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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Sachaufgaben und Problemlösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele raten wild herum oder rechnen 56 − 20. Manche geben nach zwei Versuchen auf, andere finden die Lösung zufällig, können aber nicht sagen, wie. Wenn der Weg nicht dasteht, hilft ein Werkzeug: Wir legen eine Tabelle an und probieren mit System, Zeile für Zeile. So kommt jede und jeder ans Ziel und kann den Weg erklären.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Größen rechnet man mit Einheit, und vor dem Rechnen stehen alle Angaben in derselben Einheit.

  1. ●39
    Eine Klassenfahrt kostet für 28 Kinder zusammen 5.880,00 €. Alle zahlen gleich viel. Wie viel zahlt ein Kind?
    Lösung zeigen
    1. 5.880,00 € geteilt durch 28 Kinder
    2. Ein Kind zahlt 210,00 €
    Ergebnis:
    210,00 €
  2. ●40
    Du kaufst Sachen für 6,12 €, 0,74 € und zahlst mit einem 10-€-Schein. Berechne das Rückgeld.
    Lösung zeigen
    1. Summe: 6,12 + 0,74 = 6,86 €
    2. Rückgeld: 10 − 6,86 = 3,14 €
    Ergebnis:
    3,14 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Situation, dann die Rechnung

Eine Sachaufgabe ist eine Situation und keine Zahlensammlung. Erst klären, was gefragt und was gegeben ist, dann einen Weg wählen: Skizze, Tabelle oder rückwärts. Zum Schluss wird das Ergebnis an der Situation geprüft.

Pfeilkette: Hälfte, dann 4 weg, Rest 8; rückwärts plus 4 und mal 2 ergibt 2424128: 2− 4+ 4· 2Rückwärts: jede Rechnung umkehren

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und was verrät dir diese Frage über das Lösen von Sachaufgaben?

1Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

EntdeckenFrage

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann niemand wissen – die Zahlen haben mit dem Alter nichts zu tun. Trotzdem rechneten in französischen Untersuchungen viele Grundschulkinder 26 + 10 = 36 und schrieben „36 Jahre“. Wer zuerst die Frage liest, fällt darauf nicht herein.

MerkenWichtige und überflüssige Angaben

Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Fehlt eine Angabe, kann man die Frage nicht beantworten.

BeispielÜberflüssige Angaben erkennen

Ein Bus fährt um 8:45 Uhr los. Er braucht 50 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 7 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
Schritt für Schritt
  1. Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
  2. Nicht gebraucht: 7 Haltestellen.
  3. 8:45 Uhr und 50 min
  4. Ankunft: 9:35 Uhr
  1. Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
  2. Nicht gebraucht: 7 Haltestellen.
  3. 8:45 Uhr und 50 min
  4. Ankunft: 9:35 Uhr
Ergebnis:
überflüssig: 7 Haltestellen; 9:35 Uhr

AchtungAngaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €
So richtig
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Bus fährt um 7:25 Uhr los. Er braucht 25 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 14 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
    So fängst du an:
    Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
    2. Nicht gebraucht: 14 Haltestellen.
    3. 7:25 Uhr und 25 min
    4. Ankunft: 7:50 Uhr
    Ergebnis:
    überflüssig: 14 Haltestellen; 7:50 Uhr
  2. ●2
    Lena ist 13 Jahre alt und spart jede Woche 3,00 €. Wie viel hat Lena nach 9 Wochen gespart? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie viel hat Lena nach 9 Wochen gespart?
    2. Nicht gebraucht: 13 Jahre.
    3. 9 · 3,00 € = 27,00 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 13 Jahre; 27,00 €
  3. ★3
    Ein Bus fährt um 8:35 Uhr los. Er braucht 40 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 12 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
    2. Nicht gebraucht: 12 Haltestellen.
    3. 8:35 Uhr und 40 min
    4. Ankunft: 9:15 Uhr
    Ergebnis:
    überflüssig: 12 Haltestellen; 9:15 Uhr

2Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

In einem Käfig sitzen Fasane und Kaninchen, zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

23 Fasane und 12 Kaninchen: 23 · 2 + 12 · 4 = 46 + 48 = 94. Das Rätsel steht in einem chinesischen Rechenbuch, das rund 1500 Jahre alt ist. Mit einer Tabelle und systematischem Probieren findet man die Lösung, ohne zu raten.

MerkenEine Skizze hilft

Zeichne die Sache einfach und klein.

