Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Sachaufgaben und Problemlösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele raten wild herum oder rechnen 56 − 20. Manche geben nach zwei Versuchen auf, andere finden die Lösung zufällig, können aber nicht sagen, wie. Wenn der Weg nicht dasteht, hilft ein Werkzeug: Wir legen eine Tabelle an und probieren mit System, Zeile für Zeile. So kommt jede und jeder ans Ziel und kann den Weg erklären.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Größen rechnet man mit Einheit, und vor dem Rechnen stehen alle Angaben in derselben Einheit.

●39
Eine Klassenfahrt kostet für 28 Kinder zusammen 5.880,00 €. Alle zahlen gleich viel. Wie viel zahlt ein Kind?
Lösung zeigen
1. 5.880,00 € geteilt durch 28 Kinder
2. Ein Kind zahlt 210,00 €
Ergebnis:
210,00 €
●40
Du kaufst Sachen für 7,13 €, 11,09 € und zahlst mit einem 20-€-Schein. Berechne das Rückgeld.
Lösung zeigen
1. Summe: 7,13 + 11,09 = 18,22 €
2. Rückgeld: 20 − 18,22 = 1,78 €
Ergebnis:
1,78 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Situation, dann die Rechnung

Eine Sachaufgabe ist eine Situation und keine Zahlensammlung. Erst klären, was gefragt und was gegeben ist, dann einen Weg wählen: Skizze, Tabelle oder rückwärts. Zum Schluss wird das Ergebnis an der Situation geprüft.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und was verrät dir diese Frage über das Lösen von Sachaufgaben?

1Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

EntdeckenFrage

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann niemand wissen – die Zahlen haben mit dem Alter nichts zu tun. Trotzdem rechneten in französischen Untersuchungen viele Grundschulkinder 26 + 10 = 36 und schrieben „36 Jahre“. Wer zuerst die Frage liest, fällt darauf nicht herein.

MerkenWichtige und überflüssige Angaben

Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Fehlt eine Angabe, kann man die Frage nicht beantworten.

BeispielÜberflüssige Angaben erkennen

Ein Bus fährt um 9:15 Uhr los. Er braucht 40 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 7 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.

Schritt für Schritt

Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
Nicht gebraucht: 7 Haltestellen.
9:15 Uhr und 40 min
Ankunft: 9:55 Uhr

Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
Nicht gebraucht: 7 Haltestellen.
9:15 Uhr und 40 min
Ankunft: 9:55 Uhr

Ergebnis:

überflüssig: 7 Haltestellen; 9:55 Uhr

AchtungAngaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €

So richtig

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

○1
Tom ist 10 Jahre alt und spart jede Woche 5,00 €. Wie viel hat Tom nach 10 Wochen gespart? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
So fängst du an:
Gefragt ist: Wie viel hat Tom nach 10 Wochen gespart?
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wie viel hat Tom nach 10 Wochen gespart?
2. Nicht gebraucht: 10 Jahre.
3. 10 · 5,00 € = 50,00 €
Ergebnis:
überflüssig: 10 Jahre; 50,00 €
●2
Paul ist 11 Jahre alt und spart jede Woche 5,00 €. Wie viel hat Paul nach 6 Wochen gespart? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wie viel hat Paul nach 6 Wochen gespart?
2. Nicht gebraucht: 11 Jahre.
3. 6 · 5,00 € = 30,00 €
Ergebnis:
überflüssig: 11 Jahre; 30,00 €
★3
Ein Aquarium ist 40 cm lang, 40 cm breit und 40 cm hoch. Darin schwimmen 14 Fische. Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein?
2. Nicht gebraucht: 14 Fische.
3. 40 cm · 40 cm · 40 cm = 64.000 cm³
4. 1000 cm³ sind 1 Liter: 64.000 cm³ = 64 Liter
Ergebnis:
überflüssig: 14 Fische; 64 Liter

2Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

In einem Käfig sitzen Fasane und Kaninchen, zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

23 Fasane und 12 Kaninchen: 23 · 2 + 12 · 4 = 46 + 48 = 94. Das Rätsel steht in einem chinesischen Rechenbuch, das rund 1500 Jahre alt ist. Mit einer Tabelle und systematischem Probieren findet man die Lösung, ohne zu raten.

