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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Sachaufgaben und Problemlösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele raten wild herum oder rechnen 56 − 20. Manche geben nach zwei Versuchen auf, andere finden die Lösung zufällig, können aber nicht sagen, wie. Wenn der Weg nicht dasteht, hilft ein Werkzeug: Wir legen eine Tabelle an und probieren mit System, Zeile für Zeile. So kommt jede und jeder ans Ziel und kann den Weg erklären.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Größen rechnet man mit Einheit, und vor dem Rechnen stehen alle Angaben in derselben Einheit.

  1. ●39
    Zu einem Spiel fahren 1800 Menschen mit dem Bus. In einen Bus passen 48 Personen. Wie viele Busse braucht man?
    Lösung zeigen
    1. 1800 geteilt durch 48 ist 37 Rest 24
    2. Der Rest braucht noch einen Bus: 38 Busse
    Ergebnis:
    38 Busse
  2. ●40
    Du kaufst Sachen für 6,36 €, 11,43 € und zahlst mit einem 20-€-Schein. Berechne das Rückgeld.
    Lösung zeigen
    1. Summe: 6,36 + 11,43 = 17,79 €
    2. Rückgeld: 20 − 17,79 = 2,21 €
    Ergebnis:
    2,21 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Situation, dann die Rechnung

Eine Sachaufgabe ist eine Situation und keine Zahlensammlung. Erst klären, was gefragt und was gegeben ist, dann einen Weg wählen: Skizze, Tabelle oder rückwärts. Zum Schluss wird das Ergebnis an der Situation geprüft.

Pfeilkette: Hälfte, dann 4 weg, Rest 8; rückwärts plus 4 und mal 2 ergibt 2424128: 2− 4+ 4· 2Rückwärts: jede Rechnung umkehren

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und was verrät dir diese Frage über das Lösen von Sachaufgaben?

1Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

EntdeckenFrage

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann niemand wissen – die Zahlen haben mit dem Alter nichts zu tun. Trotzdem rechneten in französischen Untersuchungen viele Grundschulkinder 26 + 10 = 36 und schrieben „36 Jahre“. Wer zuerst die Frage liest, fällt darauf nicht herein.

MerkenWichtige und überflüssige Angaben

Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Fehlt eine Angabe, kann man die Frage nicht beantworten.

BeispielÜberflüssige Angaben erkennen

Aylin ist 11 Jahre alt und kauft 5 Hefte zu je 2,00 €. Was kosten die Hefte zusammen? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
Schritt für Schritt
  1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
  2. Nicht gebraucht: 11 Jahre.
  3. 5 · 2,00 € = 10,00 €
  1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
  2. Nicht gebraucht: 11 Jahre.
  3. 5 · 2,00 € = 10,00 €
Ergebnis:
überflüssig: 11 Jahre; 10,00 €

AchtungAngaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €
So richtig
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Beet ist 5 m lang und 4 m breit. Darin wachsen 47 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
    So fängst du an:
    Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
    2. Nicht gebraucht: 47 Tulpen.
    3. Umfang: 2 · 5 m + 2 · 4 m
    4. 2 · 5 m + 2 · 4 m = 18 m
    Ergebnis:
    überflüssig: 47 Tulpen; 18 m
  2. ●2
    Ein Beet ist 6 m lang und 4 m breit. Darin wachsen 56 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
    2. Nicht gebraucht: 56 Tulpen.
    3. Umfang: 2 · 6 m + 2 · 4 m
    4. 2 · 6 m + 2 · 4 m = 20 m
    Ergebnis:
    überflüssig: 56 Tulpen; 20 m
  3. ★3
    Ein Beet ist 12 m lang und 6 m breit. Darin wachsen 57 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
    2. Nicht gebraucht: 57 Tulpen.
    3. Umfang: 2 · 12 m + 2 · 6 m
    4. 2 · 12 m + 2 · 6 m = 36 m
    Ergebnis:
    überflüssig: 57 Tulpen; 36 m

2Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

In einem Käfig sitzen Fasane und Kaninchen, zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

23 Fasane und 12 Kaninchen: 23 · 2 + 12 · 4 = 46 + 48 = 94. Das Rätsel steht in einem chinesischen Rechenbuch, das rund 1500 Jahre alt ist. Mit einer Tabelle und systematischem Probieren findet man die Lösung, ohne zu raten.

