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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Sachaufgaben und Problemlösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele raten wild herum oder rechnen 56 − 20. Manche geben nach zwei Versuchen auf, andere finden die Lösung zufällig, können aber nicht sagen, wie. Wenn der Weg nicht dasteht, hilft ein Werkzeug: Wir legen eine Tabelle an und probieren mit System, Zeile für Zeile. So kommt jede und jeder ans Ziel und kann den Weg erklären.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Größen rechnet man mit Einheit, und vor dem Rechnen stehen alle Angaben in derselben Einheit.

  1. ●39
    Ein Datenpaket fürs Handy hat 24.000 MB. Jeden Tag verbrauchst du 250 MB. Wie viele Tage reicht das Paket?
    Lösung zeigen
    1. 24.000 geteilt durch 250
    2. Das Paket reicht 96 Tage
    Ergebnis:
    96 Tage
  2. ●40
    Du kaufst Sachen für 11,18 €, 6,43 € und zahlst mit einem 20-€-Schein. Berechne das Rückgeld.
    Lösung zeigen
    1. Summe: 11,18 + 6,43 = 17,61 €
    2. Rückgeld: 20 − 17,61 = 2,39 €
    Ergebnis:
    2,39 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Situation, dann die Rechnung

Eine Sachaufgabe ist eine Situation und keine Zahlensammlung. Erst klären, was gefragt und was gegeben ist, dann einen Weg wählen: Skizze, Tabelle oder rückwärts. Zum Schluss wird das Ergebnis an der Situation geprüft.

Pfeilkette: Hälfte, dann 4 weg, Rest 8; rückwärts plus 4 und mal 2 ergibt 2424128: 2− 4+ 4· 2Rückwärts: jede Rechnung umkehren

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und was verrät dir diese Frage über das Lösen von Sachaufgaben?

1Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

EntdeckenFrage

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann niemand wissen – die Zahlen haben mit dem Alter nichts zu tun. Trotzdem rechneten in französischen Untersuchungen viele Grundschulkinder 26 + 10 = 36 und schrieben „36 Jahre“. Wer zuerst die Frage liest, fällt darauf nicht herein.

MerkenWichtige und überflüssige Angaben

Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Fehlt eine Angabe, kann man die Frage nicht beantworten.

BeispielÜberflüssige Angaben erkennen

Ben ist 10 Jahre alt und spart jede Woche 3,00 €. Wie viel hat Ben nach 6 Wochen gespart? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
Schritt für Schritt
  1. Gefragt ist: Wie viel hat Ben nach 6 Wochen gespart?
  2. Nicht gebraucht: 10 Jahre.
  3. 6 · 3,00 € = 18,00 €
  1. Gefragt ist: Wie viel hat Ben nach 6 Wochen gespart?
  2. Nicht gebraucht: 10 Jahre.
  3. 6 · 3,00 € = 18,00 €
Ergebnis:
überflüssig: 10 Jahre; 18,00 €

AchtungAngaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €
So richtig
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Beet ist 8 m lang und 2 m breit. Darin wachsen 41 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    So fängst du an:
    Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
    2. Nicht gebraucht: 41 Tulpen.
    3. Umfang: 2 · 8 m + 2 · 2 m
    4. 2 · 8 m + 2 · 2 m = 20 m
    Ergebnis:
    überflüssig: 41 Tulpen; 20 m
  2. ●2
    Ein Bus fährt um 8:15 Uhr los. Er braucht 35 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 10 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
    2. Nicht gebraucht: 10 Haltestellen.
    3. 8:15 Uhr und 35 min
    4. Ankunft: 8:50 Uhr
    Ergebnis:
    überflüssig: 10 Haltestellen; 8:50 Uhr
  3. ★3
    Sara ist 12 Jahre alt und kauft 9 Hefte zu je 1,45 €. Was kosten die Hefte zusammen? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
    2. Nicht gebraucht: 12 Jahre.
    3. 9 · 1,45 € = 13,05 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 12 Jahre; 13,05 €

2Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

In einem Käfig sitzen Fasane und Kaninchen, zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

23 Fasane und 12 Kaninchen: 23 · 2 + 12 · 4 = 46 + 48 = 94. Das Rätsel steht in einem chinesischen Rechenbuch, das rund 1500 Jahre alt ist. Mit einer Tabelle und systematischem Probieren findet man die Lösung, ohne zu raten.

