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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Sachaufgaben und Problemlösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele raten wild herum oder rechnen 56 − 20. Manche geben nach zwei Versuchen auf, andere finden die Lösung zufällig, können aber nicht sagen, wie. Wenn der Weg nicht dasteht, hilft ein Werkzeug: Wir legen eine Tabelle an und probieren mit System, Zeile für Zeile. So kommt jede und jeder ans Ziel und kann den Weg erklären.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Größen rechnet man mit Einheit, und vor dem Rechnen stehen alle Angaben in derselben Einheit.

  1. ●39
    Zu einem Spiel fahren 3150 Menschen mit dem Bus. In einen Bus passen 50 Personen. Wie viele Busse braucht man?
    Lösung zeigen
    1. 3150 geteilt durch 50 ist 63 Rest 0
    2. Der Rest braucht noch einen Bus: 63 Busse
    Ergebnis:
    63 Busse
  2. ●40
    Du kaufst Sachen für 3,47 €, 2,43 € und zahlst mit einem 10-€-Schein. Berechne das Rückgeld.
    Lösung zeigen
    1. Summe: 3,47 + 2,43 = 5,90 €
    2. Rückgeld: 10 − 5,9 = 4,10 €
    Ergebnis:
    4,10 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Situation, dann die Rechnung

Eine Sachaufgabe ist eine Situation und keine Zahlensammlung. Erst klären, was gefragt und was gegeben ist, dann einen Weg wählen: Skizze, Tabelle oder rückwärts. Zum Schluss wird das Ergebnis an der Situation geprüft.

Pfeilkette: Hälfte, dann 4 weg, Rest 8; rückwärts plus 4 und mal 2 ergibt 2424128: 2− 4+ 4· 2Rückwärts: jede Rechnung umkehren

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und was verrät dir diese Frage über das Lösen von Sachaufgaben?

1Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

EntdeckenFrage

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann niemand wissen – die Zahlen haben mit dem Alter nichts zu tun. Trotzdem rechneten in französischen Untersuchungen viele Grundschulkinder 26 + 10 = 36 und schrieben „36 Jahre“. Wer zuerst die Frage liest, fällt darauf nicht herein.

MerkenWichtige und überflüssige Angaben

Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Fehlt eine Angabe, kann man die Frage nicht beantworten.

BeispielÜberflüssige Angaben erkennen

Ein Bus fährt um 9:45 Uhr los. Er braucht 50 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 14 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
Schritt für Schritt
  1. Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
  2. Nicht gebraucht: 14 Haltestellen.
  3. 9:45 Uhr und 50 min
  4. Ankunft: 10:35 Uhr
  1. Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
  2. Nicht gebraucht: 14 Haltestellen.
  3. 9:45 Uhr und 50 min
  4. Ankunft: 10:35 Uhr
Ergebnis:
überflüssig: 14 Haltestellen; 10:35 Uhr

AchtungAngaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €
So richtig
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Noah ist 10 Jahre alt und spart jede Woche 2,00 €. Wie viel hat Noah nach 11 Wochen gespart? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    So fängst du an:
    Gefragt ist: Wie viel hat Noah nach 11 Wochen gespart?
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie viel hat Noah nach 11 Wochen gespart?
    2. Nicht gebraucht: 10 Jahre.
    3. 11 · 2,00 € = 22,00 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 10 Jahre; 22,00 €
  2. ●2
    Ein Beet ist 8 m lang und 4 m breit. Darin wachsen 57 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
    2. Nicht gebraucht: 57 Tulpen.
    3. Umfang: 2 · 8 m + 2 · 4 m
    4. 2 · 8 m + 2 · 4 m = 24 m
    Ergebnis:
    überflüssig: 57 Tulpen; 24 m
  3. ★3
    Ein Beet ist 5 m lang und 2 m breit. Darin wachsen 28 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
    2. Nicht gebraucht: 28 Tulpen.
    3. Umfang: 2 · 5 m + 2 · 2 m
    4. 2 · 5 m + 2 · 2 m = 14 m
    Ergebnis:
    überflüssig: 28 Tulpen; 14 m

2Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

In einem Käfig sitzen Fasane und Kaninchen, zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

23 Fasane und 12 Kaninchen: 23 · 2 + 12 · 4 = 46 + 48 = 94. Das Rätsel steht in einem chinesischen Rechenbuch, das rund 1500 Jahre alt ist. Mit einer Tabelle und systematischem Probieren findet man die Lösung, ohne zu raten.

