraucht: 11 Jahre.
3. 10 · 4,00 € = 40,00 €
Ergebnis:
überflüssig: 11 Jahre; 40,00 €
●2
Lena ist 10 Jahre alt und spart jede Woche 2,00 €. Wie viel hat Lena nach 11 Wochen gespart? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wie viel hat Lena nach 11 Wochen gespart?
2. Nicht gebraucht: 10 Jahre.
3. 11 · 2,00 € = 22,00 €
Ergebnis:
überflüssig: 10 Jahre; 22,00 €
★3
Mia ist 12 Jahre alt und kauft 4 Hefte zu je 2,15 €. Was kosten die Hefte zusammen? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
2. Nicht gebraucht: 12 Jahre.
3. 4 · 2,15 € = 8,60 €
Ergebnis:
überflüssig: 12 Jahre; 8,60 €

2Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

In einem Käfig sitzen Fasane und Kaninchen, zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

23 Fasane und 12 Kaninchen: 23 · 2 + 12 · 4 = 46 + 48 = 94. Das Rätsel steht in einem chinesischen Rechenbuch, das rund 1500 Jahre alt ist. Mit einer Tabelle und systematischem Probieren findet man die Lösung, ohne zu raten.

MerkenEine Skizze hilft

Zeichne die Sache einfach und klein.

An der Skizze sieht man, was man zählen muss. Ein Zaun mit Pfählen an beiden Enden hat einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

BeispielMit einer Skizze zählen: Pfähle und Bäume

Ein rechteckiger Garten ist 25 m lang und 10 m breit. Rundherum kommt alle 5 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?

Schritt für Schritt

Umfang: 2 · 25 m + 2 · 10 m = 70 m
Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
70 m : 5 m = 14

Umfang: 2 · 25 m + 2 · 10 m = 70 m
Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
70 m : 5 m = 14

Ergebnis:

14 Pfähle

AchtungAnfang oder Ende nicht mitgezählt

So nicht

Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 → 10 Pfähle

So richtig

Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 = 10 Zwischenräume → 11 Pfähle

Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt es: Bei zwei Enden gibt es einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

ÜbenJetzt du

○4
Ein Zaun ist 50 m lang. Alle 5 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
So fängst du an:
Zwischenräume: 50 m : 5 m = 10
Lösung zeigen
1. Zwischenräume: 50 m : 5 m = 10
2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
3. 10 + 1 = 11
Ergebnis:
11 Pfähle
●5
Ein Zaun ist 24 m lang. Alle 3 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
Lösung zeigen
1. Zwischenräume: 24 m : 3 m = 8
2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
3. 8 + 1 = 9
Ergebnis:
9 Pfähle
★6
An beiden Seiten eines 115 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 5 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Zwischenräume auf einer Seite: 115 m : 5 m = 23
2. Bäume auf einer Seite: 23 + 1 = 24
3. Beide Seiten: 2 · 24 = 48
Ergebnis:
48 Bäume

3Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein 20 m langer Zaun, wenn alle 2 m einer steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Elf, nicht zehn: 20 : 2 = 10 Zwischenräume, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Dieser Fehler ist so verbreitet, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler. Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt ihn sofort.

MerkenTabelle und Probieren

Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.

Jede Zeile prüft alle Bedingungen. So wird nichts vergessen, und man sieht, in welche Richtung man weitergehen muss.

BeispielKöpfe und Beine: systematisch probieren

Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 7 Karten und zahlt 53 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?

Schritt für Schritt

Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
Probieren: 3 Erwachsenenkarten, 4 Kinderkarten: 27 + 16 = 43 €
Probieren: 5 Erwachsenenkarten, 2 Kinderkarten: 45 + 8 = 53 €
Passt: 5 Erwachsenenkarten und 2 Kinderkarten.

Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
Probieren: 3 Erwachsenenkarten, 4 Kinderkarten: 27 + 16 = 43 €
Probieren: 5 Erwachsenenkarten, 2 Kinderkarten: 45 + 8 = 53 €
Passt: 5 Erwachsenenkarten und 2 Kinderkarten.

