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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Sachaufgaben und Problemlösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele raten wild herum oder rechnen 56 − 20. Manche geben nach zwei Versuchen auf, andere finden die Lösung zufällig, können aber nicht sagen, wie. Wenn der Weg nicht dasteht, hilft ein Werkzeug: Wir legen eine Tabelle an und probieren mit System, Zeile für Zeile. So kommt jede und jeder ans Ziel und kann den Weg erklären.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Größen rechnet man mit Einheit, und vor dem Rechnen stehen alle Angaben in derselben Einheit.

  1. ●39
    Ein Datenpaket fürs Handy hat 18.000 MB. Jeden Tag verbrauchst du 250 MB. Wie viele Tage reicht das Paket?
    Lösung zeigen
    1. 18.000 geteilt durch 250
    2. Das Paket reicht 72 Tage
    Ergebnis:
    72 Tage
  2. ●40
    Du kaufst Sachen für 6,37 €, 10,84 € und zahlst mit einem 20-€-Schein. Berechne das Rückgeld.
    Lösung zeigen
    1. Summe: 6,37 + 10,84 = 17,21 €
    2. Rückgeld: 20 − 17,21 = 2,79 €
    Ergebnis:
    2,79 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Situation, dann die Rechnung

Eine Sachaufgabe ist eine Situation und keine Zahlensammlung. Erst klären, was gefragt und was gegeben ist, dann einen Weg wählen: Skizze, Tabelle oder rückwärts. Zum Schluss wird das Ergebnis an der Situation geprüft.

Pfeilkette: Hälfte, dann 4 weg, Rest 8; rückwärts plus 4 und mal 2 ergibt 2424128: 2− 4+ 4· 2Rückwärts: jede Rechnung umkehren

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und was verrät dir diese Frage über das Lösen von Sachaufgaben?

1Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

EntdeckenFrage

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann niemand wissen – die Zahlen haben mit dem Alter nichts zu tun. Trotzdem rechneten in französischen Untersuchungen viele Grundschulkinder 26 + 10 = 36 und schrieben „36 Jahre“. Wer zuerst die Frage liest, fällt darauf nicht herein.

MerkenWichtige und überflüssige Angaben

Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Fehlt eine Angabe, kann man die Frage nicht beantworten.

BeispielÜberflüssige Angaben erkennen

Ein Aquarium ist 50 cm lang, 30 cm breit und 30 cm hoch. Darin schwimmen 12 Fische. Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
Schritt für Schritt
  1. Gefragt ist: Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein?
  2. Nicht gebraucht: 12 Fische.
  3. 50 cm · 30 cm · 30 cm = 45.000 cm³
  4. 1000 cm³ sind 1 Liter: 45.000 cm³ = 45 Liter
  1. Gefragt ist: Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein?
  2. Nicht gebraucht: 12 Fische.
  3. 50 cm · 30 cm · 30 cm = 45.000 cm³
  4. 1000 cm³ sind 1 Liter: 45.000 cm³ = 45 Liter
Ergebnis:
überflüssig: 12 Fische; 45 Liter

AchtungAngaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €
So richtig
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Bus fährt um 7:45 Uhr los. Er braucht 50 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 12 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    So fängst du an:
    Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
    2. Nicht gebraucht: 12 Haltestellen.
    3. 7:45 Uhr und 50 min
    4. Ankunft: 8:35 Uhr
    Ergebnis:
    überflüssig: 12 Haltestellen; 8:35 Uhr
  2. ●2
    Ein Beet ist 7 m lang und 6 m breit. Darin wachsen 58 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
    2. Nicht gebraucht: 58 Tulpen.
    3. Umfang: 2 · 7 m + 2 · 6 m
    4. 2 · 7 m + 2 · 6 m = 26 m
    Ergebnis:
    überflüssig: 58 Tulpen; 26 m
  3. ★3
    Tom ist 12 Jahre alt und kauft 5 Hefte zu je 0,85 €. Was kosten die Hefte zusammen? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
    2. Nicht gebraucht: 12 Jahre.
    3. 5 · 0,85 € = 4,25 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 12 Jahre; 4,25 €

2Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

In einem Käfig sitzen Fasane und Kaninchen, zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

23 Fasane und 12 Kaninchen: 23 · 2 + 12 · 4 = 46 + 48 = 94. Das Rätsel steht in einem chinesischen Rechenbuch, das rund 1500 Jahre alt ist. Mit einer Tabelle und systematischem Probieren findet man die Lösung, ohne zu raten.