MerkenEine Skizze hilft

Zeichne die Sache einfach und klein.

An der Skizze sieht man, was man zählen muss. Ein Zaun mit Pfählen an beiden Enden hat einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

BeispielMit einer Skizze zählen: Pfähle und Bäume

Ein rechteckiger Garten ist 40 m lang und 20 m breit. Rundherum kommt alle 5 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?

Schritt für Schritt

Umfang: 2 · 40 m + 2 · 20 m = 120 m
Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
120 m : 5 m = 24

Umfang: 2 · 40 m + 2 · 20 m = 120 m
Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
120 m : 5 m = 24

Ergebnis:

24 Pfähle

AchtungAnfang oder Ende nicht mitgezählt

So nicht

Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 → 10 Pfähle

So richtig

Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 = 10 Zwischenräume → 11 Pfähle

Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt es: Bei zwei Enden gibt es einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

ÜbenJetzt du

○4
An beiden Seiten eines 8 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 2 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
So fängst du an:
Zwischenräume auf einer Seite: 8 m : 2 m = 4
Lösung zeigen
1. Zwischenräume auf einer Seite: 8 m : 2 m = 4
2. Bäume auf einer Seite: 4 + 1 = 5
3. Beide Seiten: 2 · 5 = 10
Ergebnis:
10 Bäume
●5
Ein rechteckiger Garten ist 8 m lang und 10 m breit. Rundherum kommt alle 2 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Umfang: 2 · 8 m + 2 · 10 m = 36 m
2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
3. 36 m : 2 m = 18
Ergebnis:
18 Pfähle
★6
An beiden Seiten eines 55 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 5 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Zwischenräume auf einer Seite: 55 m : 5 m = 11
2. Bäume auf einer Seite: 11 + 1 = 12
3. Beide Seiten: 2 · 12 = 24
Ergebnis:
24 Bäume

3Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein 20 m langer Zaun, wenn alle 2 m einer steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Elf, nicht zehn: 20 : 2 = 10 Zwischenräume, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Dieser Fehler ist so verbreitet, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler. Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt ihn sofort.

MerkenTabelle und Probieren

Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.

Jede Zeile prüft alle Bedingungen. So wird nichts vergessen, und man sieht, in welche Richtung man weitergehen muss.

BeispielKöpfe und Beine: systematisch probieren

Im Hof stehen 14 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 37 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?

Schritt für Schritt

Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
Probieren: 7 Dreiräder, 7 Fahrräder: 21 + 14 = 35 Räder
Probieren: 9 Dreiräder, 5 Fahrräder: 27 + 10 = 37 Räder
Passt: 9 Dreiräder und 5 Fahrräder.

Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
Probieren: 7 Dreiräder, 7 Fahrräder: 21 + 14 = 35 Räder
Probieren: 9 Dreiräder, 5 Fahrräder: 27 + 10 = 37 Räder
Passt: 9 Dreiräder und 5 Fahrräder.

Ergebnis:

9 Dreiräder

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht

27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse

So richtig

27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

○7
Im Hof stehen 11 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 26 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
So fängst du an:
Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
2. Probieren: 2 Dreiräder, 9 Fahrräder: 6 + 18 = 24 Räder
3. Probieren: 4 Dreiräder, 7 Fahrräder: 12 + 14 = 26 Räder
4. Passt: 4 Dreiräder und 7 Fahrräder.
Ergebnis:
4 Dreiräder
●8
Im Hof stehen 9 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 22 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
2. Probieren: 2 Dreiräder, 7 Fahrräder: 6 + 14 = 20 Räder
3. Probieren: 4 Dreiräder, 5 Fahrräder: 12 + 10 = 22 Räder
4. Passt: 4 Dreiräder und 5 Fahrräder.
Ergebnis:
4 Dreiräder
★9
Im Hof stehen 21 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 43 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
2. Probieren: 1 Dreiräder, 20 Fahrräder: 3 + 40 = 43 Räder
3. Passt: 1 Dreiräder und 20 Fahrräder.
Ergebnis:
1 Dreiräder

4Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

EntdeckenFrage

Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago – und wie kann man das ohne Nachschlagen schätzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Diese Frage stellte der Physiker Enrico Fermi seinen Studierenden. Mit wenigen Annahmen – Einwohner, Haushalte mit Klavier, wie oft ein Klavier gestimmt wird, wie viele Klaviere ein Stimmer schafft – kommt man auf eine Zahl in der Größenordnung von hundert.

