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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Sachaufgaben und Problemlösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele raten wild herum oder rechnen 56 − 20. Manche geben nach zwei Versuchen auf, andere finden die Lösung zufällig, können aber nicht sagen, wie. Wenn der Weg nicht dasteht, hilft ein Werkzeug: Wir legen eine Tabelle an und probieren mit System, Zeile für Zeile. So kommt jede und jeder ans Ziel und kann den Weg erklären.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Größen rechnet man mit Einheit, und vor dem Rechnen stehen alle Angaben in derselben Einheit.

  1. ●39
    Zu einem Spiel fahren 4200 Menschen mit dem Bus. In einen Bus passen 54 Personen. Wie viele Busse braucht man?
    Lösung zeigen
    1. 4200 geteilt durch 54 ist 77 Rest 42
    2. Der Rest braucht noch einen Bus: 78 Busse
    Ergebnis:
    78 Busse
  2. ●40
    Du kaufst Sachen für 10,52 €, 6,21 € und zahlst mit einem 20-€-Schein. Berechne das Rückgeld.
    Lösung zeigen
    1. Summe: 10,52 + 6,21 = 16,73 €
    2. Rückgeld: 20 − 16,73 = 3,27 €
    Ergebnis:
    3,27 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Situation, dann die Rechnung

Eine Sachaufgabe ist eine Situation und keine Zahlensammlung. Erst klären, was gefragt und was gegeben ist, dann einen Weg wählen: Skizze, Tabelle oder rückwärts. Zum Schluss wird das Ergebnis an der Situation geprüft.

Pfeilkette: Hälfte, dann 4 weg, Rest 8; rückwärts plus 4 und mal 2 ergibt 2424128: 2− 4+ 4· 2Rückwärts: jede Rechnung umkehren

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und was verrät dir diese Frage über das Lösen von Sachaufgaben?

1Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

EntdeckenFrage

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann niemand wissen – die Zahlen haben mit dem Alter nichts zu tun. Trotzdem rechneten in französischen Untersuchungen viele Grundschulkinder 26 + 10 = 36 und schrieben „36 Jahre“. Wer zuerst die Frage liest, fällt darauf nicht herein.

MerkenWichtige und überflüssige Angaben

Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Fehlt eine Angabe, kann man die Frage nicht beantworten.

BeispielÜberflüssige Angaben erkennen

Ein Beet ist 4 m lang und 2 m breit. Darin wachsen 48 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
Schritt für Schritt
  1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
  2. Nicht gebraucht: 48 Tulpen.
  3. Umfang: 2 · 4 m + 2 · 2 m
  4. 2 · 4 m + 2 · 2 m = 12 m
  1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
  2. Nicht gebraucht: 48 Tulpen.
  3. Umfang: 2 · 4 m + 2 · 2 m
  4. 2 · 4 m + 2 · 2 m = 12 m
Ergebnis:
überflüssig: 48 Tulpen; 12 m

AchtungAngaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €
So richtig
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Tom ist 11 Jahre alt und kauft 6 Hefte zu je 2,00 €. Was kosten die Hefte zusammen? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
    So fängst du an:
    Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
    2. Nicht gebraucht: 11 Jahre.
    3. 6 · 2,00 € = 12,00 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 11 Jahre; 12,00 €
  2. ●2
    Sara ist 13 Jahre alt und spart jede Woche 2,00 €. Wie viel hat Sara nach 7 Wochen gespart? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie viel hat Sara nach 7 Wochen gespart?
    2. Nicht gebraucht: 13 Jahre.
    3. 7 · 2,00 € = 14,00 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 13 Jahre; 14,00 €
  3. ★3
    Ein Beet ist 8 m lang und 3 m breit. Darin wachsen 31 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
    2. Nicht gebraucht: 31 Tulpen.
    3. Umfang: 2 · 8 m + 2 · 3 m
    4. 2 · 8 m + 2 · 3 m = 22 m
    Ergebnis:
    überflüssig: 31 Tulpen; 22 m

2Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

In einem Käfig sitzen Fasane und Kaninchen, zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

23 Fasane und 12 Kaninchen: 23 · 2 + 12 · 4 = 46 + 48 = 94. Das Rätsel steht in einem chinesischen Rechenbuch, das rund 1500 Jahre alt ist. Mit einer Tabelle und systematischem Probieren findet man die Lösung, ohne zu raten.

MerkenEine Skizze hilft

Zeichne die Sache einfach und klein.