Ergebnis:

5 Erwachsenenkarten

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht

27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse

So richtig

27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

○7
Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 8 Köpfe und 20 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
So fängst du an:
Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
2. Probieren: 1 Kaninchen, 7 Hühner: 4 + 14 = 18 Beine
3. Probieren: 2 Kaninchen, 6 Hühner: 8 + 12 = 20 Beine
4. Passt: 2 Kaninchen und 6 Hühner.
Ergebnis:
2 Kaninchen
●8
Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 8 Karten und zahlt 42 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
2. Probieren: 1 Erwachsenenkarten, 7 Kinderkarten: 9 + 28 = 37 €
3. Probieren: 2 Erwachsenenkarten, 6 Kinderkarten: 18 + 24 = 42 €
4. Passt: 2 Erwachsenenkarten und 6 Kinderkarten.
Ergebnis:
2 Erwachsenenkarten
★9
Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 24 Karten und zahlt 141 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
2. Probieren: 7 Erwachsenenkarten, 17 Kinderkarten: 63 + 68 = 131 €
3. Probieren: 9 Erwachsenenkarten, 15 Kinderkarten: 81 + 60 = 141 €
4. Passt: 9 Erwachsenenkarten und 15 Kinderkarten.
Ergebnis:
9 Erwachsenenkarten

4Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

EntdeckenFrage

Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago – und wie kann man das ohne Nachschlagen schätzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Diese Frage stellte der Physiker Enrico Fermi seinen Studierenden. Mit wenigen Annahmen – Einwohner, Haushalte mit Klavier, wie oft ein Klavier gestimmt wird, wie viele Klaviere ein Stimmer schafft – kommt man auf eine Zahl in der Größenordnung von hundert.

MerkenRückwärtsarbeiten

Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärtsarbeiten mit Anzahlen und Geld

Mia hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 5 Stück. Vom Rest behält Mia die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Mia behält 8 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?

Schritt für Schritt

Rückwärts: Mia behält 8 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
Rest: 8 · 2 = 16
Vor dem Bruder: 16 + 5 = 21

Rückwärts: Mia behält 8 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
Rest: 8 · 2 = 16
Vor dem Bruder: 16 + 5 = 21

Ergebnis:

21 Bonbons

AchtungRückwärts mit derselben Rechenart gerechnet

So nicht

Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 − 4 → 4 · 2 → 8 €

So richtig

Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 + 4 = 12 → 12 · 2 = 24 €

Rückwärts dreht jede Rechnung um: plus wird minus, mal wird geteilt – und der letzte Schritt kommt zuerst.

ÜbenJetzt du

○10
Lena spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 4 verloren. Am Ende hat Lena 28 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts: Am Ende sind es 28.
Lösung zeigen
1. Rückwärts: Am Ende sind es 28.
2. Die verlorenen zurück: 28 + 4 = 32
3. Das Verdoppeln zurück: 32 : 2 = 16
Ergebnis:
16 Murmeln
●11
Jonas hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 7 Stück. Vom Rest behält Jonas die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Jonas behält 8 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: Jonas behält 8 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
2. Rest: 8 · 2 = 16
3. Vor dem Bruder: 16 + 7 = 23
Ergebnis:
23 Bonbons
★12
Jonas hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 9 Stück. Vom Rest behält Jonas ein Drittel, den anderen Teil bekommen Freunde. Jonas behält 5 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: Jonas behält 5 Stück, das ist ein Drittel vom Rest.
2. Rest: 5 · 3 = 15
3. Vor dem Bruder: 15 + 9 = 24
Ergebnis:
24 Bonbons

5Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

EntdeckenFrage

Ist die große Familienpackung immer billiger als die kleine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Manchmal kostet ein Kilogramm in der Großpackung mehr. Deshalb muss im Laden neben dem Preis auch der Grundpreis stehen, zum Beispiel der Preis für ein Kilogramm oder einen Liter. Nur damit kann man Angebote wirklich vergleichen.

MerkenSchätzen mit Annahmen

Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.

Man rechnet mit runden Zahlen und rundet das Ergebnis, denn genauer sind die Annahmen nicht.

BeispielSchätzen mit Annahmen

Eine Klasse hat 24 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 3 Scheiben Brot. Ein Brot hat 16 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 5 Schultage?

