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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Sachaufgaben und Problemlösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele raten wild herum oder rechnen 56 − 20. Manche geben nach zwei Versuchen auf, andere finden die Lösung zufällig, können aber nicht sagen, wie. Wenn der Weg nicht dasteht, hilft ein Werkzeug: Wir legen eine Tabelle an und probieren mit System, Zeile für Zeile. So kommt jede und jeder ans Ziel und kann den Weg erklären.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Größen rechnet man mit Einheit, und vor dem Rechnen stehen alle Angaben in derselben Einheit.

  1. ●39
    Eine Klassenfahrt kostet für 28 Kinder zusammen 3.920,00 €. Alle zahlen gleich viel. Wie viel zahlt ein Kind?
    Lösung zeigen
    1. 3.920,00 € geteilt durch 28 Kinder
    2. Ein Kind zahlt 140,00 €
    Ergebnis:
    140,00 €
  2. ●40
    Du kaufst Sachen für 9,62 €, 4,67 € und zahlst mit einem 20-€-Schein. Berechne das Rückgeld.
    Lösung zeigen
    1. Summe: 9,62 + 4,67 = 14,29 €
    2. Rückgeld: 20 − 14,29 = 5,71 €
    Ergebnis:
    5,71 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Situation, dann die Rechnung

Eine Sachaufgabe ist eine Situation und keine Zahlensammlung. Erst klären, was gefragt und was gegeben ist, dann einen Weg wählen: Skizze, Tabelle oder rückwärts. Zum Schluss wird das Ergebnis an der Situation geprüft.

Pfeilkette: Hälfte, dann 4 weg, Rest 8; rückwärts plus 4 und mal 2 ergibt 2424128: 2− 4+ 4· 2Rückwärts: jede Rechnung umkehren

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und was verrät dir diese Frage über das Lösen von Sachaufgaben?

1Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

EntdeckenFrage

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann niemand wissen – die Zahlen haben mit dem Alter nichts zu tun. Trotzdem rechneten in französischen Untersuchungen viele Grundschulkinder 26 + 10 = 36 und schrieben „36 Jahre“. Wer zuerst die Frage liest, fällt darauf nicht herein.

MerkenWichtige und überflüssige Angaben

Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Fehlt eine Angabe, kann man die Frage nicht beantworten.

BeispielÜberflüssige Angaben erkennen

Ein Beet ist 7 m lang und 3 m breit. Darin wachsen 46 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
Schritt für Schritt
  1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
  2. Nicht gebraucht: 46 Tulpen.
  3. Umfang: 2 · 7 m + 2 · 3 m
  4. 2 · 7 m + 2 · 3 m = 20 m
  1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
  2. Nicht gebraucht: 46 Tulpen.
  3. Umfang: 2 · 7 m + 2 · 3 m
  4. 2 · 7 m + 2 · 3 m = 20 m
Ergebnis:
überflüssig: 46 Tulpen; 20 m

AchtungAngaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €
So richtig
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Beet ist 4 m lang und 2 m breit. Darin wachsen 36 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    So fängst du an:
    Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
    2. Nicht gebraucht: 36 Tulpen.
    3. Umfang: 2 · 4 m + 2 · 2 m
    4. 2 · 4 m + 2 · 2 m = 12 m
    Ergebnis:
    überflüssig: 36 Tulpen; 12 m
  2. ●2
    Ein Aquarium ist 50 cm lang, 30 cm breit und 40 cm hoch. Darin schwimmen 9 Fische. Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein?
    2. Nicht gebraucht: 9 Fische.
    3. 50 cm · 30 cm · 40 cm = 60.000 cm³
    4. 1000 cm³ sind 1 Liter: 60.000 cm³ = 60 Liter
    Ergebnis:
    überflüssig: 9 Fische; 60 Liter
  3. ★3
    Ein Beet ist 6 m lang und 4 m breit. Darin wachsen 32 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
    2. Nicht gebraucht: 32 Tulpen.
    3. Umfang: 2 · 6 m + 2 · 4 m
    4. 2 · 6 m + 2 · 4 m = 20 m
    Ergebnis:
    überflüssig: 32 Tulpen; 20 m

2Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

In einem Käfig sitzen Fasane und Kaninchen, zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

23 Fasane und 12 Kaninchen: 23 · 2 + 12 · 4 = 46 + 48 = 94. Das Rätsel steht in einem chinesischen Rechenbuch, das rund 1500 Jahre alt ist. Mit einer Tabelle und systematischem Probieren findet man die Lösung, ohne zu raten.

MerkenEine Skizze hilft

Zeichne die Sache einfach und klein.

An der Skizze sieht man, was man zählen muss. Ein Zaun mit Pfählen an beiden Enden hat einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

BeispielMit einer Skizze zählen: Pfähle und Bäume

An beiden Seiten eines 55 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 5 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
…5 m55 m?
Schritt für Schritt
  1. Zwischenräume auf einer Seite: 55 m : 5 m = 11
  2. Bäume auf einer Seite: 11 + 1 = 12
  3. Beide Seiten: 2 · 12 = 24
  1. Zwischenräume auf einer Seite: 55 m : 5 m = 11
  2. Bäume auf einer Seite: 11 + 1 = 12
  3. Beide Seiten: 2 · 12 = 24
Ergebnis:
24 Bäume

AchtungAnfang oder Ende nicht mitgezählt

So nicht
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 → 10 Pfähle
So richtig
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 = 10 Zwischenräume → 11 Pfähle

Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt es: Bei zwei Enden gibt es einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Zaun ist 28 m lang. Alle 4 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
    …4 m28 m?
    So fängst du an:
    Zwischenräume: 28 m : 4 m = 7
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume: 28 m : 4 m = 7
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
    3. 7 + 1 = 8
    Ergebnis:
    8 Pfähle
  2. ●5
    An beiden Seiten eines 24 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 3 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …3 m24 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 24 m : 3 m = 8
    2. Bäume auf einer Seite: 8 + 1 = 9
    3. Beide Seiten: 2 · 9 = 18
    Ergebnis:
    18 Bäume
  3. ★6
    An beiden Seiten eines 75 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 5 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …5 m75 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 75 m : 5 m = 15
    2. Bäume auf einer Seite: 15 + 1 = 16
    3. Beide Seiten: 2 · 16 = 32
    Ergebnis:
    32 Bäume

3Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein 20 m langer Zaun, wenn alle 2 m einer steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Elf, nicht zehn: 20 : 2 = 10 Zwischenräume, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Dieser Fehler ist so verbreitet, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler. Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt ihn sofort.

MerkenTabelle und Probieren

Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.

Jede Zeile prüft alle Bedingungen. So wird nichts vergessen, und man sieht, in welche Richtung man weitergehen muss.

BeispielKöpfe und Beine: systematisch probieren

Im Hof stehen 9 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 20 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
Dreiräder0123…Räder????
Schritt für Schritt
  1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
  2. Probieren: 1 Dreiräder, 8 Fahrräder: 3 + 16 = 19 Räder
  3. Probieren: 2 Dreiräder, 7 Fahrräder: 6 + 14 = 20 Räder
  4. Passt: 2 Dreiräder und 7 Fahrräder.
  1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
  2. Probieren: 1 Dreiräder, 8 Fahrräder: 3 + 16 = 19 Räder
  3. Probieren: 2 Dreiräder, 7 Fahrräder: 6 + 14 = 20 Räder
  4. Passt: 2 Dreiräder und 7 Fahrräder.
Ergebnis:
2 Dreiräder

