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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Sachaufgaben und Problemlösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele raten wild herum oder rechnen 56 − 20. Manche geben nach zwei Versuchen auf, andere finden die Lösung zufällig, können aber nicht sagen, wie. Wenn der Weg nicht dasteht, hilft ein Werkzeug: Wir legen eine Tabelle an und probieren mit System, Zeile für Zeile. So kommt jede und jeder ans Ziel und kann den Weg erklären.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Größen rechnet man mit Einheit, und vor dem Rechnen stehen alle Angaben in derselben Einheit.

  1. ●39
    Ein Datenpaket fürs Handy hat 18.000 MB. Jeden Tag verbrauchst du 250 MB. Wie viele Tage reicht das Paket?
    Lösung zeigen
    1. 18.000 geteilt durch 250
    2. Das Paket reicht 72 Tage
    Ergebnis:
    72 Tage
  2. ●40
    Du kaufst Sachen für 6,86 €, 8,68 € und zahlst mit einem 20-€-Schein. Berechne das Rückgeld.
    Lösung zeigen
    1. Summe: 6,86 + 8,68 = 15,54 €
    2. Rückgeld: 20 − 15,54 = 4,46 €
    Ergebnis:
    4,46 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Situation, dann die Rechnung

Eine Sachaufgabe ist eine Situation und keine Zahlensammlung. Erst klären, was gefragt und was gegeben ist, dann einen Weg wählen: Skizze, Tabelle oder rückwärts. Zum Schluss wird das Ergebnis an der Situation geprüft.

Pfeilkette: Hälfte, dann 4 weg, Rest 8; rückwärts plus 4 und mal 2 ergibt 2424128: 2− 4+ 4· 2Rückwärts: jede Rechnung umkehren

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und was verrät dir diese Frage über das Lösen von Sachaufgaben?

1Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

EntdeckenFrage

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann niemand wissen – die Zahlen haben mit dem Alter nichts zu tun. Trotzdem rechneten in französischen Untersuchungen viele Grundschulkinder 26 + 10 = 36 und schrieben „36 Jahre“. Wer zuerst die Frage liest, fällt darauf nicht herein.

MerkenWichtige und überflüssige Angaben

Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Fehlt eine Angabe, kann man die Frage nicht beantworten.

BeispielÜberflüssige Angaben erkennen

Lena ist 12 Jahre alt und spart jede Woche 4,00 €. Wie viel hat Lena nach 9 Wochen gespart? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
Schritt für Schritt
  1. Gefragt ist: Wie viel hat Lena nach 9 Wochen gespart?
  2. Nicht gebraucht: 12 Jahre.
  3. 9 · 4,00 € = 36,00 €
  1. Gefragt ist: Wie viel hat Lena nach 9 Wochen gespart?
  2. Nicht gebraucht: 12 Jahre.
  3. 9 · 4,00 € = 36,00 €
Ergebnis:
überflüssig: 12 Jahre; 36,00 €

AchtungAngaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €
So richtig
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Paul ist 11 Jahre alt und kauft 6 Hefte zu je 0,50 €. Was kosten die Hefte zusammen? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
    So fängst du an:
    Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
    2. Nicht gebraucht: 11 Jahre.
    3. 6 · 0,50 € = 3,00 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 11 Jahre; 3,00 €
  2. ●2
    Noah ist 13 Jahre alt und spart jede Woche 5,00 €. Wie viel hat Noah nach 10 Wochen gespart? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie viel hat Noah nach 10 Wochen gespart?
    2. Nicht gebraucht: 13 Jahre.
    3. 10 · 5,00 € = 50,00 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 13 Jahre; 50,00 €
  3. ★3
    Ein Bus fährt um 9:05 Uhr los. Er braucht 40 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 8 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
    2. Nicht gebraucht: 8 Haltestellen.
    3. 9:05 Uhr und 40 min
    4. Ankunft: 9:45 Uhr
    Ergebnis:
    überflüssig: 8 Haltestellen; 9:45 Uhr

2Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

In einem Käfig sitzen Fasane und Kaninchen, zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

23 Fasane und 12 Kaninchen: 23 · 2 + 12 · 4 = 46 + 48 = 94. Das Rätsel steht in einem chinesischen Rechenbuch, das rund 1500 Jahre alt ist. Mit einer Tabelle und systematischem Probieren findet man die Lösung, ohne zu raten.