MerkenEine Skizze hilft

Zeichne die Sache einfach und klein.

An der Skizze sieht man, was man zählen muss. Ein Zaun mit Pfählen an beiden Enden hat einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

BeispielMit einer Skizze zählen: Pfähle und Bäume

Ein Zaun ist 27 m lang. Alle 3 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
…3 m27 m?
Schritt für Schritt
  1. Zwischenräume: 27 m : 3 m = 9
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
  3. 9 + 1 = 10
  1. Zwischenräume: 27 m : 3 m = 9
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
  3. 9 + 1 = 10
Ergebnis:
10 Pfähle

AchtungAnfang oder Ende nicht mitgezählt

So nicht
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 → 10 Pfähle
So richtig
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 = 10 Zwischenräume → 11 Pfähle

Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt es: Bei zwei Enden gibt es einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Zaun ist 35 m lang. Alle 5 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
    …5 m35 m?
    So fängst du an:
    Zwischenräume: 35 m : 5 m = 7
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume: 35 m : 5 m = 7
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
    3. 7 + 1 = 8
    Ergebnis:
    8 Pfähle
  2. ●5
    Ein rechteckiger Garten ist 24 m lang und 12 m breit. Rundherum kommt alle 3 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    1. Umfang: 2 · 24 m + 2 · 12 m = 72 m
    2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
    3. 72 m : 3 m = 24
    Ergebnis:
    24 Pfähle
  3. ★6
    Ein Zaun ist 60 m lang. Alle 2,5 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
    …2,5 m60 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume: 60 m : 2,5 m = 24
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
    3. 24 + 1 = 25
    Ergebnis:
    25 Pfähle

3Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein 20 m langer Zaun, wenn alle 2 m einer steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Elf, nicht zehn: 20 : 2 = 10 Zwischenräume, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Dieser Fehler ist so verbreitet, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler. Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt ihn sofort.

MerkenTabelle und Probieren

Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.

Jede Zeile prüft alle Bedingungen. So wird nichts vergessen, und man sieht, in welche Richtung man weitergehen muss.

BeispielKöpfe und Beine: systematisch probieren

Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 14 Karten und zahlt 71 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
Erwachsene0123…Preis????
Schritt für Schritt
  1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
  2. Probieren: 1 Erwachsenenkarten, 13 Kinderkarten: 9 + 52 = 61 €
  3. Probieren: 3 Erwachsenenkarten, 11 Kinderkarten: 27 + 44 = 71 €
  4. Passt: 3 Erwachsenenkarten und 11 Kinderkarten.
  1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
  2. Probieren: 1 Erwachsenenkarten, 13 Kinderkarten: 9 + 52 = 61 €
  3. Probieren: 3 Erwachsenenkarten, 11 Kinderkarten: 27 + 44 = 71 €
  4. Passt: 3 Erwachsenenkarten und 11 Kinderkarten.
Ergebnis:
3 Erwachsenenkarten

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 13 Karten und zahlt 102 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    So fängst du an:
    Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    2. Probieren: 6 Erwachsenenkarten, 7 Kinderkarten: 54 + 28 = 82 €
    3. Probieren: 10 Erwachsenenkarten, 3 Kinderkarten: 90 + 12 = 102 €
    4. Passt: 10 Erwachsenenkarten und 3 Kinderkarten.
    Ergebnis:
    10 Erwachsenenkarten
  2. ●8
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 9 Karten und zahlt 61 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    2. Probieren: 3 Erwachsenenkarten, 6 Kinderkarten: 27 + 24 = 51 €
    3. Probieren: 5 Erwachsenenkarten, 4 Kinderkarten: 45 + 16 = 61 €
    4. Passt: 5 Erwachsenenkarten und 4 Kinderkarten.
    Ergebnis:
    5 Erwachsenenkarten
  3. ★9
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 27 Karten und zahlt 228 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    2. Probieren: 13 Erwachsenenkarten, 14 Kinderkarten: 117 + 56 = 173 €
    3. Probieren: 24 Erwachsenenkarten, 3 Kinderkarten: 216 + 12 = 228 €
    4. Passt: 24 Erwachsenenkarten und 3 Kinderkarten.
    Ergebnis:
    24 Erwachsenenkarten

4Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

EntdeckenFrage

Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago – und wie kann man das ohne Nachschlagen schätzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Diese Frage stellte der Physiker Enrico Fermi seinen Studierenden. Mit wenigen Annahmen – Einwohner, Haushalte mit Klavier, wie oft ein Klavier gestimmt wird, wie viele Klaviere ein Stimmer schafft – kommt man auf eine Zahl in der Größenordnung von hundert.