An der Skizze sieht man, was man zählen muss. Ein Zaun mit Pfählen an beiden Enden hat einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

BeispielMit einer Skizze zählen: Pfähle und Bäume

Ein Zaun ist 24 m lang. Alle 3 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
…3 m24 m?
Schritt für Schritt
  1. Zwischenräume: 24 m : 3 m = 8
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
  3. 8 + 1 = 9
  1. Zwischenräume: 24 m : 3 m = 8
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
  3. 8 + 1 = 9
Ergebnis:
9 Pfähle

AchtungAnfang oder Ende nicht mitgezählt

So nicht
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 → 10 Pfähle
So richtig
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 = 10 Zwischenräume → 11 Pfähle

Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt es: Bei zwei Enden gibt es einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    An beiden Seiten eines 28 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 4 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …4 m28 m?
    So fängst du an:
    Zwischenräume auf einer Seite: 28 m : 4 m = 7
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 28 m : 4 m = 7
    2. Bäume auf einer Seite: 7 + 1 = 8
    3. Beide Seiten: 2 · 8 = 16
    Ergebnis:
    16 Bäume
  2. ●5
    An beiden Seiten eines 60 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 5 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …5 m60 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 60 m : 5 m = 12
    2. Bäume auf einer Seite: 12 + 1 = 13
    3. Beide Seiten: 2 · 13 = 26
    Ergebnis:
    26 Bäume
  3. ★6
    Ein rechteckiger Garten ist 64 m lang und 16 m breit. Rundherum kommt alle 8 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    1. Umfang: 2 · 64 m + 2 · 16 m = 160 m
    2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
    3. 160 m : 8 m = 20
    Ergebnis:
    20 Pfähle

3Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein 20 m langer Zaun, wenn alle 2 m einer steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Elf, nicht zehn: 20 : 2 = 10 Zwischenräume, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Dieser Fehler ist so verbreitet, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler. Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt ihn sofort.

MerkenTabelle und Probieren

Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.

Jede Zeile prüft alle Bedingungen. So wird nichts vergessen, und man sieht, in welche Richtung man weitergehen muss.

BeispielKöpfe und Beine: systematisch probieren

Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 6 Karten und zahlt 34 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
Erwachsene0123…Preis????
Schritt für Schritt
  1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
  2. Probieren: 1 Erwachsenenkarten, 5 Kinderkarten: 9 + 20 = 29 €
  3. Probieren: 2 Erwachsenenkarten, 4 Kinderkarten: 18 + 16 = 34 €
  4. Passt: 2 Erwachsenenkarten und 4 Kinderkarten.
  1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
  2. Probieren: 1 Erwachsenenkarten, 5 Kinderkarten: 9 + 20 = 29 €
  3. Probieren: 2 Erwachsenenkarten, 4 Kinderkarten: 18 + 16 = 34 €
  4. Passt: 2 Erwachsenenkarten und 4 Kinderkarten.
Ergebnis:
2 Erwachsenenkarten

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 14 Köpfe und 54 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
    Kaninchen0123…Beine????
    So fängst du an:
    Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
    2. Probieren: 7 Kaninchen, 7 Hühner: 28 + 14 = 42 Beine
    3. Probieren: 13 Kaninchen, 1 Hühner: 52 + 2 = 54 Beine
    4. Passt: 13 Kaninchen und 1 Hühner.
    Ergebnis:
    13 Kaninchen
  2. ●8
    Im Hof stehen 7 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 17 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
    Dreiräder0123…Räder????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
    2. Probieren: 1 Dreiräder, 6 Fahrräder: 3 + 12 = 15 Räder
    3. Probieren: 3 Dreiräder, 4 Fahrräder: 9 + 8 = 17 Räder
    4. Passt: 3 Dreiräder und 4 Fahrräder.
    Ergebnis:
    3 Dreiräder
  3. ★9
    Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 22 Köpfe und 66 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
    2. Probieren: 9 Kaninchen, 13 Hühner: 36 + 26 = 62 Beine
    3. Probieren: 11 Kaninchen, 11 Hühner: 44 + 22 = 66 Beine
    4. Passt: 11 Kaninchen und 11 Hühner.
    Ergebnis:
    11 Kaninchen

4Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

EntdeckenFrage

Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago – und wie kann man das ohne Nachschlagen schätzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Diese Frage stellte der Physiker Enrico Fermi seinen Studierenden. Mit wenigen Annahmen – Einwohner, Haushalte mit Klavier, wie oft ein Klavier gestimmt wird, wie viele Klaviere ein Stimmer schafft – kommt man auf eine Zahl in der Größenordnung von hundert.