MerkenEine Skizze hilft

Zeichne die Sache einfach und klein.

An der Skizze sieht man, was man zählen muss. Ein Zaun mit Pfählen an beiden Enden hat einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

BeispielMit einer Skizze zählen: Pfähle und Bäume

Ein rechteckiger Garten ist 12 m lang und 8 m breit. Rundherum kommt alle 2 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
Schritt für Schritt
  1. Umfang: 2 · 12 m + 2 · 8 m = 40 m
  2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
  3. 40 m : 2 m = 20
  1. Umfang: 2 · 12 m + 2 · 8 m = 40 m
  2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
  3. 40 m : 2 m = 20
Ergebnis:
20 Pfähle

AchtungAnfang oder Ende nicht mitgezählt

So nicht
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 → 10 Pfähle
So richtig
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 = 10 Zwischenräume → 11 Pfähle

Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt es: Bei zwei Enden gibt es einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Zaun ist 44 m lang. Alle 4 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
    …4 m44 m?
    So fängst du an:
    Zwischenräume: 44 m : 4 m = 11
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume: 44 m : 4 m = 11
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
    3. 11 + 1 = 12
    Ergebnis:
    12 Pfähle
  2. ●5
    An beiden Seiten eines 24 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 3 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …3 m24 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 24 m : 3 m = 8
    2. Bäume auf einer Seite: 8 + 1 = 9
    3. Beide Seiten: 2 · 9 = 18
    Ergebnis:
    18 Bäume
  3. ★6
    An beiden Seiten eines 92 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 4 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …4 m92 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 92 m : 4 m = 23
    2. Bäume auf einer Seite: 23 + 1 = 24
    3. Beide Seiten: 2 · 24 = 48
    Ergebnis:
    48 Bäume

3Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein 20 m langer Zaun, wenn alle 2 m einer steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Elf, nicht zehn: 20 : 2 = 10 Zwischenräume, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Dieser Fehler ist so verbreitet, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler. Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt ihn sofort.

MerkenTabelle und Probieren

Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.

Jede Zeile prüft alle Bedingungen. So wird nichts vergessen, und man sieht, in welche Richtung man weitergehen muss.

BeispielKöpfe und Beine: systematisch probieren

Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 14 Karten und zahlt 101 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
Erwachsene0123…Preis????
Schritt für Schritt
  1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
  2. Probieren: 7 Erwachsenenkarten, 7 Kinderkarten: 63 + 28 = 91 €
  3. Probieren: 9 Erwachsenenkarten, 5 Kinderkarten: 81 + 20 = 101 €
  4. Passt: 9 Erwachsenenkarten und 5 Kinderkarten.
  1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
  2. Probieren: 7 Erwachsenenkarten, 7 Kinderkarten: 63 + 28 = 91 €
  3. Probieren: 9 Erwachsenenkarten, 5 Kinderkarten: 81 + 20 = 101 €
  4. Passt: 9 Erwachsenenkarten und 5 Kinderkarten.
Ergebnis:
9 Erwachsenenkarten