MerkenEine Skizze hilft

Zeichne die Sache einfach und klein.

An der Skizze sieht man, was man zählen muss. Ein Zaun mit Pfählen an beiden Enden hat einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

BeispielMit einer Skizze zählen: Pfähle und Bäume

Ein rechteckiger Garten ist 24 m lang und 20 m breit. Rundherum kommt alle 4 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
Schritt für Schritt
  1. Umfang: 2 · 24 m + 2 · 20 m = 88 m
  2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
  3. 88 m : 4 m = 22
  1. Umfang: 2 · 24 m + 2 · 20 m = 88 m
  2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
  3. 88 m : 4 m = 22
Ergebnis:
22 Pfähle

AchtungAnfang oder Ende nicht mitgezählt

So nicht
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 → 10 Pfähle
So richtig
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 = 10 Zwischenräume → 11 Pfähle

Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt es: Bei zwei Enden gibt es einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    An beiden Seiten eines 24 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 2 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …2 m24 m?
    So fängst du an:
    Zwischenräume auf einer Seite: 24 m : 2 m = 12
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 24 m : 2 m = 12
    2. Bäume auf einer Seite: 12 + 1 = 13
    3. Beide Seiten: 2 · 13 = 26
    Ergebnis:
    26 Bäume
  2. ●5
    An beiden Seiten eines 20 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 2 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …2 m20 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 20 m : 2 m = 10
    2. Bäume auf einer Seite: 10 + 1 = 11
    3. Beide Seiten: 2 · 11 = 22
    Ergebnis:
    22 Bäume
  3. ★6
    An beiden Seiten eines 45 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 2,5 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …2,5 m45 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 45 m : 2,5 m = 18
    2. Bäume auf einer Seite: 18 + 1 = 19
    3. Beide Seiten: 2 · 19 = 38
    Ergebnis:
    38 Bäume

3Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein 20 m langer Zaun, wenn alle 2 m einer steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Elf, nicht zehn: 20 : 2 = 10 Zwischenräume, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Dieser Fehler ist so verbreitet, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler. Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt ihn sofort.

MerkenTabelle und Probieren

Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.

Jede Zeile prüft alle Bedingungen. So wird nichts vergessen, und man sieht, in welche Richtung man weitergehen muss.

BeispielKöpfe und Beine: systematisch probieren

Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 6 Karten und zahlt 39 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
Erwachsene0123…Preis????
Schritt für Schritt
  1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
  2. Probieren: 1 Erwachsenenkarten, 5 Kinderkarten: 9 + 20 = 29 €
  3. Probieren: 3 Erwachsenenkarten, 3 Kinderkarten: 27 + 12 = 39 €
  4. Passt: 3 Erwachsenenkarten und 3 Kinderkarten.
  1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
  2. Probieren: 1 Erwachsenenkarten, 5 Kinderkarten: 9 + 20 = 29 €
  3. Probieren: 3 Erwachsenenkarten, 3 Kinderkarten: 27 + 12 = 39 €
  4. Passt: 3 Erwachsenenkarten und 3 Kinderkarten.
Ergebnis:
3 Erwachsenenkarten

AchtungNoch einmal: Angaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €
So richtig
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Im Hof stehen 10 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 27 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
    Dreiräder0123…Räder????
    So fängst du an:
    Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
    2. Probieren: 5 Dreiräder, 5 Fahrräder: 15 + 10 = 25 Räder
    3. Probieren: 7 Dreiräder, 3 Fahrräder: 21 + 6 = 27 Räder
    4. Passt: 7 Dreiräder und 3 Fahrräder.
    Ergebnis:
    7 Dreiräder
  2. ●8
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 11 Karten und zahlt 79 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    2. Probieren: 5 Erwachsenenkarten, 6 Kinderkarten: 45 + 24 = 69 €
    3. Probieren: 7 Erwachsenenkarten, 4 Kinderkarten: 63 + 16 = 79 €
    4. Passt: 7 Erwachsenenkarten und 4 Kinderkarten.
    Ergebnis:
    7 Erwachsenenkarten
  3. ★9
    Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 27 Köpfe und 90 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
    2. Probieren: 13 Kaninchen, 14 Hühner: 52 + 28 = 80 Beine
    3. Probieren: 18 Kaninchen, 9 Hühner: 72 + 18 = 90 Beine
    4. Passt: 18 Kaninchen und 9 Hühner.
    Ergebnis:
    18 Kaninchen

4Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

EntdeckenFrage

Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago – und wie kann man das ohne Nachschlagen schätzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Diese Frage stellte der Physiker Enrico Fermi seinen Studierenden. Mit wenigen Annahmen – Einwohner, Haushalte mit Klavier, wie oft ein Klavier gestimmt wird, wie viele Klaviere ein Stimmer schafft – kommt man auf eine Zahl in der Größenordnung von hundert.

