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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Sachaufgaben und Problemlösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele raten wild herum oder rechnen 56 − 20. Manche geben nach zwei Versuchen auf, andere finden die Lösung zufällig, können aber nicht sagen, wie. Wenn der Weg nicht dasteht, hilft ein Werkzeug: Wir legen eine Tabelle an und probieren mit System, Zeile für Zeile. So kommt jede und jeder ans Ziel und kann den Weg erklären.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Größen rechnet man mit Einheit, und vor dem Rechnen stehen alle Angaben in derselben Einheit.

  1. ●39
    Eine Klassenfahrt kostet für 30 Kinder zusammen 6.300,00 €. Alle zahlen gleich viel. Wie viel zahlt ein Kind?
    Lösung zeigen
    1. 6.300,00 € geteilt durch 30 Kinder
    2. Ein Kind zahlt 210,00 €
    Ergebnis:
    210,00 €
  2. ●40
    Du kaufst Sachen für 9,87 €, 2,21 € und zahlst mit einem 20-€-Schein. Berechne das Rückgeld.
    Lösung zeigen
    1. Summe: 9,87 + 2,21 = 12,08 €
    2. Rückgeld: 20 − 12,08 = 7,92 €
    Ergebnis:
    7,92 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Situation, dann die Rechnung

Eine Sachaufgabe ist eine Situation und keine Zahlensammlung. Erst klären, was gefragt und was gegeben ist, dann einen Weg wählen: Skizze, Tabelle oder rückwärts. Zum Schluss wird das Ergebnis an der Situation geprüft.

Pfeilkette: Hälfte, dann 4 weg, Rest 8; rückwärts plus 4 und mal 2 ergibt 2424128: 2− 4+ 4· 2Rückwärts: jede Rechnung umkehren

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und was verrät dir diese Frage über das Lösen von Sachaufgaben?

1Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

EntdeckenFrage

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann niemand wissen – die Zahlen haben mit dem Alter nichts zu tun. Trotzdem rechneten in französischen Untersuchungen viele Grundschulkinder 26 + 10 = 36 und schrieben „36 Jahre“. Wer zuerst die Frage liest, fällt darauf nicht herein.

MerkenWichtige und überflüssige Angaben

Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Fehlt eine Angabe, kann man die Frage nicht beantworten.

BeispielÜberflüssige Angaben erkennen

Mia ist 12 Jahre alt und kauft 5 Hefte zu je 0,50 €. Was kosten die Hefte zusammen? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
  2. Nicht gebraucht: 12 Jahre.
  3. 5 · 0,50 € = 2,50 €
  1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
  2. Nicht gebraucht: 12 Jahre.
  3. 5 · 0,50 € = 2,50 €
Ergebnis:
überflüssig: 12 Jahre; 2,50 €

AchtungAngaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €
So richtig
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Bus fährt um 9:15 Uhr los. Er braucht 40 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 10 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
    So fängst du an:
    Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
    2. Nicht gebraucht: 10 Haltestellen.
    3. 9:15 Uhr und 40 min
    4. Ankunft: 9:55 Uhr
    Ergebnis:
    überflüssig: 10 Haltestellen; 9:55 Uhr
  2. ●2
    Emma ist 13 Jahre alt und spart jede Woche 4,00 €. Wie viel hat Emma nach 4 Wochen gespart? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie viel hat Emma nach 4 Wochen gespart?
    2. Nicht gebraucht: 13 Jahre.
    3. 4 · 4,00 € = 16,00 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 13 Jahre; 16,00 €
  3. ★3
    Ein Beet ist 7 m lang und 4 m breit. Darin wachsen 41 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
    2. Nicht gebraucht: 41 Tulpen.
    3. Umfang: 2 · 7 m + 2 · 4 m
    4. 2 · 7 m + 2 · 4 m = 22 m
    Ergebnis:
    überflüssig: 41 Tulpen; 22 m

2Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

In einem Käfig sitzen Fasane und Kaninchen, zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

23 Fasane und 12 Kaninchen: 23 · 2 + 12 · 4 = 46 + 48 = 94. Das Rätsel steht in einem chinesischen Rechenbuch, das rund 1500 Jahre alt ist. Mit einer Tabelle und systematischem Probieren findet man die Lösung, ohne zu raten.

MerkenEine Skizze hilft

Zeichne die Sache einfach und klein.