MerkenRückwärtsarbeiten

Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärtsarbeiten mit Anzahlen und Geld

Noah gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein Buch aus. Danach kauft Noah ein Eis für 3 €. Jetzt sind noch 6 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
?: 2− 3 €6 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts vom Ende: 6 €
  2. Das Eis zurückrechnen: 6 € + 3 € = 9 €
  3. Die Hälfte zurückrechnen: 9 € · 2 = 18 €
  1. Rückwärts vom Ende: 6 €
  2. Das Eis zurückrechnen: 6 € + 3 € = 9 €
  3. Die Hälfte zurückrechnen: 9 € · 2 = 18 €
Ergebnis:
18 €

AchtungRückwärts mit derselben Rechenart gerechnet

So nicht
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 − 4 → 4 · 2 → 8 €
So richtig
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 + 4 = 12 → 12 · 2 = 24 €

Rückwärts dreht jede Rechnung um: plus wird minus, mal wird geteilt – und der letzte Schritt kommt zuerst.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Lea gibt die Hälfte des Taschengeldes für Kinokarten aus. Danach kauft Lea ein Eis für 4 €. Jetzt sind noch 6 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 4 €6 €
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Ende: 6 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Ende: 6 €
    2. Das Eis zurückrechnen: 6 € + 4 € = 10 €
    3. Die Hälfte zurückrechnen: 10 € · 2 = 20 €
    Ergebnis:
    20 €
  2. ●11
    Aylin hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 6 Stück. Vom Rest behält Aylin die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Aylin behält 11 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: Aylin behält 11 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
    2. Rest: 11 · 2 = 22
    3. Vor dem Bruder: 22 + 6 = 28
    Ergebnis:
    28 Bonbons
  3. ★12
    Paul hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 7 Stück. Vom Rest behält Paul ein Drittel, den anderen Teil bekommen Freunde. Paul behält 5 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: Paul behält 5 Stück, das ist ein Drittel vom Rest.
    2. Rest: 5 · 3 = 15
    3. Vor dem Bruder: 15 + 7 = 22
    Ergebnis:
    22 Bonbons

5Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

EntdeckenFrage

Ist die große Familienpackung immer billiger als die kleine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Manchmal kostet ein Kilogramm in der Großpackung mehr. Deshalb muss im Laden neben dem Preis auch der Grundpreis stehen, zum Beispiel der Preis für ein Kilogramm oder einen Liter. Nur damit kann man Angebote wirklich vergleichen.

MerkenSchätzen mit Annahmen

Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.

Man rechnet mit runden Zahlen und rundet das Ergebnis, denn genauer sind die Annahmen nicht.

BeispielSchätzen mit Annahmen

Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 720 Kinder, und jedes braucht etwa 7 Hefte. Runde auf Hunderter.
720 Kinder7 Hefte
Schritt für Schritt
  1. 720 · 7 = 5040
  2. Auf Hunderter gerundet: 5000
  1. 720 · 7 = 5040
  2. Auf Hunderter gerundet: 5000
Ergebnis:
etwa 5000 Hefte

AchtungErgebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse
So richtig
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Eine Klasse hat 30 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 3 Scheiben Brot. Ein Brot hat 16 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 5 Schultage?
    3 Scheiben16 Scheiben5 Schultage
    So fängst du an:
    Scheiben: 30 · 3 · 5 = 450
    Lösung zeigen
    1. Scheiben: 30 · 3 · 5 = 450
    2. 450 : 16 = 28,13
    3. Aufrunden, damit es reicht: 29 Brote
    Ergebnis:
    29 Brote
  2. ●14
    Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 700 Kinder, und jedes braucht etwa 7 Hefte. Runde auf Hunderter.
    700 Kinder7 Hefte
    Lösung zeigen
    1. 700 · 7 = 4900
    2. Auf Hunderter gerundet: 4900
    Ergebnis:
    etwa 4900 Hefte
  3. ★15
    Eine Klasse hat 20 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 4 Scheiben Brot. Ein Brot hat 24 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 10 Schultage?
    4 Scheiben24 Scheiben10 Schultage
    Lösung zeigen
    1. Scheiben: 20 · 4 · 10 = 800
    2. 800 : 24 = 33,33
    3. Aufrunden, damit es reicht: 34 Brote
    Ergebnis:
    34 Brote

6Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

EntdeckenFrage

Wann musst du losgehen, wenn der Bus um 7:42 Uhr fährt und du 9 Minuten zur Haltestelle brauchst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Um 7:33 Uhr – man rechnet vom Ziel aus rückwärts. Der Mathematiker George Pólya nannte das Rückwärtsarbeiten eine der wichtigsten Strategien: beim Gesuchten anfangen und fragen, was man dafür braucht.