MerkenRückwärtsarbeiten

Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärtsarbeiten mit Anzahlen und Geld

Lena spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 6 verloren. Am Ende hat Lena 36 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
?· 2− 636
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts: Am Ende sind es 36.
  2. Die verlorenen zurück: 36 + 6 = 42
  3. Das Verdoppeln zurück: 42 : 2 = 21
  1. Rückwärts: Am Ende sind es 36.
  2. Die verlorenen zurück: 36 + 6 = 42
  3. Das Verdoppeln zurück: 42 : 2 = 21
Ergebnis:
21 Murmeln

AchtungRückwärts mit derselben Rechenart gerechnet

So nicht
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 − 4 → 4 · 2 → 8 €
So richtig
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 + 4 = 12 → 12 · 2 = 24 €

Rückwärts dreht jede Rechnung um: plus wird minus, mal wird geteilt – und der letzte Schritt kommt zuerst.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Mia spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 9 verloren. Am Ende hat Mia 31 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
    ?· 2− 931
    So fängst du an:
    Rückwärts: Am Ende sind es 31.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: Am Ende sind es 31.
    2. Die verlorenen zurück: 31 + 9 = 40
    3. Das Verdoppeln zurück: 40 : 2 = 20
    Ergebnis:
    20 Murmeln
  2. ●11
    Ben spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 5 verloren. Am Ende hat Ben 35 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
    ?· 2− 535
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: Am Ende sind es 35.
    2. Die verlorenen zurück: 35 + 5 = 40
    3. Das Verdoppeln zurück: 40 : 2 = 20
    Ergebnis:
    20 Murmeln
  3. ★12
    Jonas spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 6 verloren. Am Ende hat Jonas 86 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
    ?· 2− 686
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: Am Ende sind es 86.
    2. Die verlorenen zurück: 86 + 6 = 92
    3. Das Verdoppeln zurück: 92 : 2 = 46
    Ergebnis:
    46 Murmeln

5Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

EntdeckenFrage

Ist die große Familienpackung immer billiger als die kleine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Manchmal kostet ein Kilogramm in der Großpackung mehr. Deshalb muss im Laden neben dem Preis auch der Grundpreis stehen, zum Beispiel der Preis für ein Kilogramm oder einen Liter. Nur damit kann man Angebote wirklich vergleichen.

MerkenSchätzen mit Annahmen

Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.

Man rechnet mit runden Zahlen und rundet das Ergebnis, denn genauer sind die Annahmen nicht.

BeispielSchätzen mit Annahmen

Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 740 Kinder, und jedes braucht etwa 5 Hefte. Runde auf Hunderter.
740 Kinder5 Hefte
Schritt für Schritt
  1. 740 · 5 = 3700
  2. Auf Hunderter gerundet: 3700
  1. 740 · 5 = 3700
  2. Auf Hunderter gerundet: 3700
Ergebnis:
etwa 3700 Hefte

AchtungErgebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse
So richtig
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 580 Kinder, und jedes braucht etwa 6 Hefte. Runde auf Hunderter.
    580 Kinder6 Hefte
    So fängst du an:
    580 · 6 = 3480
    Lösung zeigen
    1. 580 · 6 = 3480
    2. Auf Hunderter gerundet: 3500
    Ergebnis:
    etwa 3500 Hefte
  2. ●14
    Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 680 Kinder, und jedes braucht etwa 9 Hefte. Runde auf Hunderter.
    680 Kinder9 Hefte
    Lösung zeigen
    1. 680 · 9 = 6120
    2. Auf Hunderter gerundet: 6100
    Ergebnis:
    etwa 6100 Hefte
  3. ★15
    Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 600 Kinder, und jedes braucht etwa 6 Hefte. Runde auf Hunderter.
    600 Kinder6 Hefte
    Lösung zeigen
    1. 600 · 6 = 3600
    2. Auf Hunderter gerundet: 3600
    Ergebnis:
    etwa 3600 Hefte

6Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

EntdeckenFrage

Wann musst du losgehen, wenn der Bus um 7:42 Uhr fährt und du 9 Minuten zur Haltestelle brauchst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Um 7:33 Uhr – man rechnet vom Ziel aus rückwärts. Der Mathematiker George Pólya nannte das Rückwärtsarbeiten eine der wichtigsten Strategien: beim Gesuchten anfangen und fragen, was man dafür braucht.