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Im Hof stehen 9 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 26 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
    Dreiräder0123…Räder????
    So fängst du an:
    Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
    2. Probieren: 4 Dreiräder, 5 Fahrräder: 12 + 10 = 22 Räder
    3. Probieren: 8 Dreiräder, 1 Fahrräder: 24 + 2 = 26 Räder
    4. Passt: 8 Dreiräder und 1 Fahrräder.
    Ergebnis:
    8 Dreiräder
  2. ●8
    Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 12 Köpfe und 38 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
    2. Probieren: 5 Kaninchen, 7 Hühner: 20 + 14 = 34 Beine
    3. Probieren: 7 Kaninchen, 5 Hühner: 28 + 10 = 38 Beine
    4. Passt: 7 Kaninchen und 5 Hühner.
    Ergebnis:
    7 Kaninchen
  3. ★9
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 23 Karten und zahlt 162 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    2. Probieren: 11 Erwachsenenkarten, 12 Kinderkarten: 99 + 48 = 147 €
    3. Probieren: 14 Erwachsenenkarten, 9 Kinderkarten: 126 + 36 = 162 €
    4. Passt: 14 Erwachsenenkarten und 9 Kinderkarten.
    Ergebnis:
    14 Erwachsenenkarten

4Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

EntdeckenFrage

Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago – und wie kann man das ohne Nachschlagen schätzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Diese Frage stellte der Physiker Enrico Fermi seinen Studierenden. Mit wenigen Annahmen – Einwohner, Haushalte mit Klavier, wie oft ein Klavier gestimmt wird, wie viele Klaviere ein Stimmer schafft – kommt man auf eine Zahl in der Größenordnung von hundert.

MerkenRückwärtsarbeiten

Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärtsarbeiten mit Anzahlen und Geld

Aylin spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 9 verloren. Am Ende hat Aylin 49 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
?· 2− 949
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts: Am Ende sind es 49.
  2. Die verlorenen zurück: 49 + 9 = 58
  3. Das Verdoppeln zurück: 58 : 2 = 29
  1. Rückwärts: Am Ende sind es 49.
  2. Die verlorenen zurück: 49 + 9 = 58
  3. Das Verdoppeln zurück: 58 : 2 = 29
Ergebnis:
29 Murmeln

AchtungRückwärts mit derselben Rechenart gerechnet

So nicht
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 − 4 → 4 · 2 → 8 €
So richtig
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 + 4 = 12 → 12 · 2 = 24 €

Rückwärts dreht jede Rechnung um: plus wird minus, mal wird geteilt – und der letzte Schritt kommt zuerst.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Mia gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein Spiel aus. Danach kauft Mia ein Eis für 4 €. Jetzt sind noch 11 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 4 €11 €
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Ende: 11 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Ende: 11 €
    2. Das Eis zurückrechnen: 11 € + 4 € = 15 €
    3. Die Hälfte zurückrechnen: 15 € · 2 = 30 €
    Ergebnis:
    30 €
  2. ●11
    Ben gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein T-Shirt aus. Danach kauft Ben ein Eis für 6 €. Jetzt sind noch 4 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 6 €4 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Ende: 4 €
    2. Das Eis zurückrechnen: 4 € + 6 € = 10 €
    3. Die Hälfte zurückrechnen: 10 € · 2 = 20 €
    Ergebnis:
    20 €
  3. ★12
    Noah spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 5 verloren. Am Ende hat Noah 43 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
    ?· 2− 543
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: Am Ende sind es 43.
    2. Die verlorenen zurück: 43 + 5 = 48
    3. Das Verdoppeln zurück: 48 : 2 = 24
    Ergebnis:
    24 Murmeln

5Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

EntdeckenFrage

Ist die große Familienpackung immer billiger als die kleine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Manchmal kostet ein Kilogramm in der Großpackung mehr. Deshalb muss im Laden neben dem Preis auch der Grundpreis stehen, zum Beispiel der Preis für ein Kilogramm oder einen Liter. Nur damit kann man Angebote wirklich vergleichen.

MerkenSchätzen mit Annahmen

Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.

Man rechnet mit runden Zahlen und rundet das Ergebnis, denn genauer sind die Annahmen nicht.