An der Skizze sieht man, was man zählen muss. Ein Zaun mit Pfählen an beiden Enden hat einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

BeispielMit einer Skizze zählen: Pfähle und Bäume

Ein Zaun ist 22 m lang. Alle 2 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
…2 m22 m?
Schritt für Schritt
  1. Zwischenräume: 22 m : 2 m = 11
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
  3. 11 + 1 = 12
  1. Zwischenräume: 22 m : 2 m = 11
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
  3. 11 + 1 = 12
Ergebnis:
12 Pfähle

AchtungAnfang oder Ende nicht mitgezählt

So nicht
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 → 10 Pfähle
So richtig
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 = 10 Zwischenräume → 11 Pfähle

Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt es: Bei zwei Enden gibt es einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein rechteckiger Garten ist 30 m lang und 10 m breit. Rundherum kommt alle 5 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
    So fängst du an:
    Umfang: 2 · 30 m + 2 · 10 m = 80 m
    Lösung zeigen
    1. Umfang: 2 · 30 m + 2 · 10 m = 80 m
    2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
    3. 80 m : 5 m = 16
    Ergebnis:
    16 Pfähle
  2. ●5
    Ein rechteckiger Garten ist 12 m lang und 16 m breit. Rundherum kommt alle 4 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    1. Umfang: 2 · 12 m + 2 · 16 m = 56 m
    2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
    3. 56 m : 4 m = 14
    Ergebnis:
    14 Pfähle
  3. ★6
    Ein Zaun ist 64 m lang. Alle 8 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
    …8 m64 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume: 64 m : 8 m = 8
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
    3. 8 + 1 = 9
    Ergebnis:
    9 Pfähle

3Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein 20 m langer Zaun, wenn alle 2 m einer steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Elf, nicht zehn: 20 : 2 = 10 Zwischenräume, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Dieser Fehler ist so verbreitet, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler. Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt ihn sofort.

MerkenTabelle und Probieren

Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.

Jede Zeile prüft alle Bedingungen. So wird nichts vergessen, und man sieht, in welche Richtung man weitergehen muss.

BeispielKöpfe und Beine: systematisch probieren

Im Hof stehen 11 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 28 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
Dreiräder0123…Räder????
Schritt für Schritt
  1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
  2. Probieren: 4 Dreiräder, 7 Fahrräder: 12 + 14 = 26 Räder
  3. Probieren: 6 Dreiräder, 5 Fahrräder: 18 + 10 = 28 Räder
  4. Passt: 6 Dreiräder und 5 Fahrräder.
  1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
  2. Probieren: 4 Dreiräder, 7 Fahrräder: 12 + 14 = 26 Räder
  3. Probieren: 6 Dreiräder, 5 Fahrräder: 18 + 10 = 28 Räder
  4. Passt: 6 Dreiräder und 5 Fahrräder.
Ergebnis:
6 Dreiräder

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 12 Karten und zahlt 58 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    So fängst du an:
    Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    2. Probieren: 1 Erwachsenenkarten, 11 Kinderkarten: 9 + 44 = 53 €
    3. Probieren: 2 Erwachsenenkarten, 10 Kinderkarten: 18 + 40 = 58 €
    4. Passt: 2 Erwachsenenkarten und 10 Kinderkarten.
    Ergebnis:
    2 Erwachsenenkarten
  2. ●8
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 11 Karten und zahlt 74 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    2. Probieren: 4 Erwachsenenkarten, 7 Kinderkarten: 36 + 28 = 64 €
    3. Probieren: 6 Erwachsenenkarten, 5 Kinderkarten: 54 + 20 = 74 €
    4. Passt: 6 Erwachsenenkarten und 5 Kinderkarten.
    Ergebnis:
    6 Erwachsenenkarten
  3. ★9
    Im Hof stehen 30 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 86 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
    Dreiräder0123…Räder????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
    2. Probieren: 15 Dreiräder, 15 Fahrräder: 45 + 30 = 75 Räder
    3. Probieren: 26 Dreiräder, 4 Fahrräder: 78 + 8 = 86 Räder
    4. Passt: 26 Dreiräder und 4 Fahrräder.
    Ergebnis:
    26 Dreiräder

4Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

EntdeckenFrage

Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago – und wie kann man das ohne Nachschlagen schätzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Diese Frage stellte der Physiker Enrico Fermi seinen Studierenden. Mit wenigen Annahmen – Einwohner, Haushalte mit Klavier, wie oft ein Klavier gestimmt wird, wie viele Klaviere ein Stimmer schafft – kommt man auf eine Zahl in der Größenordnung von hundert.