MerkenDer Rechenplan

Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?

Dann Schritt für Schritt rechnen und jedes Zwischenergebnis mit Einheit notieren.

BeispielMit einem Rechenplan in mehreren Schritten

Die Klasse 6c fährt mit 24 Kindern in den Tierpark. Der Bus kostet zusammen 432,00 €. Der Eintritt kostet 7,00 € je Kind, das Mittagessen 3,00 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
24 KinderBus 432,00 €Eintritt 7,00 €Essen 3,00 €
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
  2. Bus je Kind: 432,00 € : 24 = 18,00 €
  3. Je Kind: 18,00 € + 7,00 € + 3,00 € = 28,00 €
  1. Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
  2. Bus je Kind: 432,00 € : 24 = 18,00 €
  3. Je Kind: 18,00 € + 7,00 € + 3,00 € = 28,00 €
Ergebnis:
28,00 €

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 8 m lang und 7 m breit. Für 1 m² braucht man 40 g Samen. Eine Packung enthält 250 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
    8 m7 m
    So fängst du an:
    Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
    2. Fläche: 8 m · 7 m = 56 m²
    3. Samen: 56 · 40 g = 2240 g
    4. Packungen: 2240 g : 250 g, aufgerundet 9
    Ergebnis:
    9 Packungen
  2. ●17
    Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 10 m lang und 3 m breit. Für 1 m² braucht man 30 g Samen. Eine Packung enthält 500 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
    10 m3 m
    Lösung zeigen
    1. Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
    2. Fläche: 10 m · 3 m = 30 m²
    3. Samen: 30 · 30 g = 900 g
    4. Packungen: 900 g : 500 g, aufgerundet 2
    Ergebnis:
    2 Packungen
  3. ★18
    Zu einer Feier kommen 9 Kinder. Jedes isst 3 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 9,50 €. Was kosten die Pizzen?
    Lösung zeigen
    1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    2. Stücke: 9 · 3 = 27
    3. Pizzen: 27 : 6, aufgerundet 5
    4. Preis: 5 · 9,50 € = 47,50 €
    Ergebnis:
    47,50 €

7Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

EntdeckenFrage

Ab wie vielen Fahrten im Monat war 2025 in Berlin das Deutschlandticket billiger als Einzelfahrscheine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Deutschlandticket kostete 2025 im Monat 58 €, ein Einzelfahrschein Berlin AB 3,80 €. 15 Fahrten kosten 57 €, 16 Fahrten schon 60,80 €. Ab 16 Fahrten im Monat war das Deutschlandticket also billiger.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

Bei Tarifen rechnet man aus, was jeder für die eigene Nutzung kostet.

BeispielAngebote über den Preis für ein Stück vergleichen

Angebot A: 6 Joghurts für 3,48 €. Angebot B: 10 Joghurts für 6,30 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
Angebot A6 Joghurts3,48 €Angebot B10 Joghurts6,30 €
Schritt für Schritt
  1. A: 3,48 € : 6 = 0,58 €
  2. B: 6,30 € : 10 = 0,63 €
  3. 0,58 € ist weniger: A ist günstiger.
  1. A: 3,48 € : 6 = 0,58 €
  2. B: 6,30 € : 10 = 0,63 €
  3. 0,58 € ist weniger: A ist günstiger.
Ergebnis:
A, 0,58 € je Stück

AchtungGesamtpreise statt Preise für ein Stück verglichen

So nicht
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → B kostet weniger, B ist günstiger
So richtig
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → A 0,45 € je Stück < B 0,49 € je Stück