BeispielSchätzen mit Annahmen

Eine Klasse hat 26 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 4 Scheiben Brot. Ein Brot hat 16 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 5 Schultage?
4 Scheiben16 Scheiben5 Schultage
Schritt für Schritt
  1. Scheiben: 26 · 4 · 5 = 520
  2. 520 : 16 = 32,5
  3. Aufrunden, damit es reicht: 33 Brote
  1. Scheiben: 26 · 4 · 5 = 520
  2. 520 : 16 = 32,5
  3. Aufrunden, damit es reicht: 33 Brote
Ergebnis:
33 Brote

AchtungErgebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse
So richtig
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie oft schlägt dein Herz an einem Tag? Nimm an: etwa 90-mal in der Minute. Runde auf Tausender.
    So fängst du an:
    In einer Stunde: 90 · 60 = 5400
    Lösung zeigen
    1. In einer Stunde: 90 · 60 = 5400
    2. An einem Tag: 5400 · 24 = 129.600
    3. Auf Tausender gerundet: 130.000
    Ergebnis:
    etwa 130.000-mal
  2. ●14
    Wie viel Wasser verbraucht eine Familie zum Duschen in einem Monat? Nimm an: 2 Personen duschen jeden Tag, jede Dusche braucht etwa 40 Liter, der Monat hat 30 Tage. Runde auf Hunderter.
    2 Personen40 Liter30 Tage
    Lösung zeigen
    1. An einem Tag: 2 · 40 Liter = 80 Liter
    2. 30 Tage: 80 · 30 = 2400
    3. Gerundet: 2400 Liter
    Ergebnis:
    etwa 2400 Liter
  3. ★15
    Wie viel Wasser verbraucht eine Familie zum Duschen in einem Jahr? Nimm an: 2 Personen duschen jeden Tag, jede Dusche braucht etwa 50 Liter, das Jahr hat 365 Tage. Runde auf Tausender.
    2 Personen50 Liter365 Tage
    Lösung zeigen
    1. An einem Tag: 2 · 50 Liter = 100 Liter
    2. 365 Tage: 100 · 365 = 36.500
    3. Gerundet: 37.000 Liter
    Ergebnis:
    etwa 37.000 Liter

6Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

EntdeckenFrage

Wann musst du losgehen, wenn der Bus um 7:42 Uhr fährt und du 9 Minuten zur Haltestelle brauchst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Um 7:33 Uhr – man rechnet vom Ziel aus rückwärts. Der Mathematiker George Pólya nannte das Rückwärtsarbeiten eine der wichtigsten Strategien: beim Gesuchten anfangen und fragen, was man dafür braucht.

MerkenDer Rechenplan

Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?

Dann Schritt für Schritt rechnen und jedes Zwischenergebnis mit Einheit notieren.

BeispielMit einem Rechenplan in mehreren Schritten

Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 11 m lang und 8 m breit. Für 1 m² braucht man 20 g Samen. Eine Packung enthält 250 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
11 m8 m
Schritt für Schritt
  1. Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
  2. Fläche: 11 m · 8 m = 88 m²
  3. Samen: 88 · 20 g = 1760 g
  4. Packungen: 1760 g : 250 g, aufgerundet 8
  1. Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
  2. Fläche: 11 m · 8 m = 88 m²
  3. Samen: 88 · 20 g = 1760 g
  4. Packungen: 1760 g : 250 g, aufgerundet 8
Ergebnis:
8 Packungen