An der Skizze sieht man, was man zählen muss. Ein Zaun mit Pfählen an beiden Enden hat einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

BeispielMit einer Skizze zählen: Pfähle und Bäume

Ein Zaun ist 32 m lang. Alle 4 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
…4 m32 m?
Schritt für Schritt
  1. Zwischenräume: 32 m : 4 m = 8
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
  3. 8 + 1 = 9
  1. Zwischenräume: 32 m : 4 m = 8
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
  3. 8 + 1 = 9
Ergebnis:
9 Pfähle

AchtungAnfang oder Ende nicht mitgezählt

So nicht
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 → 10 Pfähle
So richtig
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 = 10 Zwischenräume → 11 Pfähle

Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt es: Bei zwei Enden gibt es einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Zaun ist 12 m lang. Alle 3 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
    …3 m12 m?
    So fängst du an:
    Zwischenräume: 12 m : 3 m = 4
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume: 12 m : 3 m = 4
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
    3. 4 + 1 = 5
    Ergebnis:
    5 Pfähle
  2. ●5
    Ein Zaun ist 60 m lang. Alle 5 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
    …5 m60 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume: 60 m : 5 m = 12
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
    3. 12 + 1 = 13
    Ergebnis:
    13 Pfähle
  3. ★6
    Ein Zaun ist 96 m lang. Alle 4 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
    …4 m96 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume: 96 m : 4 m = 24
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
    3. 24 + 1 = 25
    Ergebnis:
    25 Pfähle

3Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein 20 m langer Zaun, wenn alle 2 m einer steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Elf, nicht zehn: 20 : 2 = 10 Zwischenräume, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Dieser Fehler ist so verbreitet, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler. Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt ihn sofort.

MerkenTabelle und Probieren

Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.

Jede Zeile prüft alle Bedingungen. So wird nichts vergessen, und man sieht, in welche Richtung man weitergehen muss.

BeispielKöpfe und Beine: systematisch probieren

Im Hof stehen 12 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 27 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
Dreiräder0123…Räder????
Schritt für Schritt
  1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
  2. Probieren: 1 Dreiräder, 11 Fahrräder: 3 + 22 = 25 Räder
  3. Probieren: 3 Dreiräder, 9 Fahrräder: 9 + 18 = 27 Räder
  4. Passt: 3 Dreiräder und 9 Fahrräder.
  1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
  2. Probieren: 1 Dreiräder, 11 Fahrräder: 3 + 22 = 25 Räder
  3. Probieren: 3 Dreiräder, 9 Fahrräder: 9 + 18 = 27 Räder
  4. Passt: 3 Dreiräder und 9 Fahrräder.
Ergebnis:
3 Dreiräder

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Im Hof stehen 10 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 22 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
    Dreiräder0123…Räder????
    So fängst du an:
    Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
    2. Probieren: 1 Dreiräder, 9 Fahrräder: 3 + 18 = 21 Räder
    3. Probieren: 2 Dreiräder, 8 Fahrräder: 6 + 16 = 22 Räder
    4. Passt: 2 Dreiräder und 8 Fahrräder.
    Ergebnis:
    2 Dreiräder
  2. ●8
    Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 13 Köpfe und 34 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
    2. Probieren: 2 Kaninchen, 11 Hühner: 8 + 22 = 30 Beine
    3. Probieren: 4 Kaninchen, 9 Hühner: 16 + 18 = 34 Beine
    4. Passt: 4 Kaninchen und 9 Hühner.
    Ergebnis:
    4 Kaninchen
  3. ★9
    Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 21 Köpfe und 64 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
    2. Probieren: 9 Kaninchen, 12 Hühner: 36 + 24 = 60 Beine
    3. Probieren: 11 Kaninchen, 10 Hühner: 44 + 20 = 64 Beine
    4. Passt: 11 Kaninchen und 10 Hühner.
    Ergebnis:
    11 Kaninchen

4Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

EntdeckenFrage

Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago – und wie kann man das ohne Nachschlagen schätzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Diese Frage stellte der Physiker Enrico Fermi seinen Studierenden. Mit wenigen Annahmen – Einwohner, Haushalte mit Klavier, wie oft ein Klavier gestimmt wird, wie viele Klaviere ein Stimmer schafft – kommt man auf eine Zahl in der Größenordnung von hundert.