Schritt für Schritt

Scheiben: 24 · 3 · 5 = 360
360 : 16 = 22,5
Aufrunden, damit es reicht: 23 Brote

Scheiben: 24 · 3 · 5 = 360
360 : 16 = 22,5
Aufrunden, damit es reicht: 23 Brote

Ergebnis:

23 Brote

AchtungErgebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht

130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse

So richtig

130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

○13
Wie viel Wasser verbraucht eine Familie zum Duschen in einem Monat? Nimm an: 4 Personen duschen jeden Tag, jede Dusche braucht etwa 40 Liter, der Monat hat 30 Tage. Runde auf Hunderter.
So fängst du an:
An einem Tag: 4 · 40 Liter = 160 Liter
Lösung zeigen
1. An einem Tag: 4 · 40 Liter = 160 Liter
2. 30 Tage: 160 · 30 = 4800
3. Gerundet: 4800 Liter
Ergebnis:
etwa 4800 Liter
●14
Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 520 Kinder, und jedes braucht etwa 7 Hefte. Runde auf Hunderter.
Lösung zeigen
1. 520 · 7 = 3640
2. Auf Hunderter gerundet: 3600
Ergebnis:
etwa 3600 Hefte
★15
Wie oft schlägt dein Herz an einem Tag? Nimm an: etwa 70-mal in der Minute. Runde auf Tausender.
Lösung zeigen
1. In einer Stunde: 70 · 60 = 4200
2. An einem Tag: 4200 · 24 = 100.800
3. Auf Tausender gerundet: 101.000
Ergebnis:
etwa 101.000-mal

6Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

EntdeckenFrage

Wann musst du losgehen, wenn der Bus um 7:42 Uhr fährt und du 9 Minuten zur Haltestelle brauchst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Um 7:33 Uhr – man rechnet vom Ziel aus rückwärts. Der Mathematiker George Pólya nannte das Rückwärtsarbeiten eine der wichtigsten Strategien: beim Gesuchten anfangen und fragen, was man dafür braucht.

MerkenDer Rechenplan

Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?

Dann Schritt für Schritt rechnen und jedes Zwischenergebnis mit Einheit notieren.

BeispielMit einem Rechenplan in mehreren Schritten

Die Klasse 6c fährt mit 25 Kindern in den Tierpark. Der Bus kostet zusammen 225,00 €. Der Eintritt kostet 3,00 € je Kind, das Mittagessen 5,00 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
Bus je Kind: 225,00 € : 25 = 9,00 €
Je Kind: 9,00 € + 3,00 € + 5,00 € = 17,00 €

Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
Bus je Kind: 225,00 € : 25 = 9,00 €
Je Kind: 9,00 € + 3,00 € + 5,00 € = 17,00 €

Ergebnis:

17,00 €

AchtungNoch einmal: Angaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €

So richtig

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 9 m lang und 5 m breit. Für 1 m² braucht man 20 g Samen. Eine Packung enthält 250 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
So fängst du an:
Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
Lösung zeigen
1. Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
2. Fläche: 9 m · 5 m = 45 m²
3. Samen: 45 · 20 g = 900 g
4. Packungen: 900 g : 250 g, aufgerundet 4
Ergebnis:
4 Packungen
●17
Zu einer Feier kommen 9 Kinder. Jedes isst 3 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 9,50 €. Was kosten die Pizzen?
Lösung zeigen
1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
2. Stücke: 9 · 3 = 27
3. Pizzen: 27 : 6, aufgerundet 5
4. Preis: 5 · 9,50 € = 47,50 €
Ergebnis:
47,50 €
★18
Zu einer Feier kommen 11 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 7,50 €. Was kosten die Pizzen?
Lösung zeigen
1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
2. Stücke: 11 · 2 = 22
3. Pizzen: 22 : 6, aufgerundet 4
4. Preis: 4 · 7,50 € = 30,00 €
Ergebnis:
30,00 €

7Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

EntdeckenFrage

Ab wie vielen Fahrten im Monat war 2025 in Berlin das Deutschlandticket billiger als Einzelfahrscheine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Deutschlandticket kostete 2025 im Monat 58 €, ein Einzelfahrschein Berlin AB 3,80 €. 15 Fahrten kosten 57 €, 16 Fahrten schon 60,80 €. Ab 16 Fahrten im Monat war das Deutschlandticket also billiger.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

Bei Tarifen rechnet man aus, was jeder für die eigene Nutzung kostet.

BeispielAngebote über den Preis für ein Stück vergleichen

Angebot A: 10 Joghurts für 2,60 €. Angebot B: 4 Joghurts für 2,28 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.

Schritt für Schritt

A: 2,60 € : 10 = 0,26 €
B: 2,28 € : 4 = 0,57 €
0,26 € ist weniger: A ist günstiger.