AchtungKomma beim Mal oder Durch 10, 100, 1000 falsch verschoben

So nicht
3,5 · 10 = 0,35
So richtig
3,5 · 10 = 35

Frag dich: Wird die Zahl größer oder kleiner? Mit mal 10 wird sie größer.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Die Klasse 6c fährt mit 24 Kindern in den Tierpark. Der Bus kostet zusammen 240,00 €. Der Eintritt kostet 7,00 € je Kind, das Mittagessen 3,00 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    24 KinderBus 240,00 €Eintritt 7,00 €Essen 3,00 €
    So fängst du an:
    Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
    2. Bus je Kind: 240,00 € : 24 = 10,00 €
    3. Je Kind: 10,00 € + 7,00 € + 3,00 € = 20,00 €
    Ergebnis:
    20,00 €
  2. ●17
    Zu einer Feier kommen 7 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 7,50 €. Was kosten die Pizzen?
    Lösung zeigen
    1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    2. Stücke: 7 · 2 = 14
    3. Pizzen: 14 : 6, aufgerundet 3
    4. Preis: 3 · 7,50 € = 22,50 €
    Ergebnis:
    22,50 €
  3. ★18
    Zu einer Feier kommen 10 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 8,00 €. Was kosten die Pizzen?
    Lösung zeigen
    1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    2. Stücke: 10 · 2 = 20
    3. Pizzen: 20 : 8, aufgerundet 3
    4. Preis: 3 · 8,00 € = 24,00 €
    Ergebnis:
    24,00 €

7Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

EntdeckenFrage

Ab wie vielen Fahrten im Monat war 2025 in Berlin das Deutschlandticket billiger als Einzelfahrscheine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Deutschlandticket kostete 2025 im Monat 58 €, ein Einzelfahrschein Berlin AB 3,80 €. 15 Fahrten kosten 57 €, 16 Fahrten schon 60,80 €. Ab 16 Fahrten im Monat war das Deutschlandticket also billiger.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

Bei Tarifen rechnet man aus, was jeder für die eigene Nutzung kostet.

BeispielAngebote über den Preis für ein Stück vergleichen

Angebot A: 8 Joghurts für 4,48 €. Angebot B: 10 Joghurts für 6,90 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
Angebot A8 Joghurts4,48 €Angebot B10 Joghurts6,90 €
Schritt für Schritt
  1. A: 4,48 € : 8 = 0,56 €
  2. B: 6,90 € : 10 = 0,69 €
  3. 0,56 € ist weniger: A ist günstiger.
  1. A: 4,48 € : 8 = 0,56 €
  2. B: 6,90 € : 10 = 0,69 €
  3. 0,56 € ist weniger: A ist günstiger.
Ergebnis:
A, 0,56 € je Stück

AchtungGesamtpreise statt Preise für ein Stück verglichen

So nicht
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → B kostet weniger, B ist günstiger
So richtig
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → A 0,45 € je Stück < B 0,49 € je Stück

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen: Preis für ein Stück oder einen Liter ausrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Angebot A: 2 Liter Saft für 1,34 €. Angebot B: 1,5 Liter Saft für 0,39 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
    So fängst du an:
    A: 1,34 € : 2 = 0,67 €
    Lösung zeigen
    1. A: 1,34 € : 2 = 0,67 €
    2. B: 0,39 € : 1,5 = 0,26 €
    3. 0,26 € ist weniger: B ist günstiger.
    Ergebnis:
    B, 0,26 € je Liter
  2. ●20
    Angebot A: 3 Hefte für 1,02 €. Angebot B: 12 Hefte für 8,52 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A3 Hefte1,02 €Angebot B12 Hefte8,52 €
    Lösung zeigen
    1. A: 1,02 € : 3 = 0,34 €
    2. B: 8,52 € : 12 = 0,71 €
    3. 0,34 € ist weniger: A ist günstiger.
    Ergebnis:
    A, 0,34 € je Stück
  3. ★21
    Angebot A: 12 Hefte für 8,40 €. Angebot B: 10 Hefte für 6,00 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A12 Hefte8,40 €Angebot B10 Hefte6,00 €
    Lösung zeigen
    1. A: 8,40 € : 12 = 0,70 €
    2. B: 6,00 € : 10 = 0,60 €
    3. 0,60 € ist weniger: B ist günstiger.
    Ergebnis:
    B, 0,60 € je Stück

8Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

EntdeckenFrage

Warum ging 1999 eine NASA-Sonde am Mars verloren, obwohl die Computer richtig gerechnet hatten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Team lieferte Werte in englischen Einheiten, das andere las sie als metrische Einheiten. Die Werte waren dadurch etwa 4,45-mal zu klein. Die Sonde flog zu tief in die Marsatmosphäre. Niemand hatte geprüft, ob die Ergebnisse zusammenpassen.