MerkenRückwärtsarbeiten

Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärtsarbeiten mit Anzahlen und Geld

Jonas gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein Spiel aus. Danach kauft Jonas ein Eis für 4 €. Jetzt sind noch 4 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
?: 2− 4 €4 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts vom Ende: 4 €
  2. Das Eis zurückrechnen: 4 € + 4 € = 8 €
  3. Die Hälfte zurückrechnen: 8 € · 2 = 16 €
  1. Rückwärts vom Ende: 4 €
  2. Das Eis zurückrechnen: 4 € + 4 € = 8 €
  3. Die Hälfte zurückrechnen: 8 € · 2 = 16 €
Ergebnis:
16 €

AchtungRückwärts mit derselben Rechenart gerechnet

So nicht
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 − 4 → 4 · 2 → 8 €
So richtig
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 + 4 = 12 → 12 · 2 = 24 €

Rückwärts dreht jede Rechnung um: plus wird minus, mal wird geteilt – und der letzte Schritt kommt zuerst.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Sara spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 9 verloren. Am Ende hat Sara 39 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
    ?· 2− 939
    So fängst du an:
    Rückwärts: Am Ende sind es 39.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: Am Ende sind es 39.
    2. Die verlorenen zurück: 39 + 9 = 48
    3. Das Verdoppeln zurück: 48 : 2 = 24
    Ergebnis:
    24 Murmeln
  2. ●11
    Mia spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 6 verloren. Am Ende hat Mia 32 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
    ?· 2− 632
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: Am Ende sind es 32.
    2. Die verlorenen zurück: 32 + 6 = 38
    3. Das Verdoppeln zurück: 38 : 2 = 19
    Ergebnis:
    19 Murmeln
  3. ★12
    Jonas gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein Buch aus. Danach kauft Jonas ein Eis für 3 €. Jetzt sind noch 9 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 3 €9 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Ende: 9 €
    2. Das Eis zurückrechnen: 9 € + 3 € = 12 €
    3. Die Hälfte zurückrechnen: 12 € · 2 = 24 €
    Ergebnis:
    24 €

5Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

EntdeckenFrage

Ist die große Familienpackung immer billiger als die kleine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Manchmal kostet ein Kilogramm in der Großpackung mehr. Deshalb muss im Laden neben dem Preis auch der Grundpreis stehen, zum Beispiel der Preis für ein Kilogramm oder einen Liter. Nur damit kann man Angebote wirklich vergleichen.

MerkenSchätzen mit Annahmen

Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.

Man rechnet mit runden Zahlen und rundet das Ergebnis, denn genauer sind die Annahmen nicht.

BeispielSchätzen mit Annahmen

Wie oft schlägt dein Herz an einem Tag? Nimm an: etwa 80-mal in der Minute. Runde auf Tausender.
Schritt für Schritt
  1. In einer Stunde: 80 · 60 = 4800
  2. An einem Tag: 4800 · 24 = 115.200
  3. Auf Tausender gerundet: 115.000
  1. In einer Stunde: 80 · 60 = 4800
  2. An einem Tag: 4800 · 24 = 115.200
  3. Auf Tausender gerundet: 115.000
Ergebnis:
etwa 115.000-mal

AchtungErgebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse
So richtig
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie oft schlägt dein Herz an einem Tag? Nimm an: etwa 70-mal in der Minute. Runde auf Tausender.
    So fängst du an:
    In einer Stunde: 70 · 60 = 4200
    Lösung zeigen
    1. In einer Stunde: 70 · 60 = 4200
    2. An einem Tag: 4200 · 24 = 100.800
    3. Auf Tausender gerundet: 101.000
    Ergebnis:
    etwa 101.000-mal
  2. ●14
    Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 520 Kinder, und jedes braucht etwa 6 Hefte. Runde auf Hunderter.
    520 Kinder6 Hefte
    Lösung zeigen
    1. 520 · 6 = 3120
    2. Auf Hunderter gerundet: 3100
    Ergebnis:
    etwa 3100 Hefte
  3. ★15
    Wie viel Wasser verbraucht eine Familie zum Duschen in einem Jahr? Nimm an: 4 Personen duschen jeden Tag, jede Dusche braucht etwa 80 Liter, das Jahr hat 365 Tage. Runde auf Tausender.
    4 Personen80 Liter365 Tage
    Lösung zeigen
    1. An einem Tag: 4 · 80 Liter = 320 Liter
    2. 365 Tage: 320 · 365 = 116.800
    3. Gerundet: 117.000 Liter
    Ergebnis:
    etwa 117.000 Liter

6Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

EntdeckenFrage

Wann musst du losgehen, wenn der Bus um 7:42 Uhr fährt und du 9 Minuten zur Haltestelle brauchst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Um 7:33 Uhr – man rechnet vom Ziel aus rückwärts. Der Mathematiker George Pólya nannte das Rückwärtsarbeiten eine der wichtigsten Strategien: beim Gesuchten anfangen und fragen, was man dafür braucht.