MerkenRückwärtsarbeiten

Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärtsarbeiten mit Anzahlen und Geld

Mia hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 4 Stück. Vom Rest behält Mia die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Mia behält 4 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts: Mia behält 4 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
  2. Rest: 4 · 2 = 8
  3. Vor dem Bruder: 8 + 4 = 12
  1. Rückwärts: Mia behält 4 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
  2. Rest: 4 · 2 = 8
  3. Vor dem Bruder: 8 + 4 = 12
Ergebnis:
12 Bonbons

AchtungRückwärts mit derselben Rechenart gerechnet

So nicht
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 − 4 → 4 · 2 → 8 €
So richtig
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 + 4 = 12 → 12 · 2 = 24 €

Rückwärts dreht jede Rechnung um: plus wird minus, mal wird geteilt – und der letzte Schritt kommt zuerst.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Paul gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein T-Shirt aus. Danach kauft Paul ein Eis für 3 €. Jetzt sind noch 6 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 3 €6 €
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Ende: 6 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Ende: 6 €
    2. Das Eis zurückrechnen: 6 € + 3 € = 9 €
    3. Die Hälfte zurückrechnen: 9 € · 2 = 18 €
    Ergebnis:
    18 €
  2. ●11
    Noah gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein T-Shirt aus. Danach kauft Noah ein Eis für 5 €. Jetzt sind noch 6 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 5 €6 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Ende: 6 €
    2. Das Eis zurückrechnen: 6 € + 5 € = 11 €
    3. Die Hälfte zurückrechnen: 11 € · 2 = 22 €
    Ergebnis:
    22 €
  3. ★12
    Can spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 7 verloren. Am Ende hat Can 41 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
    ?· 2− 741
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: Am Ende sind es 41.
    2. Die verlorenen zurück: 41 + 7 = 48
    3. Das Verdoppeln zurück: 48 : 2 = 24
    Ergebnis:
    24 Murmeln

5Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

EntdeckenFrage

Ist die große Familienpackung immer billiger als die kleine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Manchmal kostet ein Kilogramm in der Großpackung mehr. Deshalb muss im Laden neben dem Preis auch der Grundpreis stehen, zum Beispiel der Preis für ein Kilogramm oder einen Liter. Nur damit kann man Angebote wirklich vergleichen.

MerkenSchätzen mit Annahmen

Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.

Man rechnet mit runden Zahlen und rundet das Ergebnis, denn genauer sind die Annahmen nicht.

BeispielSchätzen mit Annahmen

Eine Klasse hat 22 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 3 Scheiben Brot. Ein Brot hat 20 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 5 Schultage?
3 Scheiben20 Scheiben5 Schultage
Schritt für Schritt
  1. Scheiben: 22 · 3 · 5 = 330
  2. 330 : 20 = 16,5
  3. Aufrunden, damit es reicht: 17 Brote
  1. Scheiben: 22 · 3 · 5 = 330
  2. 330 : 20 = 16,5
  3. Aufrunden, damit es reicht: 17 Brote
Ergebnis:
17 Brote

AchtungErgebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse
So richtig
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie oft schlägt dein Herz an einem Tag? Nimm an: etwa 80-mal in der Minute. Runde auf Tausender.
    So fängst du an:
    In einer Stunde: 80 · 60 = 4800
    Lösung zeigen
    1. In einer Stunde: 80 · 60 = 4800
    2. An einem Tag: 4800 · 24 = 115.200
    3. Auf Tausender gerundet: 115.000
    Ergebnis:
    etwa 115.000-mal
  2. ●14
    Eine Klasse hat 30 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 4 Scheiben Brot. Ein Brot hat 20 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 5 Schultage?
    4 Scheiben20 Scheiben5 Schultage
    Lösung zeigen
    1. Scheiben: 30 · 4 · 5 = 600
    2. 600 : 20 = 30
    3. Aufrunden, damit es reicht: 30 Brote
    Ergebnis:
    30 Brote
  3. ★15
    Wie viel Wasser verbraucht eine Familie zum Duschen in einem Jahr? Nimm an: 4 Personen duschen jeden Tag, jede Dusche braucht etwa 60 Liter, das Jahr hat 365 Tage. Runde auf Tausender.
    4 Personen60 Liter365 Tage
    Lösung zeigen
    1. An einem Tag: 4 · 60 Liter = 240 Liter
    2. 365 Tage: 240 · 365 = 87.600
    3. Gerundet: 88.000 Liter
    Ergebnis:
    etwa 88.000 Liter

6Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

EntdeckenFrage

Wann musst du losgehen, wenn der Bus um 7:42 Uhr fährt und du 9 Minuten zur Haltestelle brauchst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Um 7:33 Uhr – man rechnet vom Ziel aus rückwärts. Der Mathematiker George Pólya nannte das Rückwärtsarbeiten eine der wichtigsten Strategien: beim Gesuchten anfangen und fragen, was man dafür braucht.

MerkenDer Rechenplan

Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?

Dann Schritt für Schritt rechnen und jedes Zwischenergebnis mit Einheit notieren.

BeispielMit einem Rechenplan in mehreren Schritten

Zu einer Feier kommen 10 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 8,00 €. Was kosten die Pizzen?
Schritt für Schritt
  1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
  2. Stücke: 10 · 2 = 20
  3. Pizzen: 20 : 6, aufgerundet 4
  4. Preis: 4 · 8,00 € = 32,00 €
  1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
  2. Stücke: 10 · 2 = 20
  3. Pizzen: 20 : 6, aufgerundet 4
  4. Preis: 4 · 8,00 € = 32,00 €
Ergebnis:
32,00 €

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zu einer Feier kommen 8 Kinder. Jedes isst 3 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 7,50 €. Was kosten die Pizzen?
    So fängst du an:
    Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    2. Stücke: 8 · 3 = 24
    3. Pizzen: 24 : 8 = 3
    4. Preis: 3 · 7,50 € = 22,50 €
    Ergebnis:
    22,50 €
  2. ●17
    Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 7 m lang und 4 m breit. Für 1 m² braucht man 25 g Samen. Eine Packung enthält 250 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
    7 m4 m
    Lösung zeigen
    1. Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
    2. Fläche: 7 m · 4 m = 28 m²
    3. Samen: 28 · 25 g = 700 g
    4. Packungen: 700 g : 250 g, aufgerundet 3
    Ergebnis:
    3 Packungen
  3. ★18
    Zu einer Feier kommen 12 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 9,50 €. Was kosten die Pizzen?
    Lösung zeigen
    1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    2. Stücke: 12 · 2 = 24
    3. Pizzen: 24 : 8 = 3
    4. Preis: 3 · 9,50 € = 28,50 €
    Ergebnis:
    28,50 €

7Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

EntdeckenFrage

Ab wie vielen Fahrten im Monat war 2025 in Berlin das Deutschlandticket billiger als Einzelfahrscheine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Deutschlandticket kostete 2025 im Monat 58 €, ein Einzelfahrschein Berlin AB 3,80 €. 15 Fahrten kosten 57 €, 16 Fahrten schon 60,80 €. Ab 16 Fahrten im Monat war das Deutschlandticket also billiger.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

Bei Tarifen rechnet man aus, was jeder für die eigene Nutzung kostet.

BeispielAngebote über den Preis für ein Stück vergleichen

Angebot A: 2 Liter Saft für 1,12 €. Angebot B: 1 Liter Saft für 0,64 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
Schritt für Schritt
  1. A: 1,12 € : 2 = 0,56 €
  2. B: 0,64 € : 1 = 0,64 €
  3. 0,56 € ist weniger: A ist günstiger.
  1. A: 1,12 € : 2 = 0,56 €
  2. B: 0,64 € : 1 = 0,64 €
  3. 0,56 € ist weniger: A ist günstiger.
Ergebnis:
A, 0,56 € je Liter

AchtungGesamtpreise statt Preise für ein Stück verglichen

So nicht
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → B kostet weniger, B ist günstiger
So richtig
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → A 0,45 € je Stück < B 0,49 € je Stück

