Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 9:45 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 9:45 + 1:00 = 10:45 Uhr
Ergebnis:
10:45 Uhr
●40
Rechne um: 12 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 12 · 100 = 1.200 cm
Ergebnis:
1.200 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 120 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 120 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Ergebnis:

Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 38 Tore geschossen. Zum Finale kamen 191 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 20 Tore geschossen. Zum Finale kamen 216 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
30 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 8 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
Lösung zeigen
1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 8 km = 16 km.
2. 30 Kinder: 30 · 16 km = 480 km
3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
Ergebnis:
480 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:32 Uhr. Welchen Bus 248 muss Mia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:32 Uhr: 7:04, 7:14, 7:24 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:24 Uhr an.
Er fährt um 7:10 Uhr ab.

Ankunft vor 7:32 Uhr: 7:04, 7:14, 7:24 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:24 Uhr an.
Er fährt um 7:10 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:10 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:46 Uhr, an 7:04 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:46 Uhr, an 7:04 Uhr.
2. Von 6:46 bis 7:04 Uhr sind es 18 Minuten.
Ergebnis:
18 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:46 Uhr. Welchen Bus 248 muss Paul spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:46 Uhr: 7:15, 7:30, 7:45 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:45 Uhr an.
3. Er fährt um 7:20 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:20 Uhr
★6
Can braucht 4 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus X34 um 7:22 Uhr nehmen. Wann muss Can spätestens los, und wann ist Can an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 4 Minuten vor 7:22 Uhr, also 7:18 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:35 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:18 Uhr, an um 7:35 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 9 Bäume im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?

Schritt für Schritt

9 Bäume haben 8 Abstände dazwischen.
8 · 5 m = 40 m

9 Bäume haben 8 Abstände dazwischen.
8 · 5 m = 40 m

Ergebnis:

40 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Weg ist 35 m lang. Alle 5 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
So fängst du an:
Abstände: 35 : 5 = 7
Lösung zeigen
1. Abstände: 35 : 5 = 7
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 7 + 1 = 8
Ergebnis:
8 Laternen
●8
Zeynep sagt: „Ein Zaun von 40 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 10 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 40 : 4 = 10 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 11.
Ergebnis:
Nein, 11 Pfähle
★9
Entlang eines Weges stehen 25 Zaunpfähle im Abstand von 3 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 25 Zaunpfähle haben 24 Abstände dazwischen.
2. 24 · 3 m = 72 m
Ergebnis:
72 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Mia kauft ein Buch für 13 €. Danach bekommt Mia 8 € geschenkt und hat jetzt 21 €. Wie viel Geld hatte Mia am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 21 € − 8 € = 13 €
Dann den Kauf: 13 € + 13 € = 26 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 21 € − 8 € = 13 €
Dann den Kauf: 13 € + 13 € = 26 €

Ergebnis:

26 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Mia braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 25 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 16:02 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 16:02 Uhr.
2. Noch 25 Minuten früher: 15:37 Uhr.
Ergebnis:
15:37 Uhr
●11
Aylin kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Aylin 5 € geschenkt und hat jetzt 15 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 15 € − 5 € = 10 €
2. Dann den Kauf: 10 € + 9 € = 19 €
Ergebnis:
19 €
★12
Hanna kauft ein Buch für 13 €. Danach bekommt Hanna 6 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 6 € = 19 €
2. Dann den Kauf: 19 € + 13 € = 32 €
Ergebnis:
32 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Can 5 Fahrzeuge und 13 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 3 Dreiräder: 2 · 2 + 3 · 3 = 13

Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 3 Dreiräder: 2 · 2 + 3 · 3 = 13

Ergebnis:

2 Fahrräder, 3 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita zählt Ben 7 Fahrzeuge und 15 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 6 Fahrräder und 1 Dreirad: 6 · 2 + 1 · 3 = 15
Ergebnis:
6 Fahrräder, 1 Dreirad
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 5 Tiere mit 16 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Hühner und 3 Kaninchen: 2 · 2 + 3 · 4 = 16
Ergebnis:
3 Kaninchen
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 19 Fahrzeuge mit 48 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 10 Fahrräder und 9 Dreiräder ergeben 47 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 9 Fahrräder und 10 Dreiräder: 9 · 2 + 10 · 3 = 48
Ergebnis:
10 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Tennisball kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 6,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 6,60 €
Einzeln ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 6,60 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Bleistift kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 8,70 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
So fängst du an:
6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
2. Packung: 8,70 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
Ergebnis:
0,80 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 303 €. Der Förderverein gibt 62 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 9 € für jedes der 27 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?

