Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 9:15 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 9:15 + 0:45 = 10:00 Uhr
Ergebnis:
10:00 Uhr
●40
Rechne um: 2 km in m.
Lösung zeigen
1. 1 km = 1.000 m
2. 2 · 1.000 = 2.000 m
Ergebnis:
2.000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 95 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 95 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Ergebnis:

Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 26 Kinder und 9 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 26 Kinder und 9 € je Karte.
2. 26 · 9 € = 234 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
234 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 15 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
22 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 11 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
Lösung zeigen
1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 11 km = 22 km.
2. 22 Kinder: 22 · 22 km = 484 km
3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
Ergebnis:
484 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:38 Uhr. Welchen Bus M29 muss Paul spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:38 Uhr: 6:59, 7:09, 7:19, 7:29 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:29 Uhr an.
Er fährt um 7:14 Uhr ab.

Ankunft vor 7:38 Uhr: 6:59, 7:09, 7:19, 7:29 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:29 Uhr an.
Er fährt um 7:14 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:14 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:30 Uhr. Welchen Bus M29 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:30 Uhr: 7:05, 7:20 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:30 Uhr: 7:05, 7:20 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:20 Uhr an.
3. Er fährt um 7:02 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:02 Uhr
●5
Can ist um 7:01 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Can auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:06 Uhr.
2. Von 7:01 bis 7:06 Uhr sind es 5 Minuten.
Ergebnis:
5 Minuten
★6
Hanna ist um 6:48 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:56 Uhr.
2. Von 6:48 bis 6:56 Uhr sind es 8 Minuten.
Ergebnis:
8 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Elias sagt: „Ein Zaun von 25 m mit einem Pfahl alle 5 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?

Schritt für Schritt

25 : 5 = 5 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.

25 : 5 = 5 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.

Ergebnis:

Nein, 6 Pfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Milan sagt: „Ein Zaun von 16 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 4 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
So fängst du an:
16 : 4 = 4 ist die Zahl der Abstände.
Lösung zeigen
1. 16 : 4 = 4 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.
Ergebnis:
Nein, 5 Pfähle
●8
Ein Weg ist 12 m lang. Alle 2 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 12 : 2 = 6
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 6 + 1 = 7
Ergebnis:
7 Laternen
★9
Entlang eines Weges stehen 21 Zaunpfähle im Abstand von 6 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 21 Zaunpfähle haben 20 Abstände dazwischen.
2. 20 · 6 m = 120 m
Ergebnis:
120 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Hanna kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Hanna 8 € geschenkt und hat jetzt 26 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 8 € = 18 €
Dann den Kauf: 18 € + 9 € = 27 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 8 € = 18 €
Dann den Kauf: 18 € + 9 € = 27 €

Ergebnis:

27 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Can braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:46 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:46 Uhr.
2. Noch 15 Minuten früher: 15:31 Uhr.
Ergebnis:
15:31 Uhr
●11
Jonas kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Jonas 9 € geschenkt und hat jetzt 19 €. Wie viel Geld hatte Jonas am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 9 € = 10 €
2. Dann den Kauf: 10 € + 18 € = 28 €
Ergebnis:
28 €
★12
Noah verschenkt 9 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Noah noch 6 Karten dazu. Jetzt sind es 40. Wie viele Karten waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: 40 − 6 = 34
2. Verdoppeln rückgängig: 34 : 2 = 17
3. Verschenken rückgängig: 17 + 9 = 26
Ergebnis:
26 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 8 Fahrzeuge mit 18 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
6 Fahrräder und 2 Dreiräder: 6 · 2 + 2 · 3 = 18

Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
6 Fahrräder und 2 Dreiräder: 6 · 2 + 2 · 3 = 18

Ergebnis:

2 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 6 Tische mit 34 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Vierertisch und 5 Sechsertische: 1 · 4 + 5 · 6 = 34
Ergebnis:
5 Sechsertische
●14
Im Hof der Kita zählt Ben 7 Fahrzeuge und 16 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 5 Fahrräder und 2 Dreiräder: 5 · 2 + 2 · 3 = 16
Ergebnis:
5 Fahrräder, 2 Dreiräder
★15
Im Hof der Kita zählt Zeynep 19 Fahrzeuge und 39 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 10 Fahrräder und 9 Dreiräder ergeben 47 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 18 Fahrräder und 1 Dreirad: 18 · 2 + 1 · 3 = 39
Ergebnis:
18 Fahrräder, 1 Dreirad

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Ergebnis:

0,80 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 8,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
2. Packung: 8,00 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Ein Bleistift kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 5,10 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
2. Packung: 5,10 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 22 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 154 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 154 € : 22 = 7 €
7 € + 4 € = 11 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 154 € : 22 = 7 €
7 € + 4 € = 11 €