MerkenEine Skizze hilft

Zeichne die Sache einfach und klein.

An der Skizze sieht man, was man zählen muss. Ein Zaun mit Pfählen an beiden Enden hat einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

BeispielMit einer Skizze zählen: Pfähle und Bäume

An beiden Seiten eines 48 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 4 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
…4 m48 m?
Schritt für Schritt
  1. Zwischenräume auf einer Seite: 48 m : 4 m = 12
  2. Bäume auf einer Seite: 12 + 1 = 13
  3. Beide Seiten: 2 · 13 = 26
  1. Zwischenräume auf einer Seite: 48 m : 4 m = 12
  2. Bäume auf einer Seite: 12 + 1 = 13
  3. Beide Seiten: 2 · 13 = 26
Ergebnis:
26 Bäume

AchtungAnfang oder Ende nicht mitgezählt

So nicht
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 → 10 Pfähle
So richtig
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 = 10 Zwischenräume → 11 Pfähle

Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt es: Bei zwei Enden gibt es einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein rechteckiger Garten ist 32 m lang und 20 m breit. Rundherum kommt alle 4 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
    So fängst du an:
    Umfang: 2 · 32 m + 2 · 20 m = 104 m
    Lösung zeigen
    1. Umfang: 2 · 32 m + 2 · 20 m = 104 m
    2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
    3. 104 m : 4 m = 26
    Ergebnis:
    26 Pfähle
  2. ●5
    An beiden Seiten eines 25 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 5 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …5 m25 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 25 m : 5 m = 5
    2. Bäume auf einer Seite: 5 + 1 = 6
    3. Beide Seiten: 2 · 6 = 12
    Ergebnis:
    12 Bäume
  3. ★6
    Ein rechteckiger Garten ist 25 m lang und 15 m breit. Rundherum kommt alle 5 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    1. Umfang: 2 · 25 m + 2 · 15 m = 80 m
    2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
    3. 80 m : 5 m = 16
    Ergebnis:
    16 Pfähle

3Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein 20 m langer Zaun, wenn alle 2 m einer steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Elf, nicht zehn: 20 : 2 = 10 Zwischenräume, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Dieser Fehler ist so verbreitet, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler. Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt ihn sofort.

MerkenTabelle und Probieren

Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.

Jede Zeile prüft alle Bedingungen. So wird nichts vergessen, und man sieht, in welche Richtung man weitergehen muss.

BeispielKöpfe und Beine: systematisch probieren

Im Hof stehen 12 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 31 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
Dreiräder0123…Räder????
Schritt für Schritt
  1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
  2. Probieren: 5 Dreiräder, 7 Fahrräder: 15 + 14 = 29 Räder
  3. Probieren: 7 Dreiräder, 5 Fahrräder: 21 + 10 = 31 Räder
  4. Passt: 7 Dreiräder und 5 Fahrräder.
  1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
  2. Probieren: 5 Dreiräder, 7 Fahrräder: 15 + 14 = 29 Räder
  3. Probieren: 7 Dreiräder, 5 Fahrräder: 21 + 10 = 31 Räder
  4. Passt: 7 Dreiräder und 5 Fahrräder.
Ergebnis:
7 Dreiräder

AchtungNoch einmal: Angaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €
So richtig
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 10 Karten und zahlt 70 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    So fängst du an:
    Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    2. Probieren: 4 Erwachsenenkarten, 6 Kinderkarten: 36 + 24 = 60 €
    3. Probieren: 6 Erwachsenenkarten, 4 Kinderkarten: 54 + 16 = 70 €
    4. Passt: 6 Erwachsenenkarten und 4 Kinderkarten.
    Ergebnis:
    6 Erwachsenenkarten
  2. ●8
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 10 Karten und zahlt 65 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    2. Probieren: 3 Erwachsenenkarten, 7 Kinderkarten: 27 + 28 = 55 €
    3. Probieren: 5 Erwachsenenkarten, 5 Kinderkarten: 45 + 20 = 65 €
    4. Passt: 5 Erwachsenenkarten und 5 Kinderkarten.
    Ergebnis:
    5 Erwachsenenkarten
  3. ★9
    Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 19 Köpfe und 40 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
    2. Probieren: 1 Kaninchen, 18 Hühner: 4 + 36 = 40 Beine
    3. Passt: 1 Kaninchen und 18 Hühner.
    Ergebnis:
    1 Kaninchen

4Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

EntdeckenFrage

Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago – und wie kann man das ohne Nachschlagen schätzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Diese Frage stellte der Physiker Enrico Fermi seinen Studierenden. Mit wenigen Annahmen – Einwohner, Haushalte mit Klavier, wie oft ein Klavier gestimmt wird, wie viele Klaviere ein Stimmer schafft – kommt man auf eine Zahl in der Größenordnung von hundert.