MerkenDer Rechenplan

Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?

Dann Schritt für Schritt rechnen und jedes Zwischenergebnis mit Einheit notieren.

BeispielMit einem Rechenplan in mehreren Schritten

Zu einer Feier kommen 10 Kinder. Jedes isst 3 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 10,00 €. Was kosten die Pizzen?
Schritt für Schritt
  1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
  2. Stücke: 10 · 3 = 30
  3. Pizzen: 30 : 6 = 5
  4. Preis: 5 · 10,00 € = 50,00 €
  1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
  2. Stücke: 10 · 3 = 30
  3. Pizzen: 30 : 6 = 5
  4. Preis: 5 · 10,00 € = 50,00 €
Ergebnis:
50,00 €

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zu einer Feier kommen 6 Kinder. Jedes isst 3 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 7,50 €. Was kosten die Pizzen?
    So fängst du an:
    Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    2. Stücke: 6 · 3 = 18
    3. Pizzen: 18 : 8, aufgerundet 3
    4. Preis: 3 · 7,50 € = 22,50 €
    Ergebnis:
    22,50 €
  2. ●17
    Zu einer Feier kommen 11 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 9,50 €. Was kosten die Pizzen?
    Lösung zeigen
    1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    2. Stücke: 11 · 2 = 22
    3. Pizzen: 22 : 6, aufgerundet 4
    4. Preis: 4 · 9,50 € = 38,00 €
    Ergebnis:
    38,00 €
  3. ★18
    Zu einer Feier kommen 6 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 9,50 €. Was kosten die Pizzen?
    Lösung zeigen
    1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    2. Stücke: 6 · 2 = 12
    3. Pizzen: 12 : 8, aufgerundet 2
    4. Preis: 2 · 9,50 € = 19,00 €
    Ergebnis:
    19,00 €

7Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

EntdeckenFrage

Ab wie vielen Fahrten im Monat war 2025 in Berlin das Deutschlandticket billiger als Einzelfahrscheine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Deutschlandticket kostete 2025 im Monat 58 €, ein Einzelfahrschein Berlin AB 3,80 €. 15 Fahrten kosten 57 €, 16 Fahrten schon 60,80 €. Ab 16 Fahrten im Monat war das Deutschlandticket also billiger.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

Bei Tarifen rechnet man aus, was jeder für die eigene Nutzung kostet.

BeispielAngebote über den Preis für ein Stück vergleichen

Angebot A: 10 Hefte für 7,40 €. Angebot B: 5 Hefte für 3,95 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
Angebot A10 Hefte7,40 €Angebot B5 Hefte3,95 €
Schritt für Schritt
  1. A: 7,40 € : 10 = 0,74 €
  2. B: 3,95 € : 5 = 0,79 €
  3. 0,74 € ist weniger: A ist günstiger.
  1. A: 7,40 € : 10 = 0,74 €
  2. B: 3,95 € : 5 = 0,79 €
  3. 0,74 € ist weniger: A ist günstiger.
Ergebnis:
A, 0,74 € je Stück

AchtungGesamtpreise statt Preise für ein Stück verglichen

So nicht
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → B kostet weniger, B ist günstiger
So richtig
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → A 0,45 € je Stück < B 0,49 € je Stück