MerkenEine Skizze hilft

Zeichne die Sache einfach und klein.

An der Skizze sieht man, was man zählen muss. Ein Zaun mit Pfählen an beiden Enden hat einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

BeispielMit einer Skizze zählen: Pfähle und Bäume

An beiden Seiten eines 50 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 5 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
…5 m50 m?
Schritt für Schritt
  1. Zwischenräume auf einer Seite: 50 m : 5 m = 10
  2. Bäume auf einer Seite: 10 + 1 = 11
  3. Beide Seiten: 2 · 11 = 22
  1. Zwischenräume auf einer Seite: 50 m : 5 m = 10
  2. Bäume auf einer Seite: 10 + 1 = 11
  3. Beide Seiten: 2 · 11 = 22
Ergebnis:
22 Bäume

AchtungAnfang oder Ende nicht mitgezählt

So nicht
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 → 10 Pfähle
So richtig
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 = 10 Zwischenräume → 11 Pfähle

Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt es: Bei zwei Enden gibt es einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    An beiden Seiten eines 20 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 5 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …5 m20 m?
    So fängst du an:
    Zwischenräume auf einer Seite: 20 m : 5 m = 4
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 20 m : 5 m = 4
    2. Bäume auf einer Seite: 4 + 1 = 5
    3. Beide Seiten: 2 · 5 = 10
    Ergebnis:
    10 Bäume
  2. ●5
    Ein Zaun ist 55 m lang. Alle 5 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
    …5 m55 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume: 55 m : 5 m = 11
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
    3. 11 + 1 = 12
    Ergebnis:
    12 Pfähle
  3. ★6
    An beiden Seiten eines 55 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 5 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …5 m55 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 55 m : 5 m = 11
    2. Bäume auf einer Seite: 11 + 1 = 12
    3. Beide Seiten: 2 · 12 = 24
    Ergebnis:
    24 Bäume

3Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein 20 m langer Zaun, wenn alle 2 m einer steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Elf, nicht zehn: 20 : 2 = 10 Zwischenräume, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Dieser Fehler ist so verbreitet, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler. Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt ihn sofort.

MerkenTabelle und Probieren

Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.

Jede Zeile prüft alle Bedingungen. So wird nichts vergessen, und man sieht, in welche Richtung man weitergehen muss.

BeispielKöpfe und Beine: systematisch probieren

Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 10 Köpfe und 22 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
Kaninchen0123…Beine????
Schritt für Schritt
  1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
  2. Probieren: 1 Kaninchen, 9 Hühner: 4 + 18 = 22 Beine
  3. Passt: 1 Kaninchen und 9 Hühner.
  1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
  2. Probieren: 1 Kaninchen, 9 Hühner: 4 + 18 = 22 Beine
  3. Passt: 1 Kaninchen und 9 Hühner.
Ergebnis:
1 Kaninchen

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 11 Karten und zahlt 84 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    So fängst du an:
    Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    2. Probieren: 5 Erwachsenenkarten, 6 Kinderkarten: 45 + 24 = 69 €
    3. Probieren: 8 Erwachsenenkarten, 3 Kinderkarten: 72 + 12 = 84 €
    4. Passt: 8 Erwachsenenkarten und 3 Kinderkarten.
    Ergebnis:
    8 Erwachsenenkarten
  2. ●8
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 9 Karten und zahlt 66 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    2. Probieren: 4 Erwachsenenkarten, 5 Kinderkarten: 36 + 20 = 56 €
    3. Probieren: 6 Erwachsenenkarten, 3 Kinderkarten: 54 + 12 = 66 €
    4. Passt: 6 Erwachsenenkarten und 3 Kinderkarten.
    Ergebnis:
    6 Erwachsenenkarten
  3. ★9
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 14 Karten und zahlt 81 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    2. Probieren: 3 Erwachsenenkarten, 11 Kinderkarten: 27 + 44 = 71 €
    3. Probieren: 5 Erwachsenenkarten, 9 Kinderkarten: 45 + 36 = 81 €
    4. Passt: 5 Erwachsenenkarten und 9 Kinderkarten.
    Ergebnis:
    5 Erwachsenenkarten

4Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

EntdeckenFrage

Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago – und wie kann man das ohne Nachschlagen schätzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Diese Frage stellte der Physiker Enrico Fermi seinen Studierenden. Mit wenigen Annahmen – Einwohner, Haushalte mit Klavier, wie oft ein Klavier gestimmt wird, wie viele Klaviere ein Stimmer schafft – kommt man auf eine Zahl in der Größenordnung von hundert.