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 11 Karten und zahlt 79 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    So fängst du an:
    Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    2. Probieren: 5 Erwachsenenkarten, 6 Kinderkarten: 45 + 24 = 69 €
    3. Probieren: 7 Erwachsenenkarten, 4 Kinderkarten: 63 + 16 = 79 €
    4. Passt: 7 Erwachsenenkarten und 4 Kinderkarten.
    Ergebnis:
    7 Erwachsenenkarten
  2. ●8
    Im Hof stehen 11 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 24 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
    Dreiräder0123…Räder????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
    2. Probieren: 1 Dreiräder, 10 Fahrräder: 3 + 20 = 23 Räder
    3. Probieren: 2 Dreiräder, 9 Fahrräder: 6 + 18 = 24 Räder
    4. Passt: 2 Dreiräder und 9 Fahrräder.
    Ergebnis:
    2 Dreiräder
  3. ★9
    Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 14 Köpfe und 50 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
    2. Probieren: 7 Kaninchen, 7 Hühner: 28 + 14 = 42 Beine
    3. Probieren: 11 Kaninchen, 3 Hühner: 44 + 6 = 50 Beine
    4. Passt: 11 Kaninchen und 3 Hühner.
    Ergebnis:
    11 Kaninchen

4Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

EntdeckenFrage

Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago – und wie kann man das ohne Nachschlagen schätzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Diese Frage stellte der Physiker Enrico Fermi seinen Studierenden. Mit wenigen Annahmen – Einwohner, Haushalte mit Klavier, wie oft ein Klavier gestimmt wird, wie viele Klaviere ein Stimmer schafft – kommt man auf eine Zahl in der Größenordnung von hundert.

MerkenRückwärtsarbeiten

Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärtsarbeiten mit Anzahlen und Geld

Sara spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 10 verloren. Am Ende hat Sara 32 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
?· 2− 1032
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts: Am Ende sind es 32.
  2. Die verlorenen zurück: 32 + 10 = 42
  3. Das Verdoppeln zurück: 42 : 2 = 21
  1. Rückwärts: Am Ende sind es 32.
  2. Die verlorenen zurück: 32 + 10 = 42
  3. Das Verdoppeln zurück: 42 : 2 = 21
Ergebnis:
21 Murmeln

AchtungRückwärts mit derselben Rechenart gerechnet

So nicht
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 − 4 → 4 · 2 → 8 €
So richtig
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 + 4 = 12 → 12 · 2 = 24 €

Rückwärts dreht jede Rechnung um: plus wird minus, mal wird geteilt – und der letzte Schritt kommt zuerst.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Can gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein T-Shirt aus. Danach kauft Can ein Eis für 3 €. Jetzt sind noch 7 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 3 €7 €
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Ende: 7 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Ende: 7 €
    2. Das Eis zurückrechnen: 7 € + 3 € = 10 €
    3. Die Hälfte zurückrechnen: 10 € · 2 = 20 €
    Ergebnis:
    20 €
  2. ●11
    Paul hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 3 Stück. Vom Rest behält Paul die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Paul behält 12 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: Paul behält 12 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
    2. Rest: 12 · 2 = 24
    3. Vor dem Bruder: 24 + 3 = 27
    Ergebnis:
    27 Bonbons
  3. ★12
    Tom gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein T-Shirt aus. Danach kauft Tom ein Eis für 4 €. Jetzt sind noch 10 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 4 €10 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Ende: 10 €
    2. Das Eis zurückrechnen: 10 € + 4 € = 14 €
    3. Die Hälfte zurückrechnen: 14 € · 2 = 28 €
    Ergebnis:
    28 €

5Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

EntdeckenFrage

Ist die große Familienpackung immer billiger als die kleine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Manchmal kostet ein Kilogramm in der Großpackung mehr. Deshalb muss im Laden neben dem Preis auch der Grundpreis stehen, zum Beispiel der Preis für ein Kilogramm oder einen Liter. Nur damit kann man Angebote wirklich vergleichen.

MerkenSchätzen mit Annahmen

Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.

Man rechnet mit runden Zahlen und rundet das Ergebnis, denn genauer sind die Annahmen nicht.