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen: Preis für ein Stück oder einen Liter ausrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Angebot A: 3 Hefte für 0,78 €. Angebot B: 10 Hefte für 4,30 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A3 Hefte0,78 €Angebot B10 Hefte4,30 €
    So fängst du an:
    A: 0,78 € : 3 = 0,26 €
    Lösung zeigen
    1. A: 0,78 € : 3 = 0,26 €
    2. B: 4,30 € : 10 = 0,43 €
    3. 0,26 € ist weniger: A ist günstiger.
    Ergebnis:
    A, 0,26 € je Stück
  2. ●20
    Angebot A: 10 Hefte für 4,00 €. Angebot B: 3 Hefte für 2,04 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A10 Hefte4,00 €Angebot B3 Hefte2,04 €
    Lösung zeigen
    1. A: 4,00 € : 10 = 0,40 €
    2. B: 2,04 € : 3 = 0,68 €
    3. 0,40 € ist weniger: A ist günstiger.
    Ergebnis:
    A, 0,40 € je Stück
  3. ★21
    Angebot A: 10 Hefte für 5,60 €. Angebot B: 12 Hefte für 9,12 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A10 Hefte5,60 €Angebot B12 Hefte9,12 €
    Lösung zeigen
    1. A: 5,60 € : 10 = 0,56 €
    2. B: 9,12 € : 12 = 0,76 €
    3. 0,56 € ist weniger: A ist günstiger.
    Ergebnis:
    A, 0,56 € je Stück

8Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

EntdeckenFrage

Warum ging 1999 eine NASA-Sonde am Mars verloren, obwohl die Computer richtig gerechnet hatten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Team lieferte Werte in englischen Einheiten, das andere las sie als metrische Einheiten. Die Werte waren dadurch etwa 4,45-mal zu klein. Die Sonde flog zu tief in die Marsatmosphäre. Niemand hatte geprüft, ob die Ergebnisse zusammenpassen.

MerkenErgebnisse prüfen

Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Ein Überschlag prüft das Komma, und die Einheiten müssen passen.

BeispielIst das Ergebnis sinnvoll?

Eine Latte ist 200 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 70 cm. Mia rechnet und sagt: „Das gibt 2,86 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?
ein Stück70 cmLatte200 cm
Schritt für Schritt
  1. 200 : 70 ≈ 2,86
  2. Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
  3. Abrunden: 2 Stücke
  1. 200 : 70 ≈ 2,86
  2. Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
  3. Abrunden: 2 Stücke
Ergebnis:
2 Stücke

AchtungNoch einmal: Ergebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse
So richtig
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    230 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 50 Kinder. Emma teilt 230 durch 50 und sagt: „Wir brauchen 4,6 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
    So fängst du an:
    230 : 50 ≈ 4,6
    Lösung zeigen
    1. 230 : 50 ≈ 4,6
    2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
    3. Aufrunden: 5 Busse
    Ergebnis:
    5 Busse
  2. ●23
    Eine Latte ist 250 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 30 cm. Lea rechnet und sagt: „Das gibt 8,33 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?
    ein Stück30 cmLatte250 cm
    Lösung zeigen
    1. 250 : 30 ≈ 8,33
    2. Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
    3. Abrunden: 8 Stücke
    Ergebnis:
    8 Stücke
  3. ★24
    Can hat 20 €. Ein Comic kostet 4,50 €. Can rechnet 20 : 4,5 und sagt: „Ich kann 4,44 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Can wirklich kaufen?
    Lösung zeigen
    1. 20 : 4,5 ≈ 4,44
    2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
    3. Abrunden: 4 Comics
    Ergebnis:
    4 Comics