MerkenDer Rechenplan

Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?

Dann Schritt für Schritt rechnen und jedes Zwischenergebnis mit Einheit notieren.

BeispielMit einem Rechenplan in mehreren Schritten

Zu einer Feier kommen 6 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 10,00 €. Was kosten die Pizzen?
Schritt für Schritt
  1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
  2. Stücke: 6 · 2 = 12
  3. Pizzen: 12 : 8, aufgerundet 2
  4. Preis: 2 · 10,00 € = 20,00 €
  1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
  2. Stücke: 6 · 2 = 12
  3. Pizzen: 12 : 8, aufgerundet 2
  4. Preis: 2 · 10,00 € = 20,00 €
Ergebnis:
20,00 €

AchtungKomma beim Mal oder Durch 10, 100, 1000 falsch verschoben

So nicht
3,5 · 10 = 0,35
So richtig
3,5 · 10 = 35

Frag dich: Wird die Zahl größer oder kleiner? Mit mal 10 wird sie größer.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Die Klasse 6c fährt mit 30 Kindern in den Tierpark. Der Bus kostet zusammen 360,00 €. Der Eintritt kostet 8,00 € je Kind, das Mittagessen 5,00 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    30 KinderBus 360,00 €Eintritt 8,00 €Essen 5,00 €
    So fängst du an:
    Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
    2. Bus je Kind: 360,00 € : 30 = 12,00 €
    3. Je Kind: 12,00 € + 8,00 € + 5,00 € = 25,00 €
    Ergebnis:
    25,00 €
  2. ●17
    Die Klasse 6c fährt mit 28 Kindern in den Tierpark. Der Bus kostet zusammen 476,00 €. Der Eintritt kostet 3,00 € je Kind, das Mittagessen 4,00 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    28 KinderBus 476,00 €Eintritt 3,00 €Essen 4,00 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
    2. Bus je Kind: 476,00 € : 28 = 17,00 €
    3. Je Kind: 17,00 € + 3,00 € + 4,00 € = 24,00 €
    Ergebnis:
    24,00 €
  3. ★18
    Zu einer Feier kommen 11 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 10,00 €. Was kosten die Pizzen?
    Lösung zeigen
    1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    2. Stücke: 11 · 2 = 22
    3. Pizzen: 22 : 6, aufgerundet 4
    4. Preis: 4 · 10,00 € = 40,00 €
    Ergebnis:
    40,00 €

7Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

EntdeckenFrage

Ab wie vielen Fahrten im Monat war 2025 in Berlin das Deutschlandticket billiger als Einzelfahrscheine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Deutschlandticket kostete 2025 im Monat 58 €, ein Einzelfahrschein Berlin AB 3,80 €. 15 Fahrten kosten 57 €, 16 Fahrten schon 60,80 €. Ab 16 Fahrten im Monat war das Deutschlandticket also billiger.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

Bei Tarifen rechnet man aus, was jeder für die eigene Nutzung kostet.

BeispielAngebote über den Preis für ein Stück vergleichen

Angebot A: 5 Hefte für 2,05 €. Angebot B: 12 Hefte für 4,56 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
Angebot A5 Hefte2,05 €Angebot B12 Hefte4,56 €
Schritt für Schritt
  1. A: 2,05 € : 5 = 0,41 €
  2. B: 4,56 € : 12 = 0,38 €
  3. 0,38 € ist weniger: B ist günstiger.
  1. A: 2,05 € : 5 = 0,41 €
  2. B: 4,56 € : 12 = 0,38 €
  3. 0,38 € ist weniger: B ist günstiger.
Ergebnis:
B, 0,38 € je Stück

AchtungGesamtpreise statt Preise für ein Stück verglichen

So nicht
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → B kostet weniger, B ist günstiger
So richtig
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → A 0,45 € je Stück < B 0,49 € je Stück