MerkenErgebnisse prüfen

Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Ein Überschlag prüft das Komma, und die Einheiten müssen passen.

BeispielIst das Ergebnis sinnvoll?

354 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 60 Kinder. Lena teilt 354 durch 60 und sagt: „Wir brauchen 5,9 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
Schritt für Schritt
  1. 354 : 60 = 5,9
  2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
  3. Aufrunden: 6 Busse
  1. 354 : 60 = 5,9
  2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
  3. Aufrunden: 6 Busse
Ergebnis:
6 Busse

AchtungNoch einmal: Ergebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse
So richtig
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    232 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 40 Kinder. Jonas teilt 232 durch 40 und sagt: „Wir brauchen 5,8 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
    So fängst du an:
    232 : 40 = 5,8
    Lösung zeigen
    1. 232 : 40 = 5,8
    2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
    3. Aufrunden: 6 Busse
    Ergebnis:
    6 Busse
  2. ●23
    Jonas hat 15 €. Ein Comic kostet 1,20 €. Jonas rechnet 15 : 1,2 und sagt: „Ich kann 12,5 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Jonas wirklich kaufen?
    Lösung zeigen
    1. 15 : 1,2 ≈ 12,5
    2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
    3. Abrunden: 12 Comics
    Ergebnis:
    12 Comics
  3. ★24
    196 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 60 Kinder. Sara teilt 196 durch 60 und sagt: „Wir brauchen 3,27 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
    Lösung zeigen
    1. 196 : 60 ≈ 3,27
    2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
    3. Aufrunden: 4 Busse
    Ergebnis:
    4 Busse

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ein Bus fährt um 9:25 Uhr los. Er braucht 25 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 13 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
    2. Nicht gebraucht: 13 Haltestellen.
    3. 9:25 Uhr und 25 min
    4. Ankunft: 9:50 Uhr
    Ergebnis:
    überflüssig: 13 Haltestellen; 9:50 Uhr
  2. ●26
    Die Klasse 6a sammelt für einen Ausflug. Jedes Kind gibt 10 €. Wie viel Geld kommt zusammen? Diese Aufgabe kann man nicht lösen. Welche Angabe fehlt?
    A: wie viele Kinder in der Klasse sind
    B: wohin der Ausflug geht
    C: wie viel jedes Kind gibt
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist das gesammelte Geld.
    2. Dafür fehlt: wie viele Kinder in der Klasse sind.
    3. Richtig ist A.
    Ergebnis:
    A
  3. ●27
    Ein rechteckiger Garten ist 30 m lang und 10 m breit. Rundherum kommt alle 5 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    1. Umfang: 2 · 30 m + 2 · 10 m = 80 m
    2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
    3. 80 m : 5 m = 16
    Ergebnis:
    16 Pfähle
  4. ●28
    Im Klassenraum werden 11 quadratische Tische (an jeder Seite ein Stuhl) zu einer langen Reihe zusammengeschoben. Wie viele Kinder finden Platz?
    ?
    Lösung zeigen
    1. Zeichnung: An den Stoßstellen fallen die Stühle weg.
    2. Jeder Tisch: 2 Plätze oben und unten, dazu 2 an den Enden.
    3. 2 · 11 + 2 = 24
    Ergebnis:
    24 Kinder
  5. ●29
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 14 Karten und zahlt 91 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    2. Probieren: 5 Erwachsenenkarten, 9 Kinderkarten: 45 + 36 = 81 €
    3. Probieren: 7 Erwachsenenkarten, 7 Kinderkarten: 63 + 28 = 91 €
    4. Passt: 7 Erwachsenenkarten und 7 Kinderkarten.
    Ergebnis:
    7 Erwachsenenkarten
  6. ●30
    Drei aufeinanderfolgende Zahlen haben zusammen die Summe 54. Welche Zahlen sind es?
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: kleinste Zahl, alle Zahlen, Summe.
    2. Probieren: 15 + 16 + 17 = 48
    3. Probieren: 17 + 18 + 19 = 54
    Ergebnis:
    17, 18 und 19