BeispielSchätzen mit Annahmen

Eine Klasse hat 25 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 3 Scheiben Brot. Ein Brot hat 20 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 5 Schultage?
3 Scheiben20 Scheiben5 Schultage
Schritt für Schritt
  1. Scheiben: 25 · 3 · 5 = 375
  2. 375 : 20 = 18,75
  3. Aufrunden, damit es reicht: 19 Brote
  1. Scheiben: 25 · 3 · 5 = 375
  2. 375 : 20 = 18,75
  3. Aufrunden, damit es reicht: 19 Brote
Ergebnis:
19 Brote

AchtungErgebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse
So richtig
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie viel Wasser verbraucht eine Familie zum Duschen in einem Monat? Nimm an: 2 Personen duschen jeden Tag, jede Dusche braucht etwa 50 Liter, der Monat hat 30 Tage. Runde auf Hunderter.
    2 Personen50 Liter30 Tage
    So fängst du an:
    An einem Tag: 2 · 50 Liter = 100 Liter
    Lösung zeigen
    1. An einem Tag: 2 · 50 Liter = 100 Liter
    2. 30 Tage: 100 · 30 = 3000
    3. Gerundet: 3000 Liter
    Ergebnis:
    etwa 3000 Liter
  2. ●14
    Wie oft schlägt dein Herz an einem Tag? Nimm an: etwa 75-mal in der Minute. Runde auf Tausender.
    Lösung zeigen
    1. In einer Stunde: 75 · 60 = 4500
    2. An einem Tag: 4500 · 24 = 108.000
    3. Auf Tausender gerundet: 108.000
    Ergebnis:
    etwa 108.000-mal
  3. ★15
    Eine Klasse hat 25 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 4 Scheiben Brot. Ein Brot hat 24 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 10 Schultage?
    4 Scheiben24 Scheiben10 Schultage
    Lösung zeigen
    1. Scheiben: 25 · 4 · 10 = 1000
    2. 1000 : 24 = 41,67
    3. Aufrunden, damit es reicht: 42 Brote
    Ergebnis:
    42 Brote

6Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

EntdeckenFrage

Wann musst du losgehen, wenn der Bus um 7:42 Uhr fährt und du 9 Minuten zur Haltestelle brauchst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Um 7:33 Uhr – man rechnet vom Ziel aus rückwärts. Der Mathematiker George Pólya nannte das Rückwärtsarbeiten eine der wichtigsten Strategien: beim Gesuchten anfangen und fragen, was man dafür braucht.

MerkenDer Rechenplan

Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?

Dann Schritt für Schritt rechnen und jedes Zwischenergebnis mit Einheit notieren.

BeispielMit einem Rechenplan in mehreren Schritten

Die Klasse 6c fährt mit 28 Kindern in den Tierpark. Der Bus kostet zusammen 280,00 €. Der Eintritt kostet 3,00 € je Kind, das Mittagessen 5,00 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
28 KinderBus 280,00 €Eintritt 3,00 €Essen 5,00 €
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
  2. Bus je Kind: 280,00 € : 28 = 10,00 €
  3. Je Kind: 10,00 € + 3,00 € + 5,00 € = 18,00 €
  1. Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
  2. Bus je Kind: 280,00 € : 28 = 10,00 €
  3. Je Kind: 10,00 € + 3,00 € + 5,00 € = 18,00 €
Ergebnis:
18,00 €