MerkenRückwärtsarbeiten

Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärtsarbeiten mit Anzahlen und Geld

Noah spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 8 verloren. Am Ende hat Noah 26 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
?· 2− 826
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts: Am Ende sind es 26.
  2. Die verlorenen zurück: 26 + 8 = 34
  3. Das Verdoppeln zurück: 34 : 2 = 17
  1. Rückwärts: Am Ende sind es 26.
  2. Die verlorenen zurück: 26 + 8 = 34
  3. Das Verdoppeln zurück: 34 : 2 = 17
Ergebnis:
17 Murmeln

AchtungRückwärts mit derselben Rechenart gerechnet

So nicht
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 − 4 → 4 · 2 → 8 €
So richtig
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 + 4 = 12 → 12 · 2 = 24 €

Rückwärts dreht jede Rechnung um: plus wird minus, mal wird geteilt – und der letzte Schritt kommt zuerst.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Can gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein Spiel aus. Danach kauft Can ein Eis für 3 €. Jetzt sind noch 6 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 3 €6 €
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Ende: 6 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Ende: 6 €
    2. Das Eis zurückrechnen: 6 € + 3 € = 9 €
    3. Die Hälfte zurückrechnen: 9 € · 2 = 18 €
    Ergebnis:
    18 €
  2. ●11
    Ben gibt die Hälfte des Taschengeldes für Kinokarten aus. Danach kauft Ben ein Eis für 3 €. Jetzt sind noch 11 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 3 €11 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Ende: 11 €
    2. Das Eis zurückrechnen: 11 € + 3 € = 14 €
    3. Die Hälfte zurückrechnen: 14 € · 2 = 28 €
    Ergebnis:
    28 €
  3. ★12
    Sara spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 7 verloren. Am Ende hat Sara 37 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
    ?· 2− 737
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: Am Ende sind es 37.
    2. Die verlorenen zurück: 37 + 7 = 44
    3. Das Verdoppeln zurück: 44 : 2 = 22
    Ergebnis:
    22 Murmeln

5Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

EntdeckenFrage

Ist die große Familienpackung immer billiger als die kleine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Manchmal kostet ein Kilogramm in der Großpackung mehr. Deshalb muss im Laden neben dem Preis auch der Grundpreis stehen, zum Beispiel der Preis für ein Kilogramm oder einen Liter. Nur damit kann man Angebote wirklich vergleichen.

MerkenSchätzen mit Annahmen

Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.

Man rechnet mit runden Zahlen und rundet das Ergebnis, denn genauer sind die Annahmen nicht.

BeispielSchätzen mit Annahmen

Wie oft schlägt dein Herz an einem Tag? Nimm an: etwa 80-mal in der Minute. Runde auf Tausender.
Schritt für Schritt
  1. In einer Stunde: 80 · 60 = 4800
  2. An einem Tag: 4800 · 24 = 115.200
  3. Auf Tausender gerundet: 115.000
  1. In einer Stunde: 80 · 60 = 4800
  2. An einem Tag: 4800 · 24 = 115.200
  3. Auf Tausender gerundet: 115.000
Ergebnis:
etwa 115.000-mal

AchtungErgebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse
So richtig
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Eine Klasse hat 27 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 2 Scheiben Brot. Ein Brot hat 16 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 5 Schultage?
    2 Scheiben16 Scheiben5 Schultage
    So fängst du an:
    Scheiben: 27 · 2 · 5 = 270
    Lösung zeigen
    1. Scheiben: 27 · 2 · 5 = 270
    2. 270 : 16 = 16,88
    3. Aufrunden, damit es reicht: 17 Brote
    Ergebnis:
    17 Brote
  2. ●14
    Wie oft schlägt dein Herz an einem Tag? Nimm an: etwa 90-mal in der Minute. Runde auf Tausender.
    Lösung zeigen
    1. In einer Stunde: 90 · 60 = 5400
    2. An einem Tag: 5400 · 24 = 129.600
    3. Auf Tausender gerundet: 130.000
    Ergebnis:
    etwa 130.000-mal
  3. ★15
    Wie viel Wasser verbraucht eine Familie zum Duschen in einem Jahr? Nimm an: 3 Personen duschen jeden Tag, jede Dusche braucht etwa 60 Liter, das Jahr hat 365 Tage. Runde auf Tausender.
    3 Personen60 Liter365 Tage
    Lösung zeigen
    1. An einem Tag: 3 · 60 Liter = 180 Liter
    2. 365 Tage: 180 · 365 = 65.700
    3. Gerundet: 66.000 Liter
    Ergebnis:
    etwa 66.000 Liter

6Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

EntdeckenFrage

Wann musst du losgehen, wenn der Bus um 7:42 Uhr fährt und du 9 Minuten zur Haltestelle brauchst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Um 7:33 Uhr – man rechnet vom Ziel aus rückwärts. Der Mathematiker George Pólya nannte das Rückwärtsarbeiten eine der wichtigsten Strategien: beim Gesuchten anfangen und fragen, was man dafür braucht.

MerkenDer Rechenplan

Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?

Dann Schritt für Schritt rechnen und jedes Zwischenergebnis mit Einheit notieren.

BeispielMit einem Rechenplan in mehreren Schritten

Zu einer Feier kommen 9 Kinder. Jedes isst 3 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 7,50 €. Was kosten die Pizzen?
Schritt für Schritt
  1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
  2. Stücke: 9 · 3 = 27
  3. Pizzen: 27 : 6, aufgerundet 5
  4. Preis: 5 · 7,50 € = 37,50 €
  1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
  2. Stücke: 9 · 3 = 27
  3. Pizzen: 27 : 6, aufgerundet 5
  4. Preis: 5 · 7,50 € = 37,50 €
Ergebnis:
37,50 €

AchtungKomma beim Mal oder Durch 10, 100, 1000 falsch verschoben

So nicht
3,5 · 10 = 0,35
So richtig
3,5 · 10 = 35

Frag dich: Wird die Zahl größer oder kleiner? Mit mal 10 wird sie größer.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zu einer Feier kommen 6 Kinder. Jedes isst 3 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 10,00 €. Was kosten die Pizzen?
    So fängst du an:
    Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    2. Stücke: 6 · 3 = 18
    3. Pizzen: 18 : 8, aufgerundet 3
    4. Preis: 3 · 10,00 € = 30,00 €
    Ergebnis:
    30,00 €
  2. ●17
    Zu einer Feier kommen 8 Kinder. Jedes isst 3 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 8,00 €. Was kosten die Pizzen?
    Lösung zeigen
    1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    2. Stücke: 8 · 3 = 24
    3. Pizzen: 24 : 8 = 3
    4. Preis: 3 · 8,00 € = 24,00 €
    Ergebnis:
    24,00 €
  3. ★18
    Zu einer Feier kommen 8 Kinder. Jedes isst 3 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 9,50 €. Was kosten die Pizzen?
    Lösung zeigen
    1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    2. Stücke: 8 · 3 = 24
    3. Pizzen: 24 : 8 = 3
    4. Preis: 3 · 9,50 € = 28,50 €
    Ergebnis:
    28,50 €

7Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

EntdeckenFrage

Ab wie vielen Fahrten im Monat war 2025 in Berlin das Deutschlandticket billiger als Einzelfahrscheine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Deutschlandticket kostete 2025 im Monat 58 €, ein Einzelfahrschein Berlin AB 3,80 €. 15 Fahrten kosten 57 €, 16 Fahrten schon 60,80 €. Ab 16 Fahrten im Monat war das Deutschlandticket also billiger.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

Bei Tarifen rechnet man aus, was jeder für die eigene Nutzung kostet.

BeispielAngebote über den Preis für ein Stück vergleichen

Angebot A: 10 Hefte für 3,50 €. Angebot B: 3 Hefte für 1,92 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
Angebot A10 Hefte3,50 €Angebot B3 Hefte1,92 €
Schritt für Schritt
  1. A: 3,50 € : 10 = 0,35 €
  2. B: 1,92 € : 3 = 0,64 €
  3. 0,35 € ist weniger: A ist günstiger.
  1. A: 3,50 € : 10 = 0,35 €
  2. B: 1,92 € : 3 = 0,64 €
  3. 0,35 € ist weniger: A ist günstiger.
Ergebnis:
A, 0,35 € je Stück

AchtungGesamtpreise statt Preise für ein Stück verglichen

So nicht
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → B kostet weniger, B ist günstiger
So richtig
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → A 0,45 € je Stück < B 0,49 € je Stück