A: 2,60 € : 10 = 0,26 €
B: 2,28 € : 4 = 0,57 €
0,26 € ist weniger: A ist günstiger.

Ergebnis:

A, 0,26 € je Stück

AchtungGesamtpreise statt Preise für ein Stück verglichen

So nicht

A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → B kostet weniger, B ist günstiger

So richtig

A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → A 0,45 € je Stück < B 0,49 € je Stück

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen: Preis für ein Stück oder einen Liter ausrechnen.

ÜbenJetzt du

○19
Angebot A: 3 Hefte für 0,84 €. Angebot B: 10 Hefte für 6,10 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
So fängst du an:
A: 0,84 € : 3 = 0,28 €
Lösung zeigen
1. A: 0,84 € : 3 = 0,28 €
2. B: 6,10 € : 10 = 0,61 €
3. 0,28 € ist weniger: A ist günstiger.
Ergebnis:
A, 0,28 € je Stück
●20
Angebot A: 2 Liter Saft für 0,70 €. Angebot B: 1 Liter Saft für 0,47 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
Lösung zeigen
1. A: 0,70 € : 2 = 0,35 €
2. B: 0,47 € : 1 = 0,47 €
3. 0,35 € ist weniger: A ist günstiger.
Ergebnis:
A, 0,35 € je Liter
★21
Angebot A: 4 Joghurts für 2,80 €. Angebot B: 10 Joghurts für 4,50 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
Lösung zeigen
1. A: 2,80 € : 4 = 0,70 €
2. B: 4,50 € : 10 = 0,45 €
3. 0,45 € ist weniger: B ist günstiger.
Ergebnis:
B, 0,45 € je Stück

8Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

EntdeckenFrage

Warum ging 1999 eine NASA-Sonde am Mars verloren, obwohl die Computer richtig gerechnet hatten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Team lieferte Werte in englischen Einheiten, das andere las sie als metrische Einheiten. Die Werte waren dadurch etwa 4,45-mal zu klein. Die Sonde flog zu tief in die Marsatmosphäre. Niemand hatte geprüft, ob die Ergebnisse zusammenpassen.

MerkenErgebnisse prüfen

Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Ein Überschlag prüft das Komma, und die Einheiten müssen passen.

BeispielIst das Ergebnis sinnvoll?

Eine Latte ist 250 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 40 cm. Can rechnet und sagt: „Das gibt 6,25 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?

Schritt für Schritt

250 : 40 ≈ 6,25
Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
Abrunden: 6 Stücke

250 : 40 ≈ 6,25
Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
Abrunden: 6 Stücke

Ergebnis:

6 Stücke

AchtungPlus statt mal

So nicht

4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 + 5 = 9

So richtig

4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 · 5 = 20

Frag dich: Wie oft kommt die Zahl vor? Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

○22
290 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 50 Kinder. Noah teilt 290 durch 50 und sagt: „Wir brauchen 5,8 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
So fängst du an:
290 : 50 = 5,8
Lösung zeigen
1. 290 : 50 = 5,8
2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
3. Aufrunden: 6 Busse
Ergebnis:
6 Busse
●23
Eine Latte ist 300 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 70 cm. Lea rechnet und sagt: „Das gibt 4,29 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?
Lösung zeigen
1. 300 : 70 ≈ 4,29
2. Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
3. Abrunden: 4 Stücke
Ergebnis:
4 Stücke
★24
Aylin hat 20 €. Ein Comic kostet 3,50 €. Aylin rechnet 20 : 3,5 und sagt: „Ich kann 5,71 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Aylin wirklich kaufen?
Lösung zeigen
1. 20 : 3,5 ≈ 5,71
2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
3. Abrunden: 5 Comics
Ergebnis:
5 Comics