MerkenRückwärtsarbeiten

Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärtsarbeiten mit Anzahlen und Geld

Mia gibt die Hälfte des Taschengeldes für Kinokarten aus. Danach kauft Mia ein Eis für 2 €. Jetzt sind noch 11 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
?: 2− 2 €11 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts vom Ende: 11 €
  2. Das Eis zurückrechnen: 11 € + 2 € = 13 €
  3. Die Hälfte zurückrechnen: 13 € · 2 = 26 €
  1. Rückwärts vom Ende: 11 €
  2. Das Eis zurückrechnen: 11 € + 2 € = 13 €
  3. Die Hälfte zurückrechnen: 13 € · 2 = 26 €
Ergebnis:
26 €

AchtungRückwärts mit derselben Rechenart gerechnet

So nicht
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 − 4 → 4 · 2 → 8 €
So richtig
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 + 4 = 12 → 12 · 2 = 24 €

Rückwärts dreht jede Rechnung um: plus wird minus, mal wird geteilt – und der letzte Schritt kommt zuerst.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Emma gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein T-Shirt aus. Danach kauft Emma ein Eis für 6 €. Jetzt sind noch 11 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 6 €11 €
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Ende: 11 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Ende: 11 €
    2. Das Eis zurückrechnen: 11 € + 6 € = 17 €
    3. Die Hälfte zurückrechnen: 17 € · 2 = 34 €
    Ergebnis:
    34 €
  2. ●11
    Lea spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 10 verloren. Am Ende hat Lea 22 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
    ?· 2− 1022
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: Am Ende sind es 22.
    2. Die verlorenen zurück: 22 + 10 = 32
    3. Das Verdoppeln zurück: 32 : 2 = 16
    Ergebnis:
    16 Murmeln
  3. ★12
    Mia gibt die Hälfte des Taschengeldes für Kinokarten aus. Danach kauft Mia ein Eis für 4 €. Jetzt sind noch 8 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 4 €8 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Ende: 8 €
    2. Das Eis zurückrechnen: 8 € + 4 € = 12 €
    3. Die Hälfte zurückrechnen: 12 € · 2 = 24 €
    Ergebnis:
    24 €

5Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

EntdeckenFrage

Ist die große Familienpackung immer billiger als die kleine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Manchmal kostet ein Kilogramm in der Großpackung mehr. Deshalb muss im Laden neben dem Preis auch der Grundpreis stehen, zum Beispiel der Preis für ein Kilogramm oder einen Liter. Nur damit kann man Angebote wirklich vergleichen.

MerkenSchätzen mit Annahmen

Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.

Man rechnet mit runden Zahlen und rundet das Ergebnis, denn genauer sind die Annahmen nicht.

BeispielSchätzen mit Annahmen

Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 780 Kinder, und jedes braucht etwa 7 Hefte. Runde auf Hunderter.
780 Kinder7 Hefte
Schritt für Schritt
  1. 780 · 7 = 5460
  2. Auf Hunderter gerundet: 5500
  1. 780 · 7 = 5460
  2. Auf Hunderter gerundet: 5500
Ergebnis:
etwa 5500 Hefte

AchtungErgebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse
So richtig
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Eine Klasse hat 22 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 2 Scheiben Brot. Ein Brot hat 16 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 5 Schultage?
    2 Scheiben16 Scheiben5 Schultage
    So fängst du an:
    Scheiben: 22 · 2 · 5 = 220
    Lösung zeigen
    1. Scheiben: 22 · 2 · 5 = 220
    2. 220 : 16 = 13,75
    3. Aufrunden, damit es reicht: 14 Brote
    Ergebnis:
    14 Brote
  2. ●14
    Wie viel Wasser verbraucht eine Familie zum Duschen in einem Monat? Nimm an: 3 Personen duschen jeden Tag, jede Dusche braucht etwa 40 Liter, der Monat hat 30 Tage. Runde auf Hunderter.
    3 Personen40 Liter30 Tage
    Lösung zeigen
    1. An einem Tag: 3 · 40 Liter = 120 Liter
    2. 30 Tage: 120 · 30 = 3600
    3. Gerundet: 3600 Liter
    Ergebnis:
    etwa 3600 Liter
  3. ★15
    Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 340 Kinder, und jedes braucht etwa 7 Hefte. Runde auf Hunderter.
    340 Kinder7 Hefte
    Lösung zeigen
    1. 340 · 7 = 2380
    2. Auf Hunderter gerundet: 2400
    Ergebnis:
    etwa 2400 Hefte

6Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

EntdeckenFrage

Wann musst du losgehen, wenn der Bus um 7:42 Uhr fährt und du 9 Minuten zur Haltestelle brauchst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Um 7:33 Uhr – man rechnet vom Ziel aus rückwärts. Der Mathematiker George Pólya nannte das Rückwärtsarbeiten eine der wichtigsten Strategien: beim Gesuchten anfangen und fragen, was man dafür braucht.