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen: Preis für ein Stück oder einen Liter ausrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Angebot A: 5 Hefte für 2,00 €. Angebot B: 3 Hefte für 1,50 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A5 Hefte2,00 €Angebot B3 Hefte1,50 €
    So fängst du an:
    A: 2,00 € : 5 = 0,40 €
    Lösung zeigen
    1. A: 2,00 € : 5 = 0,40 €
    2. B: 1,50 € : 3 = 0,50 €
    3. 0,40 € ist weniger: A ist günstiger.
    Ergebnis:
    A, 0,40 € je Stück
  2. ●20
    Angebot A: 1 Liter Saft für 0,61 €. Angebot B: 2 Liter Saft für 1,50 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
    Lösung zeigen
    1. A: 0,61 € : 1 = 0,61 €
    2. B: 1,50 € : 2 = 0,75 €
    3. 0,61 € ist weniger: A ist günstiger.
    Ergebnis:
    A, 0,61 € je Liter
  3. ★21
    Angebot A: 2 Liter Saft für 0,84 €. Angebot B: 1,5 Liter Saft für 1,14 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
    Lösung zeigen
    1. A: 0,84 € : 2 = 0,42 €
    2. B: 1,14 € : 1,5 = 0,76 €
    3. 0,42 € ist weniger: A ist günstiger.
    Ergebnis:
    A, 0,42 € je Liter

8Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

EntdeckenFrage

Warum ging 1999 eine NASA-Sonde am Mars verloren, obwohl die Computer richtig gerechnet hatten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Team lieferte Werte in englischen Einheiten, das andere las sie als metrische Einheiten. Die Werte waren dadurch etwa 4,45-mal zu klein. Die Sonde flog zu tief in die Marsatmosphäre. Niemand hatte geprüft, ob die Ergebnisse zusammenpassen.

MerkenErgebnisse prüfen

Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Ein Überschlag prüft das Komma, und die Einheiten müssen passen.

BeispielIst das Ergebnis sinnvoll?

Eine Latte ist 300 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 70 cm. Can rechnet und sagt: „Das gibt 4,29 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?
ein Stück70 cmLatte300 cm
Schritt für Schritt
  1. 300 : 70 ≈ 4,29
  2. Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
  3. Abrunden: 4 Stücke
  1. 300 : 70 ≈ 4,29
  2. Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
  3. Abrunden: 4 Stücke
Ergebnis:
4 Stücke

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht
47 + 38 = 75
So richtig
47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    185 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 50 Kinder. Aylin teilt 185 durch 50 und sagt: „Wir brauchen 3,7 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
    So fängst du an:
    185 : 50 = 3,7
    Lösung zeigen
    1. 185 : 50 = 3,7
    2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
    3. Aufrunden: 4 Busse
    Ergebnis:
    4 Busse
  2. ●23
    Sara hat 10 €. Ein Comic kostet 1,20 €. Sara rechnet 10 : 1,2 und sagt: „Ich kann 8,33 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Sara wirklich kaufen?
    Lösung zeigen
    1. 10 : 1,2 ≈ 8,33
    2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
    3. Abrunden: 8 Comics
    Ergebnis:
    8 Comics
  3. ★24
    155 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 50 Kinder. Sara teilt 155 durch 50 und sagt: „Wir brauchen 3,1 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
    Lösung zeigen
    1. 155 : 50 = 3,1
    2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
    3. Aufrunden: 4 Busse
    Ergebnis:
    4 Busse