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ein Beet ist 4 m lang und 3 m breit. Darin wachsen 30 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
    2. Nicht gebraucht: 30 Tulpen.
    3. Umfang: 2 · 4 m + 2 · 3 m
    4. 2 · 4 m + 2 · 3 m = 14 m
    Ergebnis:
    überflüssig: 30 Tulpen; 14 m
  2. ●26
    Paul kauft 7 Hefte und bezahlt mit einem 20-€-Schein. Wie viel Geld bekommt Paul zurück? Eine wichtige Angabe fehlt. Wähle sie aus.
    A: wie alt das Kind ist
    B: wie viele Hefte gekauft werden
    C: was ein Heft kostet
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist das Rückgeld.
    2. Dafür fehlt: was ein Heft kostet.
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C
  3. ●27
    An beiden Seiten eines 20 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 5 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …5 m20 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 20 m : 5 m = 4
    2. Bäume auf einer Seite: 4 + 1 = 5
    3. Beide Seiten: 2 · 5 = 10
    Ergebnis:
    10 Bäume
  4. ●28
    Für ein Fest werden quadratische Tische, an jeder Seite ein Stuhl, in einer langen Reihe aneinandergestellt. Es kommen 16 Gäste. Wie viele Tische braucht man?
    ?
    Lösung zeigen
    1. Jeder Tisch bringt 2 Plätze, dazu kommen 2 an den Enden.
    2. 16 − 2 = 14
    3. 14 : 2 = 7
    Ergebnis:
    7 Tische
  5. ●29
    Im Hof stehen 12 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 27 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
    Dreiräder0123…Räder????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
    2. Probieren: 1 Dreiräder, 11 Fahrräder: 3 + 22 = 25 Räder
    3. Probieren: 3 Dreiräder, 9 Fahrräder: 9 + 18 = 27 Räder
    4. Passt: 3 Dreiräder und 9 Fahrräder.
    Ergebnis:
    3 Dreiräder
  6. ●30
    Emma und Aylin haben zusammen 52 €. Emma hat 10 € mehr als Aylin. Wie viel Geld hat jeder?
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Betrag von Aylin, Betrag von Emma, zusammen.
    2. Probieren: Aylin 20 €, Emma 30 €, zusammen 50 €
    3. Probieren: Aylin 21 €, Emma 31 €, zusammen 52 €
    Ergebnis:
    Emma 31 €, Aylin 21 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Wichtige und überflüssige Angaben
Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.
Eine Skizze hilft
Zeichne die Sache einfach und klein.
Tabelle und Probieren
Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.
Rückwärtsarbeiten
Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.
Schätzen mit Annahmen
Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.
Der Rechenplan
Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.
Ergebnisse prüfen
Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

    31
    Ein Bus fährt um 9:45 Uhr los. Er braucht 25 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 13 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    überflüssig: 13 Haltestellen; 10:10 Uhr

  2. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    32
    Ein rechteckiger Garten ist 20 m lang und 20 m breit. Rundherum kommt alle 5 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 Pfähle

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

    33
    Im Hof stehen 8 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 19 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
    Dreiräder0123…Räder????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Dreiräder

  4. Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

    34
    Paul hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 7 Stück. Vom Rest behält Paul die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Paul behält 13 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33 Bonbons

  5. Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

    35
    Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 740 Kinder, und jedes braucht etwa 6 Hefte. Runde auf Hunderter.
    740 Kinder6 Hefte
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 4400 Hefte

  6. Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

    36
    Zu einer Feier kommen 12 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 7,50 €. Was kosten die Pizzen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    30,00 €

  7. Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

    37
    Angebot A: 1 Liter Saft für 0,32 €. Angebot B: 1,5 Liter Saft für 1,02 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A, 0,32 € je Liter

  8. Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

    38
    220 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 50 Kinder. Mia teilt 220 durch 50 und sagt: „Wir brauchen 4,4 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Busse

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Heurismen als Werkzeugkasten: Skizze, Tabelle und Rückwärtsarbeiten, wenn kein Rechenweg dasteht.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Einkaufen, Fahrpläne, Feste planen, Tarife vergleichen. Beruf: Handwerk (Material kalkulieren), Einzelhandel, Veranstaltungsplanung.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Terme und einfache Gleichungen, Zuordnungen und Dreisatz, Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. überflüssig: 41 Tulpen; 20 m
  2. überflüssig: 10 Haltestellen; 8:50 Uhr
  3. überflüssig: 12 Jahre; 13,05 €
  4. 8 Pfähle
  5. 24 Pfähle
  6. 25 Pfähle
  7. 10 Erwachsenenkarten
  8. 5 Erwachsenenkarten
  9. 24 Erwachsenenkarten
  10. 20 €
  11. 28 Bonbons
  12. 22 Bonbons
  13. 29 Brote
  14. etwa 4900 Hefte
  15. 34 Brote
  16. 22,50 €
  17. 38,00 €
  18. 19,00 €
  19. A, 0,26 € je Stück
  20. A, 0,40 € je Stück
  21. A, 0,56 € je Stück
  22. 5 Busse
  23. 8 Stücke
  24. 4 Comics
  25. überflüssig: 30 Tulpen; 14 m
  26. C
  27. 10 Bäume
  28. 7 Tische
  29. 3 Dreiräder
  30. Emma 31 €, Aylin 21 €
  31. überflüssig: 13 Haltestellen; 10:10 Uhr
  32. 16 Pfähle
  33. 3 Dreiräder
  34. 33 Bonbons
  35. etwa 4400 Hefte
  36. 30,00 €
  37. A, 0,32 € je Liter
  38. 5 Busse
  39. 96 Tage
  40. 2,39 €