MerkenDer Rechenplan

Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?

Dann Schritt für Schritt rechnen und jedes Zwischenergebnis mit Einheit notieren.

BeispielMit einem Rechenplan in mehreren Schritten

Die Klasse 6c fährt mit 28 Kindern in den Tierpark. Der Bus kostet zusammen 504,00 €. Der Eintritt kostet 7,00 € je Kind, das Mittagessen 5,00 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
28 KinderBus 504,00 €Eintritt 7,00 €Essen 5,00 €
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
  2. Bus je Kind: 504,00 € : 28 = 18,00 €
  3. Je Kind: 18,00 € + 7,00 € + 5,00 € = 30,00 €
  1. Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
  2. Bus je Kind: 504,00 € : 28 = 18,00 €
  3. Je Kind: 18,00 € + 7,00 € + 5,00 € = 30,00 €
Ergebnis:
30,00 €

AchtungNoch einmal: Angaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €
So richtig
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zu einer Feier kommen 12 Kinder. Jedes isst 3 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 7,50 €. Was kosten die Pizzen?
    So fängst du an:
    Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    2. Stücke: 12 · 3 = 36
    3. Pizzen: 36 : 8, aufgerundet 5
    4. Preis: 5 · 7,50 € = 37,50 €
    Ergebnis:
    37,50 €
  2. ●17
    Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 8 m lang und 3 m breit. Für 1 m² braucht man 20 g Samen. Eine Packung enthält 250 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
    8 m3 m
    Lösung zeigen
    1. Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
    2. Fläche: 8 m · 3 m = 24 m²
    3. Samen: 24 · 20 g = 480 g
    4. Packungen: 480 g : 250 g, aufgerundet 2
    Ergebnis:
    2 Packungen
  3. ★18
    Zu einer Feier kommen 10 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 9,50 €. Was kosten die Pizzen?
    Lösung zeigen
    1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    2. Stücke: 10 · 2 = 20
    3. Pizzen: 20 : 8, aufgerundet 3
    4. Preis: 3 · 9,50 € = 28,50 €
    Ergebnis:
    28,50 €

7Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

EntdeckenFrage

Ab wie vielen Fahrten im Monat war 2025 in Berlin das Deutschlandticket billiger als Einzelfahrscheine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Deutschlandticket kostete 2025 im Monat 58 €, ein Einzelfahrschein Berlin AB 3,80 €. 15 Fahrten kosten 57 €, 16 Fahrten schon 60,80 €. Ab 16 Fahrten im Monat war das Deutschlandticket also billiger.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

Bei Tarifen rechnet man aus, was jeder für die eigene Nutzung kostet.

BeispielAngebote über den Preis für ein Stück vergleichen

Angebot A: 8 Joghurts für 5,60 €. Angebot B: 6 Joghurts für 4,62 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
Angebot A8 Joghurts5,60 €Angebot B6 Joghurts4,62 €
Schritt für Schritt
  1. A: 5,60 € : 8 = 0,70 €
  2. B: 4,62 € : 6 = 0,77 €
  3. 0,70 € ist weniger: A ist günstiger.
  1. A: 5,60 € : 8 = 0,70 €
  2. B: 4,62 € : 6 = 0,77 €
  3. 0,70 € ist weniger: A ist günstiger.
Ergebnis:
A, 0,70 € je Stück

AchtungGesamtpreise statt Preise für ein Stück verglichen

So nicht
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → B kostet weniger, B ist günstiger
So richtig
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → A 0,45 € je Stück < B 0,49 € je Stück