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lena ist 12 Jahre alt und spart jede Woche 2,00 €. Wie viel hat Lena nach 10 Wochen gespart? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie viel hat Lena nach 10 Wochen gespart?
    2. Nicht gebraucht: 12 Jahre.
    3. 10 · 2,00 € = 20,00 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 12 Jahre; 20,00 €
  2. ●26
    Jonas fährt mit dem Rad 12 km in einer Stunde. Wie lange braucht Jonas bis zum See? Was musst du noch wissen, um die Frage zu beantworten?
    A: wie warm das Wasser ist
    B: wie schnell das Kind fährt
    C: wie weit es bis zum See ist
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist die Fahrzeit.
    2. Dafür fehlt: wie weit es bis zum See ist.
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C
  3. ●27
    Ein rechteckiger Garten ist 32 m lang und 20 m breit. Rundherum kommt alle 4 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    1. Umfang: 2 · 32 m + 2 · 20 m = 104 m
    2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
    3. 104 m : 4 m = 26
    Ergebnis:
    26 Pfähle
  4. ●28
    Für ein Fest werden quadratische Tische, an jeder Seite ein Stuhl, in einer langen Reihe aneinandergestellt. Es kommen 16 Gäste. Wie viele Tische braucht man?
    ?
    Lösung zeigen
    1. Jeder Tisch bringt 2 Plätze, dazu kommen 2 an den Enden.
    2. 16 − 2 = 14
    3. 14 : 2 = 7
    Ergebnis:
    7 Tische
  5. ●29
    Im Hof stehen 6 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 16 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
    Dreiräder0123…Räder????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
    2. Probieren: 2 Dreiräder, 4 Fahrräder: 6 + 8 = 14 Räder
    3. Probieren: 4 Dreiräder, 2 Fahrräder: 12 + 4 = 16 Räder
    4. Passt: 4 Dreiräder und 2 Fahrräder.
    Ergebnis:
    4 Dreiräder
  6. ●30
    Emma und Tom haben zusammen 64 €. Emma hat 4 € mehr als Tom. Wie viel Geld hat jeder?
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Betrag von Tom, Betrag von Emma, zusammen.
    2. Probieren: Tom 29 €, Emma 33 €, zusammen 62 €
    3. Probieren: Tom 30 €, Emma 34 €, zusammen 64 €
    Ergebnis:
    Emma 34 €, Tom 30 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Wichtige und überflüssige Angaben
Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.
Eine Skizze hilft
Zeichne die Sache einfach und klein.
Tabelle und Probieren
Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.
Rückwärtsarbeiten
Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.
Schätzen mit Annahmen
Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.
Der Rechenplan
Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.
Ergebnisse prüfen
Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

    31
    Ein Beet ist 6 m lang und 4 m breit. Darin wachsen 37 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    überflüssig: 37 Tulpen; 20 m

  2. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    32
    Ein rechteckiger Garten ist 14 m lang und 8 m breit. Rundherum kommt alle 2 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22 Pfähle

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

    33
    Im Hof stehen 10 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 21 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
    Dreiräder0123…Räder????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 Dreiräder

  4. Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

    34
    Mia hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 7 Stück. Vom Rest behält Mia die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Mia behält 8 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    23 Bonbons

  5. Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

    35
    Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 320 Kinder, und jedes braucht etwa 7 Hefte. Runde auf Hunderter.
    320 Kinder7 Hefte
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 2200 Hefte

  6. Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

    36
    Zu einer Feier kommen 7 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 8,00 €. Was kosten die Pizzen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24,00 €

  7. Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

    37
    Angebot A: 1 Liter Saft für 0,50 €. Angebot B: 2 Liter Saft für 1,28 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A, 0,50 € je Liter

  8. Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

    38
    Ben hat 20 €. Ein Comic kostet 3,50 €. Ben rechnet 20 : 3,5 und sagt: „Ich kann 5,71 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Ben wirklich kaufen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Comics

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Heurismen als Werkzeugkasten: Skizze, Tabelle und Rückwärtsarbeiten, wenn kein Rechenweg dasteht.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Einkaufen, Fahrpläne, Feste planen, Tarife vergleichen. Beruf: Handwerk (Material kalkulieren), Einzelhandel, Veranstaltungsplanung.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Terme und einfache Gleichungen, Zuordnungen und Dreisatz, Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. überflüssig: 10 Jahre; 22,00 €
  2. überflüssig: 57 Tulpen; 24 m
  3. überflüssig: 28 Tulpen; 14 m
  4. 10 Bäume
  5. 12 Pfähle
  6. 24 Bäume
  7. 8 Erwachsenenkarten
  8. 6 Erwachsenenkarten
  9. 5 Erwachsenenkarten
  10. 18 €
  11. 28 €
  12. 22 Murmeln
  13. 17 Brote
  14. etwa 130.000-mal
  15. etwa 66.000 Liter
  16. 30,00 €
  17. 24,00 €
  18. 28,50 €
  19. A, 0,40 € je Stück
  20. A, 0,61 € je Liter
  21. A, 0,42 € je Liter
  22. 4 Busse
  23. 8 Comics
  24. 4 Busse
  25. überflüssig: 12 Jahre; 20,00 €
  26. C
  27. 26 Pfähle
  28. 7 Tische
  29. 4 Dreiräder
  30. Emma 34 €, Tom 30 €
  31. überflüssig: 37 Tulpen; 20 m
  32. 22 Pfähle
  33. 1 Dreiräder
  34. 23 Bonbons
  35. etwa 2200 Hefte
  36. 24,00 €
  37. A, 0,50 € je Liter
  38. 5 Comics
  39. 63 Busse
  40. 4,10 €