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Lena ist 12 Jahre alt und kauft 5 Hefte zu je 2,00 €. Was kosten die Hefte zusammen? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
2. Nicht gebraucht: 12 Jahre.
3. 5 · 2,00 € = 10,00 €
Ergebnis:
überflüssig: 12 Jahre; 10,00 €
●26
Paul kauft 6 Hefte und bezahlt mit einem 20-€-Schein. Wie viel Geld bekommt Paul zurück? Was musst du noch wissen, um die Frage zu beantworten?
A: wie viele Hefte gekauft werden
B: was ein Heft kostet
C: wie alt das Kind ist
Lösung zeigen
1. Gesucht ist das Rückgeld.
2. Dafür fehlt: was ein Heft kostet.
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B
●27
Ein rechteckiger Garten ist 35 m lang und 10 m breit. Rundherum kommt alle 5 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Umfang: 2 · 35 m + 2 · 10 m = 90 m
2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
3. 90 m : 5 m = 18
Ergebnis:
18 Pfähle
●28
Beim Sommerfest stehen 13 Tische in einer Reihe: quadratische Tische, an jeder Seite ein Stuhl. Zeichne drei Tische und finde eine Regel. Wie viele Stühle passen an alle 13 Tische?
Lösung zeigen
1. Zeichnung: An den Stoßstellen fallen die Stühle weg.
2. Jeder Tisch: 2 Plätze oben und unten, dazu 2 an den Enden.
3. 2 · 13 + 2 = 28
Ergebnis:
28 Stühle
●29
Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 11 Köpfe und 24 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
2. Probieren: 1 Kaninchen, 10 Hühner: 4 + 20 = 24 Beine
3. Passt: 1 Kaninchen und 10 Hühner.
Ergebnis:
1 Kaninchen
●30
Drei aufeinanderfolgende Zahlen haben zusammen die Summe 66. Welche Zahlen sind es?
Lösung zeigen
1. Tabelle: kleinste Zahl, alle Zahlen, Summe.
2. Probieren: 19 + 20 + 21 = 60
3. Probieren: 21 + 22 + 23 = 66
Ergebnis:
21, 22 und 23

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Wichtige und überflüssige Angaben: Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.
Eine Skizze hilft: Zeichne die Sache einfach und klein.
Tabelle und Probieren: Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.
Rückwärtsarbeiten: Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.
Schätzen mit Annahmen: Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.
Der Rechenplan: Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.
Ergebnisse prüfen: Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.
31
Ein Aquarium ist 60 cm lang, 30 cm breit und 40 cm hoch. Darin schwimmen 7 Fische. Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
Lösung zeigen
Ergebnis:
überflüssig: 7 Fische; 72 Liter
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
32
An beiden Seiten eines 40 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 4 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
22 Bäume
Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.
33
Im Hof stehen 11 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 28 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Dreiräder
Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.
34
Tom hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 7 Stück. Vom Rest behält Tom die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Tom behält 4 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15 Bonbons
Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).
35
Eine Klasse hat 29 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 4 Scheiben Brot. Ein Brot hat 20 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 5 Schultage?
Lösung zeigen
Ergebnis:
29 Brote
Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.
36
Zu einer Feier kommen 8 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 10,00 €. Was kosten die Pizzen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
30,00 €
Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.
37
Angebot A: 10 Joghurts für 7,90 €. Angebot B: 8 Joghurts für 2,08 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
Lösung zeigen
Ergebnis:
B, 0,26 € je Stück
Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.
38
175 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 50 Kinder. Ben teilt 175 durch 50 und sagt: „Wir brauchen 3,5 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Busse

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Heurismen als Werkzeugkasten: Skizze, Tabelle und Rückwärtsarbeiten, wenn kein Rechenweg dasteht.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Einkaufen, Fahrpläne, Feste planen, Tarife vergleichen. Beruf: Handwerk (Material kalkulieren), Einzelhandel, Veranstaltungsplanung.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Terme und einfache Gleichungen, Zuordnungen und Dreisatz, Sachaufgaben lösen

Lösungen

überflüssig: 11 Jahre; 40,00 €
überflüssig: 10 Jahre; 22,00 €
überflüssig: 12 Jahre; 8,60 €
11 Pfähle
9 Pfähle
48 Bäume
2 Kaninchen
2 Erwachsenenkarten
9 Erwachsenenkarten
16 Murmeln
23 Bonbons
24 Bonbons
etwa 4800 Liter
etwa 3600 Hefte
etwa 101.000-mal
4 Packungen
47,50 €
30,00 €
A, 0,28 € je Stück
A, 0,35 € je Liter
B, 0,45 € je Stück
6 Busse
4 Stücke
5 Comics
überflüssig: 12 Jahre; 10,00 €
B
18 Pfähle
28 Stühle
1 Kaninchen
21, 22 und 23
überflüssig: 7 Fische; 72 Liter
22 Bäume
6 Dreiräder
15 Bonbons
29 Brote
30,00 €
B, 0,26 € je Stück
4 Busse
140,00 €
2,47 €