MerkenRückwärtsarbeiten

Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärtsarbeiten mit Anzahlen und Geld

Ben hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 6 Stück. Vom Rest behält Ben die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Ben behält 9 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts: Ben behält 9 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
  2. Rest: 9 · 2 = 18
  3. Vor dem Bruder: 18 + 6 = 24
  1. Rückwärts: Ben behält 9 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
  2. Rest: 9 · 2 = 18
  3. Vor dem Bruder: 18 + 6 = 24
Ergebnis:
24 Bonbons

AchtungRückwärts mit derselben Rechenart gerechnet

So nicht
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 − 4 → 4 · 2 → 8 €
So richtig
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 + 4 = 12 → 12 · 2 = 24 €

Rückwärts dreht jede Rechnung um: plus wird minus, mal wird geteilt – und der letzte Schritt kommt zuerst.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Lea spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 6 verloren. Am Ende hat Lea 50 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
    ?· 2− 650
    So fängst du an:
    Rückwärts: Am Ende sind es 50.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: Am Ende sind es 50.
    2. Die verlorenen zurück: 50 + 6 = 56
    3. Das Verdoppeln zurück: 56 : 2 = 28
    Ergebnis:
    28 Murmeln
  2. ●11
    Can gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein Spiel aus. Danach kauft Can ein Eis für 5 €. Jetzt sind noch 5 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 5 €5 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Ende: 5 €
    2. Das Eis zurückrechnen: 5 € + 5 € = 10 €
    3. Die Hälfte zurückrechnen: 10 € · 2 = 20 €
    Ergebnis:
    20 €
  3. ★12
    Noah hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 6 Stück. Vom Rest behält Noah ein Drittel, den anderen Teil bekommen Freunde. Noah behält 4 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: Noah behält 4 Stück, das ist ein Drittel vom Rest.
    2. Rest: 4 · 3 = 12
    3. Vor dem Bruder: 12 + 6 = 18
    Ergebnis:
    18 Bonbons

5Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

EntdeckenFrage

Ist die große Familienpackung immer billiger als die kleine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Manchmal kostet ein Kilogramm in der Großpackung mehr. Deshalb muss im Laden neben dem Preis auch der Grundpreis stehen, zum Beispiel der Preis für ein Kilogramm oder einen Liter. Nur damit kann man Angebote wirklich vergleichen.

MerkenSchätzen mit Annahmen

Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.

Man rechnet mit runden Zahlen und rundet das Ergebnis, denn genauer sind die Annahmen nicht.

BeispielSchätzen mit Annahmen

Wie oft schlägt dein Herz an einem Tag? Nimm an: etwa 75-mal in der Minute. Runde auf Tausender.
Schritt für Schritt
  1. In einer Stunde: 75 · 60 = 4500
  2. An einem Tag: 4500 · 24 = 108.000
  3. Auf Tausender gerundet: 108.000
  1. In einer Stunde: 75 · 60 = 4500
  2. An einem Tag: 4500 · 24 = 108.000
  3. Auf Tausender gerundet: 108.000
Ergebnis:
etwa 108.000-mal

AchtungErgebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse
So richtig
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 480 Kinder, und jedes braucht etwa 8 Hefte. Runde auf Hunderter.
    480 Kinder8 Hefte
    So fängst du an:
    480 · 8 = 3840
    Lösung zeigen
    1. 480 · 8 = 3840
    2. Auf Hunderter gerundet: 3800
    Ergebnis:
    etwa 3800 Hefte
  2. ●14
    Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 460 Kinder, und jedes braucht etwa 8 Hefte. Runde auf Hunderter.
    460 Kinder8 Hefte
    Lösung zeigen
    1. 460 · 8 = 3680
    2. Auf Hunderter gerundet: 3700
    Ergebnis:
    etwa 3700 Hefte
  3. ★15
    Wie oft schlägt dein Herz an einem Tag? Nimm an: etwa 90-mal in der Minute. Runde auf Tausender.
    Lösung zeigen
    1. In einer Stunde: 90 · 60 = 5400
    2. An einem Tag: 5400 · 24 = 129.600
    3. Auf Tausender gerundet: 130.000
    Ergebnis:
    etwa 130.000-mal

6Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

EntdeckenFrage

Wann musst du losgehen, wenn der Bus um 7:42 Uhr fährt und du 9 Minuten zur Haltestelle brauchst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Um 7:33 Uhr – man rechnet vom Ziel aus rückwärts. Der Mathematiker George Pólya nannte das Rückwärtsarbeiten eine der wichtigsten Strategien: beim Gesuchten anfangen und fragen, was man dafür braucht.

MerkenDer Rechenplan

Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?

Dann Schritt für Schritt rechnen und jedes Zwischenergebnis mit Einheit notieren.

BeispielMit einem Rechenplan in mehreren Schritten

Zu einer Feier kommen 10 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 8,00 €. Was kosten die Pizzen?
Schritt für Schritt
  1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
  2. Stücke: 10 · 2 = 20
  3. Pizzen: 20 : 6, aufgerundet 4
  4. Preis: 4 · 8,00 € = 32,00 €
  1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
  2. Stücke: 10 · 2 = 20
  3. Pizzen: 20 : 6, aufgerundet 4
  4. Preis: 4 · 8,00 € = 32,00 €
Ergebnis:
32,00 €

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 7 m lang und 7 m breit. Für 1 m² braucht man 40 g Samen. Eine Packung enthält 500 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
    7 m7 m
    So fängst du an:
    Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
    2. Fläche: 7 m · 7 m = 49 m²
    3. Samen: 49 · 40 g = 1960 g
    4. Packungen: 1960 g : 500 g, aufgerundet 4
    Ergebnis:
    4 Packungen
  2. ●17
    Die Klasse 6c fährt mit 25 Kindern in den Tierpark. Der Bus kostet zusammen 275,00 €. Der Eintritt kostet 4,00 € je Kind, das Mittagessen 2,00 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    25 KinderBus 275,00 €Eintritt 4,00 €Essen 2,00 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
    2. Bus je Kind: 275,00 € : 25 = 11,00 €
    3. Je Kind: 11,00 € + 4,00 € + 2,00 € = 17,00 €
    Ergebnis:
    17,00 €
  3. ★18
    Zu einer Feier kommen 6 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 9,50 €. Was kosten die Pizzen?
    Lösung zeigen
    1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    2. Stücke: 6 · 2 = 12
    3. Pizzen: 12 : 6 = 2
    4. Preis: 2 · 9,50 € = 19,00 €
    Ergebnis:
    19,00 €

7Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

EntdeckenFrage

Ab wie vielen Fahrten im Monat war 2025 in Berlin das Deutschlandticket billiger als Einzelfahrscheine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Deutschlandticket kostete 2025 im Monat 58 €, ein Einzelfahrschein Berlin AB 3,80 €. 15 Fahrten kosten 57 €, 16 Fahrten schon 60,80 €. Ab 16 Fahrten im Monat war das Deutschlandticket also billiger.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

Bei Tarifen rechnet man aus, was jeder für die eigene Nutzung kostet.

BeispielAngebote über den Preis für ein Stück vergleichen

Angebot A: 3 Liter Saft für 2,31 €. Angebot B: 2 Liter Saft für 1,38 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
Schritt für Schritt
  1. A: 2,31 € : 3 = 0,77 €
  2. B: 1,38 € : 2 = 0,69 €
  3. 0,69 € ist weniger: B ist günstiger.
  1. A: 2,31 € : 3 = 0,77 €
  2. B: 1,38 € : 2 = 0,69 €
  3. 0,69 € ist weniger: B ist günstiger.
Ergebnis:
B, 0,69 € je Liter

AchtungGesamtpreise statt Preise für ein Stück verglichen

So nicht
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → B kostet weniger, B ist günstiger
So richtig
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → A 0,45 € je Stück < B 0,49 € je Stück