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Wichtige und überflüssige Angaben
Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.
Eine Skizze hilft
Zeichne die Sache einfach und klein.
Tabelle und Probieren
Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.
Rückwärtsarbeiten
Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.
Schätzen mit Annahmen
Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.
Der Rechenplan
Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.
Ergebnisse prüfen
Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

    31
    Ein Bus fährt um 9:25 Uhr los. Er braucht 25 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 10 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    überflüssig: 10 Haltestellen; 9:50 Uhr

  2. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    32
    Ein Zaun ist 10 m lang. Alle 2 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
    …2 m10 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Pfähle

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

    33
    Im Hof stehen 11 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 29 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
    Dreiräder0123…Räder????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7 Dreiräder

  4. Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

    34
    Aylin gibt die Hälfte des Taschengeldes für Kinokarten aus. Danach kauft Aylin ein Eis für 5 €. Jetzt sind noch 7 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 5 €7 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24 €

  5. Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

    35
    Wie oft schlägt dein Herz an einem Tag? Nimm an: etwa 70-mal in der Minute. Runde auf Tausender.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 101.000-mal

  6. Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

    36
    Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 10 m lang und 6 m breit. Für 1 m² braucht man 20 g Samen. Eine Packung enthält 250 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
    10 m6 m
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Packungen

  7. Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

    37
    Angebot A: 1 Liter Saft für 0,57 €. Angebot B: 2 Liter Saft für 0,52 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B, 0,26 € je Liter

  8. Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

    38
    Eine Latte ist 250 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 30 cm. Emma rechnet und sagt: „Das gibt 8,33 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?
    ein Stück30 cmLatte250 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Stücke

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Heurismen als Werkzeugkasten: Skizze, Tabelle und Rückwärtsarbeiten, wenn kein Rechenweg dasteht.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Einkaufen, Fahrpläne, Feste planen, Tarife vergleichen. Beruf: Handwerk (Material kalkulieren), Einzelhandel, Veranstaltungsplanung.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Terme und einfache Gleichungen, Zuordnungen und Dreisatz, Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. überflüssig: 36 Tulpen; 12 m
  2. überflüssig: 9 Fische; 60 Liter
  3. überflüssig: 32 Tulpen; 20 m
  4. 8 Pfähle
  5. 18 Bäume
  6. 32 Bäume
  7. 8 Dreiräder
  8. 7 Kaninchen
  9. 14 Erwachsenenkarten
  10. 30 €
  11. 20 €
  12. 24 Murmeln
  13. etwa 130.000-mal
  14. etwa 2400 Liter
  15. etwa 37.000 Liter
  16. 20,00 €
  17. 22,50 €
  18. 24,00 €
  19. B, 0,26 € je Liter
  20. A, 0,34 € je Stück
  21. B, 0,60 € je Stück
  22. 6 Busse
  23. 12 Comics
  24. 4 Busse
  25. überflüssig: 13 Haltestellen; 9:50 Uhr
  26. A
  27. 16 Pfähle
  28. 24 Kinder
  29. 7 Erwachsenenkarten
  30. 17, 18 und 19
  31. überflüssig: 10 Haltestellen; 9:50 Uhr
  32. 6 Pfähle
  33. 7 Dreiräder
  34. 24 €
  35. etwa 101.000-mal
  36. 5 Packungen
  37. B, 0,26 € je Liter
  38. 8 Stücke
  39. 140,00 €
  40. 5,71 €