AchtungEiner beim Malnehmen nicht malgenommen

So nicht
24 · 4 = 80 + 4 = 84
So richtig
24 · 4 = 20 · 4 + 4 · 4 = 80 + 16 = 96

Zerlege die Zahl. Nimm jeden Teil mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 11 m lang und 5 m breit. Für 1 m² braucht man 20 g Samen. Eine Packung enthält 250 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
    11 m5 m
    So fängst du an:
    Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
    2. Fläche: 11 m · 5 m = 55 m²
    3. Samen: 55 · 20 g = 1100 g
    4. Packungen: 1100 g : 250 g, aufgerundet 5
    Ergebnis:
    5 Packungen
  2. ●17
    Zu einer Feier kommen 12 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 8,00 €. Was kosten die Pizzen?
    Lösung zeigen
    1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    2. Stücke: 12 · 2 = 24
    3. Pizzen: 24 : 8 = 3
    4. Preis: 3 · 8,00 € = 24,00 €
    Ergebnis:
    24,00 €
  3. ★18
    Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 11 m lang und 9 m breit. Für 1 m² braucht man 25 g Samen. Eine Packung enthält 500 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
    11 m9 m
    Lösung zeigen
    1. Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
    2. Fläche: 11 m · 9 m = 99 m²
    3. Samen: 99 · 25 g = 2475 g
    4. Packungen: 2475 g : 500 g, aufgerundet 5
    Ergebnis:
    5 Packungen

7Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

EntdeckenFrage

Ab wie vielen Fahrten im Monat war 2025 in Berlin das Deutschlandticket billiger als Einzelfahrscheine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Deutschlandticket kostete 2025 im Monat 58 €, ein Einzelfahrschein Berlin AB 3,80 €. 15 Fahrten kosten 57 €, 16 Fahrten schon 60,80 €. Ab 16 Fahrten im Monat war das Deutschlandticket also billiger.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

Bei Tarifen rechnet man aus, was jeder für die eigene Nutzung kostet.

BeispielAngebote über den Preis für ein Stück vergleichen

Angebot A: 8 Joghurts für 3,20 €. Angebot B: 10 Joghurts für 2,60 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
Angebot A8 Joghurts3,20 €Angebot B10 Joghurts2,60 €
Schritt für Schritt
  1. A: 3,20 € : 8 = 0,40 €
  2. B: 2,60 € : 10 = 0,26 €
  3. 0,26 € ist weniger: B ist günstiger.
  1. A: 3,20 € : 8 = 0,40 €
  2. B: 2,60 € : 10 = 0,26 €
  3. 0,26 € ist weniger: B ist günstiger.
Ergebnis:
B, 0,26 € je Stück

AchtungGesamtpreise statt Preise für ein Stück verglichen

So nicht
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → B kostet weniger, B ist günstiger
So richtig
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → A 0,45 € je Stück < B 0,49 € je Stück

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen: Preis für ein Stück oder einen Liter ausrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Angebot A: 12 Hefte für 5,64 €. Angebot B: 10 Hefte für 7,30 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A12 Hefte5,64 €Angebot B10 Hefte7,30 €
    So fängst du an:
    A: 5,64 € : 12 = 0,47 €
    Lösung zeigen
    1. A: 5,64 € : 12 = 0,47 €
    2. B: 7,30 € : 10 = 0,73 €
    3. 0,47 € ist weniger: A ist günstiger.
    Ergebnis:
    A, 0,47 € je Stück
  2. ●20
    Angebot A: 2 Liter Saft für 0,98 €. Angebot B: 1 Liter Saft für 0,59 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
    Lösung zeigen
    1. A: 0,98 € : 2 = 0,49 €
    2. B: 0,59 € : 1 = 0,59 €
    3. 0,49 € ist weniger: A ist günstiger.
    Ergebnis:
    A, 0,49 € je Liter
  3. ★21
    Angebot A: 6 Joghurts für 5,22 €. Angebot B: 8 Joghurts für 4,00 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A6 Joghurts5,22 €Angebot B8 Joghurts4,00 €
    Lösung zeigen
    1. A: 5,22 € : 6 = 0,87 €
    2. B: 4,00 € : 8 = 0,50 €
    3. 0,50 € ist weniger: B ist günstiger.
    Ergebnis:
    B, 0,50 € je Stück

8Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

EntdeckenFrage

Warum ging 1999 eine NASA-Sonde am Mars verloren, obwohl die Computer richtig gerechnet hatten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Team lieferte Werte in englischen Einheiten, das andere las sie als metrische Einheiten. Die Werte waren dadurch etwa 4,45-mal zu klein. Die Sonde flog zu tief in die Marsatmosphäre. Niemand hatte geprüft, ob die Ergebnisse zusammenpassen.