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen: Preis für ein Stück oder einen Liter ausrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Angebot A: 10 Joghurts für 5,50 €. Angebot B: 6 Joghurts für 4,08 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A10 Joghurts5,50 €Angebot B6 Joghurts4,08 €
    So fängst du an:
    A: 5,50 € : 10 = 0,55 €
    Lösung zeigen
    1. A: 5,50 € : 10 = 0,55 €
    2. B: 4,08 € : 6 = 0,68 €
    3. 0,55 € ist weniger: A ist günstiger.
    Ergebnis:
    A, 0,55 € je Stück
  2. ●20
    Angebot A: 8 Joghurts für 4,64 €. Angebot B: 10 Joghurts für 3,40 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A8 Joghurts4,64 €Angebot B10 Joghurts3,40 €
    Lösung zeigen
    1. A: 4,64 € : 8 = 0,58 €
    2. B: 3,40 € : 10 = 0,34 €
    3. 0,34 € ist weniger: B ist günstiger.
    Ergebnis:
    B, 0,34 € je Stück
  3. ★21
    Angebot A: 3 Liter Saft für 2,64 €. Angebot B: 2 Liter Saft für 1,20 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
    Lösung zeigen
    1. A: 2,64 € : 3 = 0,88 €
    2. B: 1,20 € : 2 = 0,60 €
    3. 0,60 € ist weniger: B ist günstiger.
    Ergebnis:
    B, 0,60 € je Liter

8Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

EntdeckenFrage

Warum ging 1999 eine NASA-Sonde am Mars verloren, obwohl die Computer richtig gerechnet hatten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Team lieferte Werte in englischen Einheiten, das andere las sie als metrische Einheiten. Die Werte waren dadurch etwa 4,45-mal zu klein. Die Sonde flog zu tief in die Marsatmosphäre. Niemand hatte geprüft, ob die Ergebnisse zusammenpassen.

MerkenErgebnisse prüfen

Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Ein Überschlag prüft das Komma, und die Einheiten müssen passen.

BeispielIst das Ergebnis sinnvoll?

Jonas hat 20 €. Ein Comic kostet 1,20 €. Jonas rechnet 20 : 1,2 und sagt: „Ich kann 16,67 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Jonas wirklich kaufen?
Schritt für Schritt
  1. 20 : 1,2 ≈ 16,67
  2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
  3. Abrunden: 16 Comics
  1. 20 : 1,2 ≈ 16,67
  2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
  3. Abrunden: 16 Comics
Ergebnis:
16 Comics

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma hat 10 €. Ein Comic kostet 1,50 €. Emma rechnet 10 : 1,5 und sagt: „Ich kann 6,67 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Emma wirklich kaufen?
    So fängst du an:
    10 : 1,5 ≈ 6,67
    Lösung zeigen
    1. 10 : 1,5 ≈ 6,67
    2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
    3. Abrunden: 6 Comics
    Ergebnis:
    6 Comics
  2. ●23
    132 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 40 Kinder. Can teilt 132 durch 40 und sagt: „Wir brauchen 3,3 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
    Lösung zeigen
    1. 132 : 40 = 3,3
    2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
    3. Aufrunden: 4 Busse
    Ergebnis:
    4 Busse
  3. ★24
    Paul hat 10 €. Ein Comic kostet 3,50 €. Paul rechnet 10 : 3,5 und sagt: „Ich kann 2,86 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Paul wirklich kaufen?
    Lösung zeigen
    1. 10 : 3,5 ≈ 2,86
    2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
    3. Abrunden: 2 Comics
    Ergebnis:
    2 Comics

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ein Bus fährt um 8:25 Uhr los. Er braucht 25 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 9 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
    2. Nicht gebraucht: 9 Haltestellen.
    3. 8:25 Uhr und 25 min
    4. Ankunft: 8:50 Uhr
    Ergebnis:
    überflüssig: 9 Haltestellen; 8:50 Uhr
  2. ●26
    Eine Kiste ist 34 cm lang und 22 cm breit. Wie viel passt hinein? Was musst du noch wissen, um die Frage zu beantworten?
    A: wie hoch die Kiste ist
    B: was in der Kiste liegt
    C: wie lang die Kiste ist
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist das Volumen.
    2. Dafür fehlt: wie hoch die Kiste ist.
    3. Richtig ist A.
    Ergebnis:
    A
  3. ●27
    An beiden Seiten eines 18 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 2 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …2 m18 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 18 m : 2 m = 9
    2. Bäume auf einer Seite: 9 + 1 = 10
    3. Beide Seiten: 2 · 10 = 20
    Ergebnis:
    20 Bäume
  4. ●28
    Für ein Fest werden quadratische Tische, an jeder Seite ein Stuhl, in einer langen Reihe aneinandergestellt. Es kommen 32 Gäste. Wie viele Tische braucht man?
    ?
    Lösung zeigen
    1. Jeder Tisch bringt 2 Plätze, dazu kommen 2 an den Enden.
    2. 32 − 2 = 30
    3. 30 : 2 = 15
    Ergebnis:
    15 Tische
  5. ●29
    Im Hof stehen 13 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 36 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
    Dreiräder0123…Räder????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
    2. Probieren: 6 Dreiräder, 7 Fahrräder: 18 + 14 = 32 Räder
    3. Probieren: 10 Dreiräder, 3 Fahrräder: 30 + 6 = 36 Räder
    4. Passt: 10 Dreiräder und 3 Fahrräder.
    Ergebnis:
    10 Dreiräder
  6. ●30
    Zwei natürliche Zahlen haben die Summe 11 und das Produkt 24. Welche Zahlen sind es?
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Zahlenpaare mit der Summe 11, dazu ihr Produkt.
    2. Probieren: 4 und 7 geben 28.
    3. Probieren: 3 und 8 geben 24.
    Ergebnis:
    3 und 8