MerkenRückwärtsarbeiten

Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärtsarbeiten mit Anzahlen und Geld

Aylin gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein Buch aus. Danach kauft Aylin ein Eis für 6 €. Jetzt sind noch 6 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Ende: 6 €
Das Eis zurückrechnen: 6 € + 6 € = 12 €
Die Hälfte zurückrechnen: 12 € · 2 = 24 €

Rückwärts vom Ende: 6 €
Das Eis zurückrechnen: 6 € + 6 € = 12 €
Die Hälfte zurückrechnen: 12 € · 2 = 24 €

Ergebnis:

24 €

AchtungRückwärts mit derselben Rechenart gerechnet

So nicht

Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 − 4 → 4 · 2 → 8 €

So richtig

Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 + 4 = 12 → 12 · 2 = 24 €

Rückwärts dreht jede Rechnung um: plus wird minus, mal wird geteilt – und der letzte Schritt kommt zuerst.

ÜbenJetzt du

○10
Ben spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 10 verloren. Am Ende hat Ben 30 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts: Am Ende sind es 30.
Lösung zeigen
1. Rückwärts: Am Ende sind es 30.
2. Die verlorenen zurück: 30 + 10 = 40
3. Das Verdoppeln zurück: 40 : 2 = 20
Ergebnis:
20 Murmeln
●11
Tom hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 5 Stück. Vom Rest behält Tom die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Tom behält 8 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: Tom behält 8 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
2. Rest: 8 · 2 = 16
3. Vor dem Bruder: 16 + 5 = 21
Ergebnis:
21 Bonbons
★12
Noah gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein T-Shirt aus. Danach kauft Noah ein Eis für 4 €. Jetzt sind noch 6 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Ende: 6 €
2. Das Eis zurückrechnen: 6 € + 4 € = 10 €
3. Die Hälfte zurückrechnen: 10 € · 2 = 20 €
Ergebnis:
20 €

5Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

EntdeckenFrage

Ist die große Familienpackung immer billiger als die kleine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Manchmal kostet ein Kilogramm in der Großpackung mehr. Deshalb muss im Laden neben dem Preis auch der Grundpreis stehen, zum Beispiel der Preis für ein Kilogramm oder einen Liter. Nur damit kann man Angebote wirklich vergleichen.

MerkenSchätzen mit Annahmen

Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.

Man rechnet mit runden Zahlen und rundet das Ergebnis, denn genauer sind die Annahmen nicht.

BeispielSchätzen mit Annahmen

Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 320 Kinder, und jedes braucht etwa 5 Hefte. Runde auf Hunderter.

Schritt für Schritt

320 · 5 = 1600
Auf Hunderter gerundet: 1600

320 · 5 = 1600
Auf Hunderter gerundet: 1600

Ergebnis:

etwa 1600 Hefte

AchtungErgebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht

130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse

So richtig

130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

○13
Wie viel Wasser verbraucht eine Familie zum Duschen in einem Monat? Nimm an: 3 Personen duschen jeden Tag, jede Dusche braucht etwa 80 Liter, der Monat hat 30 Tage. Runde auf Hunderter.
So fängst du an:
An einem Tag: 3 · 80 Liter = 240 Liter
Lösung zeigen
1. An einem Tag: 3 · 80 Liter = 240 Liter
2. 30 Tage: 240 · 30 = 7200
3. Gerundet: 7200 Liter
Ergebnis:
etwa 7200 Liter
●14
Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 580 Kinder, und jedes braucht etwa 6 Hefte. Runde auf Hunderter.
Lösung zeigen
1. 580 · 6 = 3480
2. Auf Hunderter gerundet: 3500
Ergebnis:
etwa 3500 Hefte
★15
Eine Klasse hat 21 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 4 Scheiben Brot. Ein Brot hat 20 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 10 Schultage?
Lösung zeigen
1. Scheiben: 21 · 4 · 10 = 840
2. 840 : 20 = 42
3. Aufrunden, damit es reicht: 42 Brote
Ergebnis:
42 Brote

6Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

EntdeckenFrage

Wann musst du losgehen, wenn der Bus um 7:42 Uhr fährt und du 9 Minuten zur Haltestelle brauchst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Um 7:33 Uhr – man rechnet vom Ziel aus rückwärts. Der Mathematiker George Pólya nannte das Rückwärtsarbeiten eine der wichtigsten Strategien: beim Gesuchten anfangen und fragen, was man dafür braucht.

MerkenDer Rechenplan

Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?

Dann Schritt für Schritt rechnen und jedes Zwischenergebnis mit Einheit notieren.

BeispielMit einem Rechenplan in mehreren Schritten

Zu einer Feier kommen 12 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 8,00 €. Was kosten die Pizzen?

Schritt für Schritt

Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
Stücke: 12 · 2 = 24
Pizzen: 24 : 6 = 4
Preis: 4 · 8,00 € = 32,00 €

Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
Stücke: 12 · 2 = 24
Pizzen: 24 : 6 = 4
Preis: 4 · 8,00 € = 32,00 €

Ergebnis:

32,00 €

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht

0,3 · 0,2 = 0,6

So richtig

0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 5 m lang und 6 m breit. Für 1 m² braucht man 40 g Samen. Eine Packung enthält 250 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
So fängst du an:
Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
Lösung zeigen
1. Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
2. Fläche: 5 m · 6 m = 30 m²
3. Samen: 30 · 40 g = 1200 g
4. Packungen: 1200 g : 250 g, aufgerundet 5
Ergebnis:
5 Packungen
●17
Zu einer Feier kommen 7 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 8,00 €. Was kosten die Pizzen?
Lösung zeigen
1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
2. Stücke: 7 · 2 = 14
3. Pizzen: 14 : 8, aufgerundet 2
4. Preis: 2 · 8,00 € = 16,00 €
Ergebnis:
16,00 €
★18
Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 17 m lang und 12 m breit. Für 1 m² braucht man 30 g Samen. Eine Packung enthält 500 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
Lösung zeigen
1. Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
2. Fläche: 17 m · 12 m = 204 m²
3. Samen: 204 · 30 g = 6120 g
4. Packungen: 6120 g : 500 g, aufgerundet 13
Ergebnis:
13 Packungen

7Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

EntdeckenFrage

Ab wie vielen Fahrten im Monat war 2025 in Berlin das Deutschlandticket billiger als Einzelfahrscheine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Deutschlandticket kostete 2025 im Monat 58 €, ein Einzelfahrschein Berlin AB 3,80 €. 15 Fahrten kosten 57 €, 16 Fahrten schon 60,80 €. Ab 16 Fahrten im Monat war das Deutschlandticket also billiger.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

Bei Tarifen rechnet man aus, was jeder für die eigene Nutzung kostet.

BeispielAngebote über den Preis für ein Stück vergleichen

Angebot A: 4 Joghurts für 2,28 €. Angebot B: 8 Joghurts für 2,00 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.

Schritt für Schritt

A: 2,28 € : 4 = 0,57 €
B: 2,00 € : 8 = 0,25 €
0,25 € ist weniger: B ist günstiger.

A: 2,28 € : 4 = 0,57 €
B: 2,00 € : 8 = 0,25 €
0,25 € ist weniger: B ist günstiger.

Ergebnis:

B, 0,25 € je Stück

AchtungGesamtpreise statt Preise für ein Stück verglichen

So nicht

A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → B kostet weniger, B ist günstiger

So richtig

A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → A 0,45 € je Stück < B 0,49 € je Stück

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen: Preis für ein Stück oder einen Liter ausrechnen.