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen: Preis für ein Stück oder einen Liter ausrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Angebot A: 3 Hefte für 1,14 €. Angebot B: 5 Hefte für 2,95 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A3 Hefte1,14 €Angebot B5 Hefte2,95 €
    So fängst du an:
    A: 1,14 € : 3 = 0,38 €
    Lösung zeigen
    1. A: 1,14 € : 3 = 0,38 €
    2. B: 2,95 € : 5 = 0,59 €
    3. 0,38 € ist weniger: A ist günstiger.
    Ergebnis:
    A, 0,38 € je Stück
  2. ●20
    Angebot A: 1,5 Liter Saft für 1,17 €. Angebot B: 3 Liter Saft für 1,50 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
    Lösung zeigen
    1. A: 1,17 € : 1,5 = 0,78 €
    2. B: 1,50 € : 3 = 0,50 €
    3. 0,50 € ist weniger: B ist günstiger.
    Ergebnis:
    B, 0,50 € je Liter
  3. ★21
    Angebot A: 2 Liter Saft für 1,02 €. Angebot B: 1,5 Liter Saft für 1,05 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
    Lösung zeigen
    1. A: 1,02 € : 2 = 0,51 €
    2. B: 1,05 € : 1,5 = 0,70 €
    3. 0,51 € ist weniger: A ist günstiger.
    Ergebnis:
    A, 0,51 € je Liter

8Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

EntdeckenFrage

Warum ging 1999 eine NASA-Sonde am Mars verloren, obwohl die Computer richtig gerechnet hatten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Team lieferte Werte in englischen Einheiten, das andere las sie als metrische Einheiten. Die Werte waren dadurch etwa 4,45-mal zu klein. Die Sonde flog zu tief in die Marsatmosphäre. Niemand hatte geprüft, ob die Ergebnisse zusammenpassen.

MerkenErgebnisse prüfen

Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Ein Überschlag prüft das Komma, und die Einheiten müssen passen.

BeispielIst das Ergebnis sinnvoll?

Emma hat 15 €. Ein Comic kostet 4,50 €. Emma rechnet 15 : 4,5 und sagt: „Ich kann 3,33 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Emma wirklich kaufen?
Schritt für Schritt
  1. 15 : 4,5 ≈ 3,33
  2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
  3. Abrunden: 3 Comics
  1. 15 : 4,5 ≈ 3,33
  2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
  3. Abrunden: 3 Comics
Ergebnis:
3 Comics

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht
47 + 38 = 75
So richtig
47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mia hat 10 €. Ein Comic kostet 1,20 €. Mia rechnet 10 : 1,2 und sagt: „Ich kann 8,33 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Mia wirklich kaufen?
    So fängst du an:
    10 : 1,2 ≈ 8,33
    Lösung zeigen
    1. 10 : 1,2 ≈ 8,33
    2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
    3. Abrunden: 8 Comics
    Ergebnis:
    8 Comics
  2. ●23
    Ben hat 15 €. Ein Comic kostet 1,20 €. Ben rechnet 15 : 1,2 und sagt: „Ich kann 12,5 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Ben wirklich kaufen?
    Lösung zeigen
    1. 15 : 1,2 ≈ 12,5
    2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
    3. Abrunden: 12 Comics
    Ergebnis:
    12 Comics
  3. ★24
    137 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 40 Kinder. Noah teilt 137 durch 40 und sagt: „Wir brauchen 3,43 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
    Lösung zeigen
    1. 137 : 40 ≈ 3,43
    2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
    3. Aufrunden: 4 Busse
    Ergebnis:
    4 Busse

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ein Beet ist 6 m lang und 5 m breit. Darin wachsen 48 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
    2. Nicht gebraucht: 48 Tulpen.
    3. Umfang: 2 · 6 m + 2 · 5 m
    4. 2 · 6 m + 2 · 5 m = 22 m
    Ergebnis:
    überflüssig: 48 Tulpen; 22 m
  2. ●26
    Lea kauft 3 Hefte und bezahlt mit einem 20-€-Schein. Wie viel Geld bekommt Lea zurück? Eine wichtige Angabe fehlt. Wähle sie aus.
    A: wie viele Hefte gekauft werden
    B: wie alt das Kind ist
    C: was ein Heft kostet
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist das Rückgeld.
    2. Dafür fehlt: was ein Heft kostet.
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C
  3. ●27
    An beiden Seiten eines 12 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 2 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …2 m12 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 12 m : 2 m = 6
    2. Bäume auf einer Seite: 6 + 1 = 7
    3. Beide Seiten: 2 · 7 = 14
    Ergebnis:
    14 Bäume
  4. ●28
    Für ein Fest werden quadratische Tische, an jeder Seite ein Stuhl, in einer langen Reihe aneinandergestellt. Es kommen 22 Gäste. Wie viele Tische braucht man?
    ?
    Lösung zeigen
    1. Jeder Tisch bringt 2 Plätze, dazu kommen 2 an den Enden.
    2. 22 − 2 = 20
    3. 20 : 2 = 10
    Ergebnis:
    10 Tische
  5. ●29
    Im Hof stehen 8 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 20 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
    Dreiräder0123…Räder????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
    2. Probieren: 2 Dreiräder, 6 Fahrräder: 6 + 12 = 18 Räder
    3. Probieren: 4 Dreiräder, 4 Fahrräder: 12 + 8 = 20 Räder
    4. Passt: 4 Dreiräder und 4 Fahrräder.
    Ergebnis:
    4 Dreiräder
  6. ●30
    Zwei natürliche Zahlen haben die Summe 20 und das Produkt 96. Welche Zahlen sind es?
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Zahlenpaare mit der Summe 20, dazu ihr Produkt.
    2. Probieren: 9 und 11 geben 99.
    3. Probieren: 8 und 12 geben 96.
    Ergebnis:
    8 und 12