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Wichtige und überflüssige Angaben
Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.
Eine Skizze hilft
Zeichne die Sache einfach und klein.
Tabelle und Probieren
Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.
Rückwärtsarbeiten
Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.
Schätzen mit Annahmen
Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.
Der Rechenplan
Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.
Ergebnisse prüfen
Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

    31
    Lena ist 12 Jahre alt und kauft 4 Hefte zu je 2,00 €. Was kosten die Hefte zusammen? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    überflüssig: 12 Jahre; 8,00 €

  2. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    32
    Ein Zaun ist 50 m lang. Alle 5 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
    …5 m50 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11 Pfähle

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

    33
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 13 Karten und zahlt 82 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Erwachsenenkarten

  4. Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

    34
    Lena gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein Spiel aus. Danach kauft Lena ein Eis für 3 €. Jetzt sind noch 10 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 3 €10 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26 €

  5. Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

    35
    Wie viel Wasser verbraucht eine Familie zum Duschen in einem Monat? Nimm an: 4 Personen duschen jeden Tag, jede Dusche braucht etwa 50 Liter, der Monat hat 30 Tage. Runde auf Hunderter.
    4 Personen50 Liter30 Tage
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 6000 Liter

  6. Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

    36
    Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 10 m lang und 3 m breit. Für 1 m² braucht man 20 g Samen. Eine Packung enthält 500 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
    10 m3 m
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Packungen

  7. Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

    37
    Angebot A: 6 Joghurts für 4,50 €. Angebot B: 4 Joghurts für 2,84 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A6 Joghurts4,50 €Angebot B4 Joghurts2,84 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B, 0,71 € je Stück

  8. Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

    38
    Can hat 20 €. Ein Comic kostet 2,40 €. Can rechnet 20 : 2,4 und sagt: „Ich kann 8,33 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Can wirklich kaufen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Comics

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Heurismen als Werkzeugkasten: Skizze, Tabelle und Rückwärtsarbeiten, wenn kein Rechenweg dasteht.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Einkaufen, Fahrpläne, Feste planen, Tarife vergleichen. Beruf: Handwerk (Material kalkulieren), Einzelhandel, Veranstaltungsplanung.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Terme und einfache Gleichungen, Zuordnungen und Dreisatz, Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. überflüssig: 12 Haltestellen; 8:35 Uhr
  2. überflüssig: 58 Tulpen; 26 m
  3. überflüssig: 12 Jahre; 4,25 €
  4. 26 Bäume
  5. 22 Bäume
  6. 38 Bäume
  7. 7 Dreiräder
  8. 7 Erwachsenenkarten
  9. 18 Kaninchen
  10. 20 Murmeln
  11. 20 Murmeln
  12. 46 Murmeln
  13. etwa 3500 Hefte
  14. etwa 6100 Hefte
  15. etwa 3600 Hefte
  16. 9 Packungen
  17. 2 Packungen
  18. 47,50 €
  19. A, 0,55 € je Stück
  20. B, 0,34 € je Stück
  21. B, 0,60 € je Liter
  22. 6 Comics
  23. 4 Busse
  24. 2 Comics
  25. überflüssig: 9 Haltestellen; 8:50 Uhr
  26. A
  27. 20 Bäume
  28. 15 Tische
  29. 10 Dreiräder
  30. 3 und 8
  31. überflüssig: 12 Jahre; 8,00 €
  32. 11 Pfähle
  33. 6 Erwachsenenkarten
  34. 26 €
  35. etwa 6000 Liter
  36. 2 Packungen
  37. B, 0,71 € je Stück
  38. 8 Comics
  39. 72 Tage
  40. 2,79 €