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen: Preis für ein Stück oder einen Liter ausrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Angebot A: 3 Liter Saft für 1,08 €. Angebot B: 1 Liter Saft für 0,43 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
    So fängst du an:
    A: 1,08 € : 3 = 0,36 €
    Lösung zeigen
    1. A: 1,08 € : 3 = 0,36 €
    2. B: 0,43 € : 1 = 0,43 €
    3. 0,36 € ist weniger: A ist günstiger.
    Ergebnis:
    A, 0,36 € je Liter
  2. ●20
    Angebot A: 1,5 Liter Saft für 0,69 €. Angebot B: 3 Liter Saft für 2,13 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
    Lösung zeigen
    1. A: 0,69 € : 1,5 = 0,46 €
    2. B: 2,13 € : 3 = 0,71 €
    3. 0,46 € ist weniger: A ist günstiger.
    Ergebnis:
    A, 0,46 € je Liter
  3. ★21
    Angebot A: 1 Liter Saft für 0,89 €. Angebot B: 1,5 Liter Saft für 0,99 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
    Lösung zeigen
    1. A: 0,89 € : 1 = 0,89 €
    2. B: 0,99 € : 1,5 = 0,66 €
    3. 0,66 € ist weniger: B ist günstiger.
    Ergebnis:
    B, 0,66 € je Liter

8Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

EntdeckenFrage

Warum ging 1999 eine NASA-Sonde am Mars verloren, obwohl die Computer richtig gerechnet hatten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Team lieferte Werte in englischen Einheiten, das andere las sie als metrische Einheiten. Die Werte waren dadurch etwa 4,45-mal zu klein. Die Sonde flog zu tief in die Marsatmosphäre. Niemand hatte geprüft, ob die Ergebnisse zusammenpassen.

MerkenErgebnisse prüfen

Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Ein Überschlag prüft das Komma, und die Einheiten müssen passen.

BeispielIst das Ergebnis sinnvoll?

Jonas hat 20 €. Ein Comic kostet 4,50 €. Jonas rechnet 20 : 4,5 und sagt: „Ich kann 4,44 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Jonas wirklich kaufen?
Schritt für Schritt
  1. 20 : 4,5 ≈ 4,44
  2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
  3. Abrunden: 4 Comics
  1. 20 : 4,5 ≈ 4,44
  2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
  3. Abrunden: 4 Comics
Ergebnis:
4 Comics

AchtungNoch einmal: Ergebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse
So richtig
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    168 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 60 Kinder. Jonas teilt 168 durch 60 und sagt: „Wir brauchen 2,8 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
    So fängst du an:
    168 : 60 = 2,8
    Lösung zeigen
    1. 168 : 60 = 2,8
    2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
    3. Aufrunden: 3 Busse
    Ergebnis:
    3 Busse
  2. ●23
    215 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 50 Kinder. Sara teilt 215 durch 50 und sagt: „Wir brauchen 4,3 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
    Lösung zeigen
    1. 215 : 50 = 4,3
    2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
    3. Aufrunden: 5 Busse
    Ergebnis:
    5 Busse
  3. ★24
    231 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 50 Kinder. Emma teilt 231 durch 50 und sagt: „Wir brauchen 4,62 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
    Lösung zeigen
    1. 231 : 50 = 4,62
    2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
    3. Aufrunden: 5 Busse
    Ergebnis:
    5 Busse

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lea ist 12 Jahre alt und kauft 4 Hefte zu je 1,20 €. Was kosten die Hefte zusammen? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
    2. Nicht gebraucht: 12 Jahre.
    3. 4 · 1,20 € = 4,80 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 12 Jahre; 4,80 €
  2. ●26
    Aylin kauft 8 Hefte und bezahlt mit einem 20-€-Schein. Wie viel Geld bekommt Aylin zurück? Diese Aufgabe kann man nicht lösen. Welche Angabe fehlt?
    A: wie alt das Kind ist
    B: was ein Heft kostet
    C: wie viele Hefte gekauft werden
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist das Rückgeld.
    2. Dafür fehlt: was ein Heft kostet.
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B
  3. ●27
    An beiden Seiten eines 24 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 4 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …4 m24 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 24 m : 4 m = 6
    2. Bäume auf einer Seite: 6 + 1 = 7
    3. Beide Seiten: 2 · 7 = 14
    Ergebnis:
    14 Bäume
  4. ●28
    Im Klassenraum werden 15 quadratische Tische (an jeder Seite ein Stuhl) zu einer langen Reihe zusammengeschoben. Wie viele Kinder finden Platz?
    ?
    Lösung zeigen
    1. Zeichnung: An den Stoßstellen fallen die Stühle weg.
    2. Jeder Tisch: 2 Plätze oben und unten, dazu 2 an den Enden.
    3. 2 · 15 + 2 = 32
    Ergebnis:
    32 Kinder
  5. ●29
    Im Hof stehen 8 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 17 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
    Dreiräder0123…Räder????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
    2. Probieren: 1 Dreiräder, 7 Fahrräder: 3 + 14 = 17 Räder
    3. Passt: 1 Dreiräder und 7 Fahrräder.
    Ergebnis:
    1 Dreiräder
  6. ●30
    Paul und Lena haben zusammen 59 €. Paul hat 3 € mehr als Lena. Wie viel Geld hat jeder?
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Betrag von Lena, Betrag von Paul, zusammen.
    2. Probieren: Lena 27 €, Paul 30 €, zusammen 57 €
    3. Probieren: Lena 28 €, Paul 31 €, zusammen 59 €
    Ergebnis:
    Paul 31 €, Lena 28 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Wichtige und überflüssige Angaben
Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.
Eine Skizze hilft
Zeichne die Sache einfach und klein.
Tabelle und Probieren
Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.
Rückwärtsarbeiten
Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.
Schätzen mit Annahmen
Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.
Der Rechenplan
Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.
Ergebnisse prüfen
Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