ÜbenJetzt du

○19
Angebot A: 4 Joghurts für 2,72 €. Angebot B: 10 Joghurts für 4,20 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
So fängst du an:
A: 2,72 € : 4 = 0,68 €
Lösung zeigen
1. A: 2,72 € : 4 = 0,68 €
2. B: 4,20 € : 10 = 0,42 €
3. 0,42 € ist weniger: B ist günstiger.
Ergebnis:
B, 0,42 € je Stück
●20
Angebot A: 10 Joghurts für 4,00 €. Angebot B: 4 Joghurts für 2,96 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
Lösung zeigen
1. A: 4,00 € : 10 = 0,40 €
2. B: 2,96 € : 4 = 0,74 €
3. 0,40 € ist weniger: A ist günstiger.
Ergebnis:
A, 0,40 € je Stück
★21
Angebot A: 1,5 Liter Saft für 1,26 €. Angebot B: 2 Liter Saft für 1,12 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
Lösung zeigen
1. A: 1,26 € : 1,5 = 0,84 €
2. B: 1,12 € : 2 = 0,56 €
3. 0,56 € ist weniger: B ist günstiger.
Ergebnis:
B, 0,56 € je Liter

8Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

EntdeckenFrage

Warum ging 1999 eine NASA-Sonde am Mars verloren, obwohl die Computer richtig gerechnet hatten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Team lieferte Werte in englischen Einheiten, das andere las sie als metrische Einheiten. Die Werte waren dadurch etwa 4,45-mal zu klein. Die Sonde flog zu tief in die Marsatmosphäre. Niemand hatte geprüft, ob die Ergebnisse zusammenpassen.

MerkenErgebnisse prüfen

Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Ein Überschlag prüft das Komma, und die Einheiten müssen passen.

BeispielIst das Ergebnis sinnvoll?

Eine Latte ist 300 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 70 cm. Mia rechnet und sagt: „Das gibt 4,29 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?

Schritt für Schritt

300 : 70 ≈ 4,29
Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
Abrunden: 4 Stücke

300 : 70 ≈ 4,29
Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
Abrunden: 4 Stücke

Ergebnis:

4 Stücke

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

47 + 38 = 75

So richtig

47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○22
Emma hat 10 €. Ein Comic kostet 4,50 €. Emma rechnet 10 : 4,5 und sagt: „Ich kann 2,22 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Emma wirklich kaufen?
So fängst du an:
10 : 4,5 ≈ 2,22
Lösung zeigen
1. 10 : 4,5 ≈ 2,22
2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
3. Abrunden: 2 Comics
Ergebnis:
2 Comics
●23
Emma hat 20 €. Ein Comic kostet 2,40 €. Emma rechnet 20 : 2,4 und sagt: „Ich kann 8,33 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Emma wirklich kaufen?
Lösung zeigen
1. 20 : 2,4 ≈ 8,33
2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
3. Abrunden: 8 Comics
Ergebnis:
8 Comics
★24
Eine Latte ist 320 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 45 cm. Emma rechnet und sagt: „Das gibt 7,11 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?
Lösung zeigen
1. 320 : 45 ≈ 7,11
2. Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
3. Abrunden: 7 Stücke
Ergebnis:
7 Stücke