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen: Preis für ein Stück oder einen Liter ausrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Angebot A: 10 Hefte für 4,20 €. Angebot B: 5 Hefte für 1,70 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A10 Hefte4,20 €Angebot B5 Hefte1,70 €
    So fängst du an:
    A: 4,20 € : 10 = 0,42 €
    Lösung zeigen
    1. A: 4,20 € : 10 = 0,42 €
    2. B: 1,70 € : 5 = 0,34 €
    3. 0,34 € ist weniger: B ist günstiger.
    Ergebnis:
    B, 0,34 € je Stück
  2. ●20
    Angebot A: 3 Liter Saft für 0,93 €. Angebot B: 1 Liter Saft für 0,44 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
    Lösung zeigen
    1. A: 0,93 € : 3 = 0,31 €
    2. B: 0,44 € : 1 = 0,44 €
    3. 0,31 € ist weniger: A ist günstiger.
    Ergebnis:
    A, 0,31 € je Liter
  3. ★21
    Angebot A: 2 Liter Saft für 0,70 €. Angebot B: 1,5 Liter Saft für 0,90 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
    Lösung zeigen
    1. A: 0,70 € : 2 = 0,35 €
    2. B: 0,90 € : 1,5 = 0,60 €
    3. 0,35 € ist weniger: A ist günstiger.
    Ergebnis:
    A, 0,35 € je Liter

8Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

EntdeckenFrage

Warum ging 1999 eine NASA-Sonde am Mars verloren, obwohl die Computer richtig gerechnet hatten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Team lieferte Werte in englischen Einheiten, das andere las sie als metrische Einheiten. Die Werte waren dadurch etwa 4,45-mal zu klein. Die Sonde flog zu tief in die Marsatmosphäre. Niemand hatte geprüft, ob die Ergebnisse zusammenpassen.

MerkenErgebnisse prüfen

Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Ein Überschlag prüft das Komma, und die Einheiten müssen passen.

BeispielIst das Ergebnis sinnvoll?

Eine Latte ist 200 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 45 cm. Paul rechnet und sagt: „Das gibt 4,44 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?
ein Stück45 cmLatte200 cm
Schritt für Schritt
  1. 200 : 45 ≈ 4,44
  2. Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
  3. Abrunden: 4 Stücke
  1. 200 : 45 ≈ 4,44
  2. Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
  3. Abrunden: 4 Stücke
Ergebnis:
4 Stücke

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lena hat 20 €. Ein Comic kostet 3,50 €. Lena rechnet 20 : 3,5 und sagt: „Ich kann 5,71 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Lena wirklich kaufen?
    So fängst du an:
    20 : 3,5 ≈ 5,71
    Lösung zeigen
    1. 20 : 3,5 ≈ 5,71
    2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
    3. Abrunden: 5 Comics
    Ergebnis:
    5 Comics
  2. ●23
    Tom hat 10 €. Ein Comic kostet 1,50 €. Tom rechnet 10 : 1,5 und sagt: „Ich kann 6,67 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Tom wirklich kaufen?
    Lösung zeigen
    1. 10 : 1,5 ≈ 6,67
    2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
    3. Abrunden: 6 Comics
    Ergebnis:
    6 Comics
  3. ★24
    Eine Latte ist 320 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 35 cm. Mia rechnet und sagt: „Das gibt 9,14 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?
    ein Stück35 cmLatte320 cm
    Lösung zeigen
    1. 320 : 35 ≈ 9,14
    2. Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
    3. Abrunden: 9 Stücke
    Ergebnis:
    9 Stücke