MerkenErgebnisse prüfen

Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Ein Überschlag prüft das Komma, und die Einheiten müssen passen.

BeispielIst das Ergebnis sinnvoll?

Paul hat 10 €. Ein Comic kostet 2,40 €. Paul rechnet 10 : 2,4 und sagt: „Ich kann 4,17 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Paul wirklich kaufen?
Schritt für Schritt
  1. 10 : 2,4 ≈ 4,17
  2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
  3. Abrunden: 4 Comics
  1. 10 : 2,4 ≈ 4,17
  2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
  3. Abrunden: 4 Comics
Ergebnis:
4 Comics

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Eine Latte ist 300 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 45 cm. Paul rechnet und sagt: „Das gibt 6,67 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?
    ein Stück45 cmLatte300 cm
    So fängst du an:
    300 : 45 ≈ 6,67
    Lösung zeigen
    1. 300 : 45 ≈ 6,67
    2. Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
    3. Abrunden: 6 Stücke
    Ergebnis:
    6 Stücke
  2. ●23
    Ben hat 10 €. Ein Comic kostet 2,40 €. Ben rechnet 10 : 2,4 und sagt: „Ich kann 4,17 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Ben wirklich kaufen?
    Lösung zeigen
    1. 10 : 2,4 ≈ 4,17
    2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
    3. Abrunden: 4 Comics
    Ergebnis:
    4 Comics
  3. ★24
    Ben hat 15 €. Ein Comic kostet 4,50 €. Ben rechnet 15 : 4,5 und sagt: „Ich kann 3,33 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Ben wirklich kaufen?
    Lösung zeigen
    1. 15 : 4,5 ≈ 3,33
    2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
    3. Abrunden: 3 Comics
    Ergebnis:
    3 Comics

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Noah ist 11 Jahre alt und kauft 3 Hefte zu je 1,50 €. Was kosten die Hefte zusammen? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
    2. Nicht gebraucht: 11 Jahre.
    3. 3 · 1,50 € = 4,50 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 11 Jahre; 4,50 €
  2. ●26
    Ein Zug fährt um 11:50 Uhr in Berlin ab. Wann kommt er in Leipzig an? Was musst du noch wissen, um die Frage zu beantworten?
    A: wie lange die Fahrt dauert
    B: wie viele Wagen der Zug hat
    C: wann der Zug abfährt
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist die Ankunftszeit.
    2. Dafür fehlt: wie lange die Fahrt dauert.
    3. Richtig ist A.
    Ergebnis:
    A
  3. ●27
    Ein rechteckiger Garten ist 15 m lang und 10 m breit. Rundherum kommt alle 5 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    1. Umfang: 2 · 15 m + 2 · 10 m = 50 m
    2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
    3. 50 m : 5 m = 10
    Ergebnis:
    10 Pfähle
  4. ●28
    Beim Sommerfest stehen 9 Tische in einer Reihe: quadratische Tische, an jeder Seite ein Stuhl. Zeichne drei Tische und finde eine Regel. Wie viele Stühle passen an alle 9 Tische?
    ?
    Lösung zeigen
    1. Zeichnung: An den Stoßstellen fallen die Stühle weg.
    2. Jeder Tisch: 2 Plätze oben und unten, dazu 2 an den Enden.
    3. 2 · 9 + 2 = 20
    Ergebnis:
    20 Stühle
  5. ●29
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 13 Karten und zahlt 102 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    2. Probieren: 6 Erwachsenenkarten, 7 Kinderkarten: 54 + 28 = 82 €
    3. Probieren: 10 Erwachsenenkarten, 3 Kinderkarten: 90 + 12 = 102 €
    4. Passt: 10 Erwachsenenkarten und 3 Kinderkarten.
    Ergebnis:
    10 Erwachsenenkarten
  6. ●30
    Drei aufeinanderfolgende Zahlen haben zusammen die Summe 72. Welche Zahlen sind es?
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: kleinste Zahl, alle Zahlen, Summe.
    2. Probieren: 21 + 22 + 23 = 66
    3. Probieren: 23 + 24 + 25 = 72
    Ergebnis:
    23, 24 und 25