Schritt für Schritt

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 303 € + 62 € = 365 €; Kosten: 27 · 9 € = 243 €
365 € − 243 € = 122 €

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 303 € + 62 € = 365 €; Kosten: 27 · 9 € = 243 €
365 € − 243 € = 122 €

Ergebnis:

122 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 407 €. Der Förderverein gibt 100 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 9 € für jedes der 26 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 407 € + 100 € = 507 €; Kosten: 26 · 9 € = 234 €
3. 507 € − 234 € = 273 €
Ergebnis:
273 €
●20
In der Klassenkasse sind 422 €. Der Förderverein gibt 40 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 7 € für jedes der 28 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 422 € + 40 € = 462 €; Kosten: 28 · 7 € = 196 €
3. 462 € − 196 € = 266 €
Ergebnis:
266 €
★21
Lina läuft an 5 Tagen in der Woche je 8 Runden auf der 250-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
Lösung zeigen
1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
2. Ein Tag: 8 · 250 m = 2000 m; eine Woche: 5 · 2000 m = 10.000 m
3. 4 Wochen: 40.000 m = 40 km
Ergebnis:
40 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je ein Heft für 13 € und je eine Mappe für 6 €.“
(A) 8 + 13 · 6
(B) 8 · 13 + 6
(C) 8 · (13 + 6)

Schritt für Schritt

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
Passend: 8 · (13 + 6) = 152
Richtig ist C.

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
Passend: 8 · (13 + 6) = 152
Richtig ist C.

Ergebnis:

C: 8 · (13 + 6)

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je ein Heft für 12 €. Dazu kommt eine Mappe für 9 € für alle.“
(A) 5 · (12 + 9)
(B) 5 · 12 + 9
(C) 5 + 12 · 9
So fängst du an:
Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 5 · 12 + 9 = 69
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 5 · 12 + 9
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · (13 + 9)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „4 Kinder kaufen je einen Ball für 13 € und je eine Pumpe für 9 €.“
(B) „4 Kinder kaufen je einen Ball für 13 €. Dazu kommt eine Pumpe für 9 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
2. Passend ist A.
3. 4 · (13 + 9) = 88
Ergebnis:
A, 88 €
★24
Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 9 + 2? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 9 € und je eine Mappe für 2 €.“
(B) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 9 €. Dazu kommt eine Mappe für 2 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist B.
3. 5 · 9 + 2 = 47
Ergebnis:
B, 47 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
22 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 6 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 22 Kinder und 7 €.
2. 22 · 7 € = 154 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
154 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 9 Böden mit je 30 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Bücher stehen im Regal? B: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? C: Wie viel kostet ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 9 · 30 = 270.
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A, 270 Bücher
●27
Der Unterricht beginnt um 8:12 Uhr. Welchen Bus 100 muss Hanna spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:12 Uhr: 7:14, 7:29, 7:44, 7:59 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:59 Uhr an.
3. Er fährt um 7:34 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:34 Uhr
●28
Tom sagt: „Ein Zaun von 50 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 50 : 10 = 5 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.
Ergebnis:
Nein, 6 Pfähle
●29
Im Kino sitzt Sofia auf Platz 7 von links. Zwischen Sofia und Lina sitzen 2 Kinder, Lina sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Lina?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 7 ist Sofia, dann 2 Plätze dazwischen.
2. 7 + 2 + 1 = 10
Ergebnis:
Platz 10
●30
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Mia braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 16:45 Uhr.
2. Noch 31 Minuten früher: 16:14 Uhr.
Ergebnis:
16:14 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 8:08 Uhr. Welchen Bus 100 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
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Ergebnis:
den um 7:32 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ein Zaun ist 30 m lang. Alle 5 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
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Ergebnis:
7 Zaunpfähle
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Can braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
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Ergebnis:
15:04 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 40 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
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Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,00 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
Die 5c mit 20 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 100 € für alle zusammen, der Eintritt 9 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
14 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je ein Heft für 11 € und je eine Mappe für 5 €.“
(A) 4 · 11 + 5
(B) 4 · (11 + 5)
(C) 4 + 11 · 5
Lösung zeigen
Ergebnis:
B: 4 · (11 + 5)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Die Tore im Finale fehlen
Die Tore im Finale fehlen
480 km
18 Minuten
den um 7:20 Uhr
los um 7:18 Uhr, an um 7:35 Uhr
8 Laternen
Nein, 11 Pfähle
72 m
15:37 Uhr
19 €
32 €
6 Fahrräder, 1 Dreirad
3 Kaninchen
10 Dreiräder
die Packung
1,00 €
0,80 €
273 €
266 €
40 km
B: 5 · 12 + 9
A, 88 €
B, 47 €
154 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
A, 270 Bücher
den um 7:34 Uhr
Nein, 6 Pfähle
Platz 10
16:14 Uhr
Der Preis für Erwachsene fehlt
den um 7:32 Uhr
7 Zaunpfähle
15:04 Uhr
4 Sechsertische
1,00 €
14 €
B: 4 · (11 + 5)
10:45 Uhr
1.200 cm