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen: Preis für ein Stück oder einen Liter ausrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Angebot A: 8 Joghurts für 3,84 €. Angebot B: 10 Joghurts für 3,80 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A8 Joghurts3,84 €Angebot B10 Joghurts3,80 €
    So fängst du an:
    A: 3,84 € : 8 = 0,48 €
    Lösung zeigen
    1. A: 3,84 € : 8 = 0,48 €
    2. B: 3,80 € : 10 = 0,38 €
    3. 0,38 € ist weniger: B ist günstiger.
    Ergebnis:
    B, 0,38 € je Stück
  2. ●20
    Angebot A: 10 Joghurts für 4,70 €. Angebot B: 8 Joghurts für 2,00 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A10 Joghurts4,70 €Angebot B8 Joghurts2,00 €
    Lösung zeigen
    1. A: 4,70 € : 10 = 0,47 €
    2. B: 2,00 € : 8 = 0,25 €
    3. 0,25 € ist weniger: B ist günstiger.
    Ergebnis:
    B, 0,25 € je Stück
  3. ★21
    Angebot A: 10 Hefte für 5,80 €. Angebot B: 12 Hefte für 10,44 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A10 Hefte5,80 €Angebot B12 Hefte10,44 €
    Lösung zeigen
    1. A: 5,80 € : 10 = 0,58 €
    2. B: 10,44 € : 12 = 0,87 €
    3. 0,58 € ist weniger: A ist günstiger.
    Ergebnis:
    A, 0,58 € je Stück

8Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

EntdeckenFrage

Warum ging 1999 eine NASA-Sonde am Mars verloren, obwohl die Computer richtig gerechnet hatten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Team lieferte Werte in englischen Einheiten, das andere las sie als metrische Einheiten. Die Werte waren dadurch etwa 4,45-mal zu klein. Die Sonde flog zu tief in die Marsatmosphäre. Niemand hatte geprüft, ob die Ergebnisse zusammenpassen.

MerkenErgebnisse prüfen

Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Ein Überschlag prüft das Komma, und die Einheiten müssen passen.

BeispielIst das Ergebnis sinnvoll?

Eine Latte ist 250 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 40 cm. Aylin rechnet und sagt: „Das gibt 6,25 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?
ein Stück40 cmLatte250 cm
Schritt für Schritt
  1. 250 : 40 ≈ 6,25
  2. Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
  3. Abrunden: 6 Stücke
  1. 250 : 40 ≈ 6,25
  2. Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
  3. Abrunden: 6 Stücke
Ergebnis:
6 Stücke

AchtungNoch einmal: Ergebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse
So richtig
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    168 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 60 Kinder. Paul teilt 168 durch 60 und sagt: „Wir brauchen 2,8 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
    So fängst du an:
    168 : 60 = 2,8
    Lösung zeigen
    1. 168 : 60 = 2,8
    2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
    3. Aufrunden: 3 Busse
    Ergebnis:
    3 Busse
  2. ●23
    232 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 40 Kinder. Lea teilt 232 durch 40 und sagt: „Wir brauchen 5,8 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
    Lösung zeigen
    1. 232 : 40 = 5,8
    2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
    3. Aufrunden: 6 Busse
    Ergebnis:
    6 Busse
  3. ★24
    Eine Latte ist 275 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 45 cm. Emma rechnet und sagt: „Das gibt 6,11 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?
    ein Stück45 cmLatte275 cm
    Lösung zeigen
    1. 275 : 45 ≈ 6,11
    2. Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
    3. Abrunden: 6 Stücke
    Ergebnis:
    6 Stücke

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Paul ist 12 Jahre alt und kauft 5 Hefte zu je 1,20 €. Was kosten die Hefte zusammen? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
    2. Nicht gebraucht: 12 Jahre.
    3. 5 · 1,20 € = 6,00 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 12 Jahre; 6,00 €
  2. ●26
    Ein Zimmer ist 3 m lang. Wie viele Quadratmeter Teppich braucht man für den ganzen Boden? Eine wichtige Angabe fehlt. Wähle sie aus.
    A: welche Farbe der Teppich hat
    B: wie lang das Zimmer ist
    C: wie breit das Zimmer ist
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist die Fläche.
    2. Dafür fehlt: wie breit das Zimmer ist.
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C
  3. ●27
    An beiden Seiten eines 40 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 4 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …4 m40 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 40 m : 4 m = 10
    2. Bäume auf einer Seite: 10 + 1 = 11
    3. Beide Seiten: 2 · 11 = 22
    Ergebnis:
    22 Bäume
  4. ●28
    Für ein Fest werden quadratische Tische, an jeder Seite ein Stuhl, in einer langen Reihe aneinandergestellt. Es kommen 18 Gäste. Wie viele Tische braucht man?
    ?
    Lösung zeigen
    1. Jeder Tisch bringt 2 Plätze, dazu kommen 2 an den Enden.
    2. 18 − 2 = 16
    3. 16 : 2 = 8
    Ergebnis:
    8 Tische
  5. ●29
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 13 Karten und zahlt 72 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    2. Probieren: 2 Erwachsenenkarten, 11 Kinderkarten: 18 + 44 = 62 €
    3. Probieren: 4 Erwachsenenkarten, 9 Kinderkarten: 36 + 36 = 72 €
    4. Passt: 4 Erwachsenenkarten und 9 Kinderkarten.
    Ergebnis:
    4 Erwachsenenkarten
  6. ●30
    Zwei natürliche Zahlen haben die Summe 12 und das Produkt 35. Welche Zahlen sind es?
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Zahlenpaare mit der Summe 12, dazu ihr Produkt.
    2. Probieren: 6 und 6 geben 36.
    3. Probieren: 5 und 7 geben 35.
    Ergebnis:
    5 und 7