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Aylin ist 11 Jahre alt und spart jede Woche 4,00 €. Wie viel hat Aylin nach 9 Wochen gespart? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wie viel hat Aylin nach 9 Wochen gespart?
2. Nicht gebraucht: 11 Jahre.
3. 9 · 4,00 € = 36,00 €
Ergebnis:
überflüssig: 11 Jahre; 36,00 €
●26
Tom fährt mit dem Rad 16 km in einer Stunde. Wie lange braucht Tom bis zum See? Was musst du noch wissen, um die Frage zu beantworten?
A: wie weit es bis zum See ist
B: wie warm das Wasser ist
C: wie schnell das Kind fährt
Lösung zeigen
1. Gesucht ist die Fahrzeit.
2. Dafür fehlt: wie weit es bis zum See ist.
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A
●27
Ein Zaun ist 15 m lang. Alle 3 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
Lösung zeigen
1. Zwischenräume: 15 m : 3 m = 5
2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
3. 5 + 1 = 6
Ergebnis:
6 Pfähle
●28
Beim Sommerfest stehen 13 Tische in einer Reihe: quadratische Tische, an jeder Seite ein Stuhl. Zeichne drei Tische und finde eine Regel. Wie viele Stühle passen an alle 13 Tische?
Lösung zeigen
1. Zeichnung: An den Stoßstellen fallen die Stühle weg.
2. Jeder Tisch: 2 Plätze oben und unten, dazu 2 an den Enden.
3. 2 · 13 + 2 = 28
Ergebnis:
28 Stühle
●29
Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 12 Karten und zahlt 68 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
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1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
2. Probieren: 2 Erwachsenenkarten, 10 Kinderkarten: 18 + 40 = 58 €
3. Probieren: 4 Erwachsenenkarten, 8 Kinderkarten: 36 + 32 = 68 €
4. Passt: 4 Erwachsenenkarten und 8 Kinderkarten.
Ergebnis:
4 Erwachsenenkarten
●30
Zwei natürliche Zahlen haben die Summe 12 und das Produkt 35. Welche Zahlen sind es?
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1. Tabelle: Zahlenpaare mit der Summe 12, dazu ihr Produkt.
2. Probieren: 6 und 6 geben 36.
3. Probieren: 5 und 7 geben 35.
Ergebnis:
5 und 7

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Wichtige und überflüssige Angaben: Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.
Eine Skizze hilft: Zeichne die Sache einfach und klein.
Tabelle und Probieren: Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.
Rückwärtsarbeiten: Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.
Schätzen mit Annahmen: Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.
Der Rechenplan: Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.
Ergebnisse prüfen: Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.
31
Ein Aquarium ist 60 cm lang, 25 cm breit und 40 cm hoch. Darin schwimmen 14 Fische. Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
überflüssig: 14 Fische; 60 Liter
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
32
Ein rechteckiger Garten ist 10 m lang und 10 m breit. Rundherum kommt alle 2 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
20 Pfähle
Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.
33
Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 13 Köpfe und 28 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Kaninchen
Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.
34
Paul hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 9 Stück. Vom Rest behält Paul die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Paul behält 15 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
39 Bonbons
Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).
35
Eine Klasse hat 23 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 2 Scheiben Brot. Ein Brot hat 20 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 5 Schultage?
Lösung zeigen
Ergebnis:
12 Brote
Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.
36
Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 12 m lang und 6 m breit. Für 1 m² braucht man 40 g Samen. Eine Packung enthält 250 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
12 Packungen
Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.
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Angebot A: 4 Joghurts für 2,76 €. Angebot B: 8 Joghurts für 4,64 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
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Ergebnis:
B, 0,58 € je Stück
Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.
38
180 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 40 Kinder. Aylin teilt 180 durch 40 und sagt: „Wir brauchen 4,5 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
Lösung zeigen
Ergebnis:
5 Busse

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Heurismen als Werkzeugkasten: Skizze, Tabelle und Rückwärtsarbeiten, wenn kein Rechenweg dasteht.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Einkaufen, Fahrpläne, Feste planen, Tarife vergleichen. Beruf: Handwerk (Material kalkulieren), Einzelhandel, Veranstaltungsplanung.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Terme und einfache Gleichungen, Zuordnungen und Dreisatz, Sachaufgaben lösen

Lösungen

überflüssig: 10 Jahre; 50,00 €
überflüssig: 11 Jahre; 30,00 €
überflüssig: 14 Fische; 64 Liter
10 Bäume
18 Pfähle
24 Bäume
4 Dreiräder
4 Dreiräder
1 Dreiräder
20 Murmeln
21 Bonbons
20 €
etwa 7200 Liter
etwa 3500 Hefte
42 Brote
5 Packungen
16,00 €
13 Packungen
B, 0,42 € je Stück
A, 0,40 € je Stück
B, 0,56 € je Liter
2 Comics
8 Comics
7 Stücke
überflüssig: 11 Jahre; 36,00 €
A
6 Pfähle
28 Stühle
4 Erwachsenenkarten
5 und 7
überflüssig: 14 Fische; 60 Liter
20 Pfähle
1 Kaninchen
39 Bonbons
12 Brote
12 Packungen
B, 0,58 € je Stück
5 Busse
210,00 €
1,78 €