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Wichtige und überflüssige Angaben
Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.
Eine Skizze hilft
Zeichne die Sache einfach und klein.
Tabelle und Probieren
Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.
Rückwärtsarbeiten
Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.
Schätzen mit Annahmen
Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.
Der Rechenplan
Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.
Ergebnisse prüfen
Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

    31
    Sara ist 11 Jahre alt und kauft 4 Hefte zu je 1,50 €. Was kosten die Hefte zusammen? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    überflüssig: 11 Jahre; 6,00 €

  2. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    32
    Ein rechteckiger Garten ist 24 m lang und 12 m breit. Rundherum kommt alle 4 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18 Pfähle

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

    33
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 13 Karten und zahlt 107 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11 Erwachsenenkarten

  4. Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

    34
    Ben gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein Buch aus. Danach kauft Ben ein Eis für 5 €. Jetzt sind noch 12 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 5 €12 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34 €

  5. Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

    35
    Eine Klasse hat 27 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 2 Scheiben Brot. Ein Brot hat 20 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 5 Schultage?
    2 Scheiben20 Scheiben5 Schultage
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14 Brote

  6. Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

    36
    Zu einer Feier kommen 11 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 10,00 €. Was kosten die Pizzen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    30,00 €

  7. Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

    37
    Angebot A: 2 Liter Saft für 1,26 €. Angebot B: 1,5 Liter Saft für 0,39 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B, 0,26 € je Liter

  8. Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

    38
    Eine Latte ist 300 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 45 cm. Ben rechnet und sagt: „Das gibt 6,67 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?
    ein Stück45 cmLatte300 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Stücke

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Heurismen als Werkzeugkasten: Skizze, Tabelle und Rückwärtsarbeiten, wenn kein Rechenweg dasteht.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Einkaufen, Fahrpläne, Feste planen, Tarife vergleichen. Beruf: Handwerk (Material kalkulieren), Einzelhandel, Veranstaltungsplanung.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Terme und einfache Gleichungen, Zuordnungen und Dreisatz, Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. überflüssig: 14 Haltestellen; 7:50 Uhr
  2. überflüssig: 13 Jahre; 27,00 €
  3. überflüssig: 12 Haltestellen; 9:15 Uhr
  4. 16 Bäume
  5. 26 Bäume
  6. 20 Pfähle
  7. 13 Kaninchen
  8. 3 Dreiräder
  9. 11 Kaninchen
  10. 34 €
  11. 16 Murmeln
  12. 24 €
  13. 14 Brote
  14. etwa 3600 Liter
  15. etwa 2400 Hefte
  16. 37,50 €
  17. 2 Packungen
  18. 28,50 €
  19. A, 0,38 € je Stück
  20. B, 0,50 € je Liter
  21. A, 0,51 € je Liter
  22. 8 Comics
  23. 12 Comics
  24. 4 Busse
  25. überflüssig: 48 Tulpen; 22 m
  26. C
  27. 14 Bäume
  28. 10 Tische
  29. 4 Dreiräder
  30. 8 und 12
  31. überflüssig: 11 Jahre; 6,00 €
  32. 18 Pfähle
  33. 11 Erwachsenenkarten
  34. 34 €
  35. 14 Brote
  36. 30,00 €
  37. B, 0,26 € je Liter
  38. 6 Stücke
  39. 210,00 €
  40. 3,14 €