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Wichtige und überflüssige Angaben
Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.
Eine Skizze hilft
Zeichne die Sache einfach und klein.
Tabelle und Probieren
Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.
Rückwärtsarbeiten
Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.
Schätzen mit Annahmen
Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.
Der Rechenplan
Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.
Ergebnisse prüfen
Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

    31
    Noah ist 11 Jahre alt und kauft 4 Hefte zu je 1,20 €. Was kosten die Hefte zusammen? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    überflüssig: 11 Jahre; 4,80 €

  2. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    32
    Ein rechteckiger Garten ist 20 m lang und 12 m breit. Rundherum kommt alle 4 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 Pfähle

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

    33
    Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 8 Köpfe und 18 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 Kaninchen

  4. Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

    34
    Emma gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein Spiel aus. Danach kauft Emma ein Eis für 2 €. Jetzt sind noch 4 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 2 €4 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 €

  5. Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

    35
    Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 320 Kinder, und jedes braucht etwa 6 Hefte. Runde auf Hunderter.
    320 Kinder6 Hefte
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 1900 Hefte

  6. Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

    36
    Die Klasse 6c fährt mit 20 Kindern in den Tierpark. Der Bus kostet zusammen 260,00 €. Der Eintritt kostet 6,00 € je Kind, das Mittagessen 4,00 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    20 KinderBus 260,00 €Eintritt 6,00 €Essen 4,00 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    23,00 €

  7. Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

    37
    Angebot A: 8 Joghurts für 6,32 €. Angebot B: 4 Joghurts für 2,60 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A8 Joghurts6,32 €Angebot B4 Joghurts2,60 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B, 0,65 € je Stück

  8. Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

    38
    152 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 40 Kinder. Paul teilt 152 durch 40 und sagt: „Wir brauchen 3,8 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Busse

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Heurismen als Werkzeugkasten: Skizze, Tabelle und Rückwärtsarbeiten, wenn kein Rechenweg dasteht.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Einkaufen, Fahrpläne, Feste planen, Tarife vergleichen. Beruf: Handwerk (Material kalkulieren), Einzelhandel, Veranstaltungsplanung.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Terme und einfache Gleichungen, Zuordnungen und Dreisatz, Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. überflüssig: 11 Jahre; 12,00 €
  2. überflüssig: 13 Jahre; 14,00 €
  3. überflüssig: 31 Tulpen; 22 m
  4. 5 Pfähle
  5. 13 Pfähle
  6. 25 Pfähle
  7. 2 Dreiräder
  8. 4 Kaninchen
  9. 11 Kaninchen
  10. 24 Murmeln
  11. 19 Murmeln
  12. 24 €
  13. etwa 101.000-mal
  14. etwa 3100 Hefte
  15. etwa 117.000 Liter
  16. 25,00 €
  17. 24,00 €
  18. 40,00 €
  19. B, 0,38 € je Stück
  20. B, 0,25 € je Stück
  21. A, 0,58 € je Stück
  22. 3 Busse
  23. 6 Busse
  24. 6 Stücke
  25. überflüssig: 12 Jahre; 6,00 €
  26. C
  27. 22 Bäume
  28. 8 Tische
  29. 4 Erwachsenenkarten
  30. 5 und 7
  31. überflüssig: 11 Jahre; 4,80 €
  32. 16 Pfähle
  33. 1 Kaninchen
  34. 12 €
  35. etwa 1900 Hefte
  36. 23,00 €
  37. B, 0,65 € je Stück
  38. 4 Busse
  39. 78 Busse
  40. 3,27 €