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Can ist 12 Jahre alt und kauft 4 Hefte zu je 0,50 €. Was kosten die Hefte zusammen? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
    2. Nicht gebraucht: 12 Jahre.
    3. 4 · 0,50 € = 2,00 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 12 Jahre; 2,00 €
  2. ●26
    Die Klasse 6a sammelt für einen Ausflug. Jedes Kind gibt 5 €. Wie viel Geld kommt zusammen? Was musst du noch wissen, um die Frage zu beantworten?
    A: wohin der Ausflug geht
    B: wie viele Kinder in der Klasse sind
    C: wie viel jedes Kind gibt
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist das gesammelte Geld.
    2. Dafür fehlt: wie viele Kinder in der Klasse sind.
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B
  3. ●27
    Ein rechteckiger Garten ist 18 m lang und 12 m breit. Rundherum kommt alle 3 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    1. Umfang: 2 · 18 m + 2 · 12 m = 60 m
    2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
    3. 60 m : 3 m = 20
    Ergebnis:
    20 Pfähle
  4. ●28
    Im Klassenraum werden 9 quadratische Tische (an jeder Seite ein Stuhl) zu einer langen Reihe zusammengeschoben. Wie viele Kinder finden Platz?
    ?
    Lösung zeigen
    1. Zeichnung: An den Stoßstellen fallen die Stühle weg.
    2. Jeder Tisch: 2 Plätze oben und unten, dazu 2 an den Enden.
    3. 2 · 9 + 2 = 20
    Ergebnis:
    20 Kinder
  5. ●29
    Im Hof stehen 9 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 19 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
    Dreiräder0123…Räder????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
    2. Probieren: 1 Dreiräder, 8 Fahrräder: 3 + 16 = 19 Räder
    3. Passt: 1 Dreiräder und 8 Fahrräder.
    Ergebnis:
    1 Dreiräder
  6. ●30
    Lea und Emma haben zusammen 27 €. Lea hat 9 € mehr als Emma. Wie viel Geld hat jeder?
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Betrag von Emma, Betrag von Lea, zusammen.
    2. Probieren: Emma 8 €, Lea 17 €, zusammen 25 €
    3. Probieren: Emma 9 €, Lea 18 €, zusammen 27 €
    Ergebnis:
    Lea 18 €, Emma 9 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Wichtige und überflüssige Angaben
Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.
Eine Skizze hilft
Zeichne die Sache einfach und klein.
Tabelle und Probieren
Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.
Rückwärtsarbeiten
Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.
Schätzen mit Annahmen
Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.
Der Rechenplan
Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.
Ergebnisse prüfen
Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

    31
    Ein Aquarium ist 60 cm lang, 30 cm breit und 30 cm hoch. Darin schwimmen 11 Fische. Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    überflüssig: 11 Fische; 54 Liter

  2. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    32
    An beiden Seiten eines 20 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 4 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …4 m20 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Bäume

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

    33
    Im Hof stehen 14 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 30 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
    Dreiräder0123…Räder????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Dreiräder

  4. Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

    34
    Noah hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 3 Stück. Vom Rest behält Noah die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Noah behält 11 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 Bonbons

  5. Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

    35
    Wie oft schlägt dein Herz an einem Tag? Nimm an: etwa 70-mal in der Minute. Runde auf Tausender.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 101.000-mal

  6. Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

    36
    Zu einer Feier kommen 8 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 8,00 €. Was kosten die Pizzen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16,00 €

  7. Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

    37
    Angebot A: 2 Liter Saft für 1,20 €. Angebot B: 1 Liter Saft für 0,28 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B, 0,28 € je Liter

  8. Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

    38
    Paul hat 15 €. Ein Comic kostet 3,50 €. Paul rechnet 15 : 3,5 und sagt: „Ich kann 4,29 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Paul wirklich kaufen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Comics

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Heurismen als Werkzeugkasten: Skizze, Tabelle und Rückwärtsarbeiten, wenn kein Rechenweg dasteht.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Einkaufen, Fahrpläne, Feste planen, Tarife vergleichen. Beruf: Handwerk (Material kalkulieren), Einzelhandel, Veranstaltungsplanung.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Terme und einfache Gleichungen, Zuordnungen und Dreisatz, Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. überflüssig: 47 Tulpen; 18 m
  2. überflüssig: 56 Tulpen; 20 m
  3. überflüssig: 57 Tulpen; 36 m
  4. 26 Pfähle
  5. 12 Bäume
  6. 16 Pfähle
  7. 6 Erwachsenenkarten
  8. 5 Erwachsenenkarten
  9. 1 Kaninchen
  10. 28 Murmeln
  11. 20 €
  12. 18 Bonbons
  13. etwa 3800 Hefte
  14. etwa 3700 Hefte
  15. etwa 130.000-mal
  16. 4 Packungen
  17. 17,00 €
  18. 19,00 €
  19. B, 0,34 € je Stück
  20. A, 0,31 € je Liter
  21. A, 0,35 € je Liter
  22. 5 Comics
  23. 6 Comics
  24. 9 Stücke
  25. überflüssig: 12 Jahre; 2,00 €
  26. B
  27. 20 Pfähle
  28. 20 Kinder
  29. 1 Dreiräder
  30. Lea 18 €, Emma 9 €
  31. überflüssig: 11 Fische; 54 Liter
  32. 12 Bäume
  33. 2 Dreiräder
  34. 25 Bonbons
  35. etwa 101.000-mal
  36. 16,00 €
  37. B, 0,28 € je Liter
  38. 4 Comics
  39. 38 Busse
  40. 2,21 €