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Wichtige und überflüssige Angaben
Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.
Eine Skizze hilft
Zeichne die Sache einfach und klein.
Tabelle und Probieren
Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.
Rückwärtsarbeiten
Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.
Schätzen mit Annahmen
Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.
Der Rechenplan
Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.
Ergebnisse prüfen
Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

    31
    Ein Bus fährt um 7:35 Uhr los. Er braucht 50 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 9 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    überflüssig: 9 Haltestellen; 8:25 Uhr

  2. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    32
    An beiden Seiten eines 24 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 4 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …4 m24 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14 Bäume

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

    33
    Im Hof stehen 8 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 19 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
    Dreiräder0123…Räder????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Dreiräder

  4. Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

    34
    Emma gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein Spiel aus. Danach kauft Emma ein Eis für 5 €. Jetzt sind noch 11 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 5 €11 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32 €

  5. Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

    35
    Wie viel Wasser verbraucht eine Familie zum Duschen in einem Monat? Nimm an: 2 Personen duschen jeden Tag, jede Dusche braucht etwa 60 Liter, der Monat hat 30 Tage. Runde auf Hunderter.
    2 Personen60 Liter30 Tage
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 3600 Liter

  6. Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

    36
    Die Klasse 6c fährt mit 24 Kindern in den Tierpark. Der Bus kostet zusammen 432,00 €. Der Eintritt kostet 6,00 € je Kind, das Mittagessen 5,00 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    24 KinderBus 432,00 €Eintritt 6,00 €Essen 5,00 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    29,00 €

  7. Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

    37
    Angebot A: 3 Liter Saft für 2,37 €. Angebot B: 1,5 Liter Saft für 0,51 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B, 0,34 € je Liter

  8. Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

    38
    Paul hat 10 €. Ein Comic kostet 3,50 €. Paul rechnet 10 : 3,5 und sagt: „Ich kann 2,86 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Paul wirklich kaufen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Comics

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Heurismen als Werkzeugkasten: Skizze, Tabelle und Rückwärtsarbeiten, wenn kein Rechenweg dasteht.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Einkaufen, Fahrpläne, Feste planen, Tarife vergleichen. Beruf: Handwerk (Material kalkulieren), Einzelhandel, Veranstaltungsplanung.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Terme und einfache Gleichungen, Zuordnungen und Dreisatz, Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. überflüssig: 11 Jahre; 3,00 €
  2. überflüssig: 13 Jahre; 50,00 €
  3. überflüssig: 8 Haltestellen; 9:45 Uhr
  4. 12 Pfähle
  5. 18 Bäume
  6. 48 Bäume
  7. 7 Erwachsenenkarten
  8. 2 Dreiräder
  9. 11 Kaninchen
  10. 20 €
  11. 27 Bonbons
  12. 28 €
  13. etwa 3000 Liter
  14. etwa 108.000-mal
  15. 42 Brote
  16. 5 Packungen
  17. 24,00 €
  18. 5 Packungen
  19. A, 0,47 € je Stück
  20. A, 0,49 € je Liter
  21. B, 0,50 € je Stück
  22. 6 Stücke
  23. 4 Comics
  24. 3 Comics
  25. überflüssig: 11 Jahre; 4,50 €
  26. A
  27. 10 Pfähle
  28. 20 Stühle
  29. 10 Erwachsenenkarten
  30. 23, 24 und 25
  31. überflüssig: 9 Haltestellen; 8:25 Uhr
  32. 14 Bäume
  33. 3 Dreiräder
  34. 32 €
  35. etwa 3600 Liter
  36. 29,00 €
  37. B, 0,34 € je Liter
  38. 2 Comics
  39. 72 Tage
  40. 4,46 €