    31
    Can ist 12 Jahre alt und spart jede Woche 2,00 €. Wie viel hat Can nach 10 Wochen gespart? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    überflüssig: 12 Jahre; 20,00 €

  2. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    32
    An beiden Seiten eines 15 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 3 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …3 m15 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Bäume

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

    33
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 7 Karten und zahlt 58 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Erwachsenenkarten

  4. Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

    34
    Tom gibt die Hälfte des Taschengeldes für Kinokarten aus. Danach kauft Tom ein Eis für 5 €. Jetzt sind noch 3 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 5 €3 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 €

  5. Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

    35
    Eine Klasse hat 22 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 2 Scheiben Brot. Ein Brot hat 24 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 5 Schultage?
    2 Scheiben24 Scheiben5 Schultage
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 Brote

  6. Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

    36
    Zu einer Feier kommen 9 Kinder. Jedes isst 3 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 10,00 €. Was kosten die Pizzen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40,00 €

  7. Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

    37
    Angebot A: 10 Joghurts für 7,60 €. Angebot B: 4 Joghurts für 2,20 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A10 Joghurts7,60 €Angebot B4 Joghurts2,20 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B, 0,55 € je Stück

  8. Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

    38
    210 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 60 Kinder. Lea teilt 210 durch 60 und sagt: „Wir brauchen 3,5 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Busse

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Heurismen als Werkzeugkasten: Skizze, Tabelle und Rückwärtsarbeiten, wenn kein Rechenweg dasteht.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Einkaufen, Fahrpläne, Feste planen, Tarife vergleichen. Beruf: Handwerk (Material kalkulieren), Einzelhandel, Veranstaltungsplanung.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Terme und einfache Gleichungen, Zuordnungen und Dreisatz, Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. überflüssig: 10 Haltestellen; 9:55 Uhr
  2. überflüssig: 13 Jahre; 16,00 €
  3. überflüssig: 41 Tulpen; 22 m
  4. 16 Pfähle
  5. 14 Pfähle
  6. 9 Pfähle
  7. 2 Erwachsenenkarten
  8. 6 Erwachsenenkarten
  9. 26 Dreiräder
  10. 18 €
  11. 22 €
  12. 24 Murmeln
  13. etwa 115.000-mal
  14. 30 Brote
  15. etwa 88.000 Liter
  16. 22,50 €
  17. 3 Packungen
  18. 28,50 €
  19. A, 0,36 € je Liter
  20. A, 0,46 € je Liter
  21. B, 0,66 € je Liter
  22. 3 Busse
  23. 5 Busse
  24. 5 Busse
  25. überflüssig: 12 Jahre; 4,80 €
  26. B
  27. 14 Bäume
  28. 32 Kinder
  29. 1 Dreiräder
  30. Paul 31 €, Lena 28 €
  31. überflüssig: 12 Jahre; 20,00 €
  32. 12 Bäume
  33. 6 Erwachsenenkarten
  34. 16 €
  35. 10 Brote
  36. 40,00 €
  37. B, 0,55 € je Stück
  38. 4 Busse
  39. 210,00 €
  40. 7,92 €