Ergebnis:

11 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 430 €. Der Förderverein gibt 61 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 4 € für jedes der 25 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 430 € + 61 € = 491 €; Kosten: 25 · 4 € = 100 €
3. 491 € − 100 € = 391 €
Ergebnis:
391 €
●20
In der Klassenkasse sind 265 €. Der Förderverein gibt 97 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 4 € für jedes der 22 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 265 € + 97 € = 362 €; Kosten: 22 · 4 € = 88 €
3. 362 € − 88 € = 274 €
Ergebnis:
274 €
★21
Paul läuft an 5 Tagen in der Woche je 5 Runden auf der 400-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
Lösung zeigen
1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
2. Ein Tag: 5 · 400 m = 2000 m; eine Woche: 5 · 2000 m = 10.000 m
3. 4 Wochen: 40.000 m = 40 km
Ergebnis:
40 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · 15 + 7? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 15 €. Dazu kommt ein Getränk für 7 € für alle.“
(B) „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 15 € und je ein Getränk für 7 €.“

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist A.
4 · 15 + 7 = 67

Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist A.
4 · 15 + 7 = 67

Ergebnis:

A, 67 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je einen Ball für 7 €. Dazu kommt eine Pumpe für 8 € für alle.“
(A) 3 · (7 + 8)
(B) 3 + 7 · 8
(C) 3 · 7 + 8
So fängst du an:
Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 3 · 7 + 8 = 29
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 3 · 7 + 8
●23
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je einen Ball für 7 € und je eine Pumpe für 6 €.“
(A) 5 · (7 + 6)
(B) 5 · 7 + 6
(C) 5 + 7 · 6
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
2. Passend: 5 · (7 + 6) = 65
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A: 5 · (7 + 6)
★24
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je einen Ball für 19 € und je eine Pumpe für 3 €.“
(A) 8 + 19 · 3
(B) 8 · (19 + 3)
(C) 8 · 19 + 3
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
2. Passend: 8 · (19 + 3) = 176
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 8 · (19 + 3)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●26
Auf einem Schiff sind 27 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 8:40 Uhr. Welchen Bus 248 muss Tom spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:40 Uhr: 7:22, 7:42, 8:02, 8:22 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:22 Uhr an.
3. Er fährt um 7:54 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:54 Uhr
●28
Can sagt: „Ein Zaun von 21 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 7 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 21 : 3 = 7 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 8.
Ergebnis:
Nein, 8 Pfähle
●29
Im Kino sitzt Noah auf Platz 6 von links. Zwischen Noah und Hanna sitzen 4 Kinder, Hanna sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Hanna?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 6 ist Noah, dann 4 Plätze dazwischen.
2. 6 + 4 + 1 = 11
Ergebnis:
Platz 11
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Lina braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 22 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 16:02 Uhr.
2. Noch 22 Minuten früher: 15:40 Uhr.
Ergebnis:
15:40 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 24 Tore geschossen. Zum Finale kamen 431 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
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Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Lea ist um 7:01 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus X34?
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Ergebnis:
4 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ein Weg ist 90 m lang. Alle 10 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
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Ergebnis:
10 Laternen
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Can kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Can 6 € geschenkt und hat jetzt 19 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
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Ergebnis:
25 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 10 Fahrzeuge mit 25 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
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Ergebnis:
5 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
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Ergebnis:
0,80 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
Die 5c mit 25 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 150 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
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Ergebnis:
10 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · (9 + 6)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „4 Kinder kaufen je einen Ball für 9 € und je eine Pumpe für 6 €.“
(B) „4 Kinder kaufen je einen Ball für 9 €. Dazu kommt eine Pumpe für 6 € für alle.“
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Ergebnis:
A, 60 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

234 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
484 km
den um 7:02 Uhr
5 Minuten
8 Minuten
Nein, 5 Pfähle
7 Laternen
120 m
15:31 Uhr
28 €
26 Karten
5 Sechsertische
5 Fahrräder, 2 Dreiräder
18 Fahrräder, 1 Dreirad
die Packung
einzeln
1,67 €
391 €
274 €
40 km
C: 3 · 7 + 8
A: 5 · (7 + 6)
B: 8 · (19 + 3)
Der Beginn des Films fehlt
nicht lösbar
den um 7:54 Uhr
Nein, 8 Pfähle
Platz 11
15:40 Uhr
Die Tore im Finale fehlen
4 Minuten
10 Laternen
25 €
5 Dreiräder
0,80 €
10 €
A, 60 €
10:00 Uhr
2.000 m