Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 8:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1 h 30 min
    2. 8:30 + 1:30 = 10:00 Uhr
    Ergebnis:
    10:00 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 7 m in cm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 100 cm
    2. 7 · 100 = 700 cm
    Ergebnis:
    700 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 35 Tore geschossen. Zum Finale kamen 279 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
11 Spiele35 Tore279 Zuschauer
Schritt für Schritt
  1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
  2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
  3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
  1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
  2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
  3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die 5b fährt mit 24 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 105 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    24 Kindern4 €105 Minuten
    So fängst du an:
    Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    Lösung zeigen
    1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    2. Die Dauer ist da: 105 Minuten.
    3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt
  2. ●2
    Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    26 Kindern8 €110 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
    3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt
  3. ★3
    27 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
    27 Kinder2 Lehrkräfte9 km6 €
    Lösung zeigen
    1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 9 km = 18 km.
    2. 27 Kinder: 27 · 18 km = 486 km
    3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
    Ergebnis:
    486 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Noah ist um 6:46 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus 248?
Bus 248Hauptstraße abSchule an6:396:526:547:077:097:227:247:37
Schritt für Schritt
  1. Der nächste fährt um 6:54 Uhr.
  2. Von 6:46 bis 6:54 Uhr sind es 8 Minuten.
  1. Der nächste fährt um 6:54 Uhr.
  2. Von 6:46 bis 6:54 Uhr sind es 8 Minuten.
Ergebnis:
8 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:487:066:587:167:087:267:187:36
    So fängst du an:
    Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:06 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:06 Uhr.
    2. Von 6:48 bis 7:06 Uhr sind es 18 Minuten.
    Ergebnis:
    18 Minuten
  2. ●5
    Der Unterricht beginnt um 7:55 Uhr. Welchen Bus X34 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:537:097:087:247:237:397:387:54
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:55 Uhr: 7:09, 7:24, 7:39, 7:54 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:54 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:38 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:38 Uhr
  3. ★6
    Der Unterricht beginnt um 7:54 Uhr. Welchen Bus 100 muss Mia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:517:047:067:197:217:347:367:49
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:54 Uhr: 7:04, 7:19, 7:34, 7:49 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:49 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:36 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:36 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 13 Bäume im Abstand von 6 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
6 m6 m6 m…?
Schritt für Schritt
  1. 13 Bäume haben 12 Abstände dazwischen.
  2. 12 · 6 m = 72 m
  1. 13 Bäume haben 12 Abstände dazwischen.
  2. 12 · 6 m = 72 m
Ergebnis:
72 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Tom sagt: „Ein Zaun von 42 m mit einem Pfahl alle 6 m braucht 7 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    6 m6 m6 m…?
    So fängst du an:
    42 : 6 = 7 ist die Zahl der Abstände.
    Lösung zeigen
    1. 42 : 6 = 7 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 8.
    Ergebnis:
    Nein, 8 Pfähle
  2. ●8
    Emma sagt: „Ein Zaun von 18 m mit einem Pfahl alle 2 m braucht 9 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    1. 18 : 2 = 9 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.
    Ergebnis:
    Nein, 10 Pfähle
  3. ★9
    Entlang eines Weges stehen 6 Laternen im Abstand von 6 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    6 m6 m6 m…?
    Lösung zeigen
    1. 6 Laternen haben 5 Abstände dazwischen.
    2. 5 · 6 m = 30 m
    Ergebnis:
    30 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Mia braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 18 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
WegUmziehen?17:00 Uhr
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 16:55 Uhr.
  2. Noch 18 Minuten früher: 16:37 Uhr.
  1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 16:55 Uhr.
  2. Noch 18 Minuten früher: 16:37 Uhr.
Ergebnis:
16:37 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Emma kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Emma 10 € geschenkt und hat jetzt 29 €. Wie viel Geld hatte Emma am Anfang?
    ?− 14 €+ 10 €29 €
    So fängst du an:
    Rückwärts, zuerst das Geschenk: 29 € − 10 € = 19 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 29 € − 10 € = 19 €
    2. Dann den Kauf: 19 € + 14 € = 33 €
    Ergebnis:
    33 €
  2. ●11
    Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Elias braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:15 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 16:02 Uhr.
    2. Noch 15 Minuten früher: 15:47 Uhr.
    Ergebnis:
    15:47 Uhr
  3. ★12
    Emma verschenkt 8 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Emma noch 10 Karten dazu. Jetzt sind es 40. Wie viele Karten waren es am Anfang?
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: 40 − 10 = 30
    2. Verdoppeln rückgängig: 30 : 2 = 15
    3. Verschenken rückgängig: 15 + 8 = 23
    Ergebnis:
    23 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere mit 28 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Kaninchen0123…Beine????
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
  2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 2 Hühner und 6 Kaninchen: 2 · 2 + 6 · 4 = 28
  1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
  2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 2 Hühner und 6 Kaninchen: 2 · 2 + 6 · 4 = 28
Ergebnis:
6 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 7 Fahrzeuge mit 20 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    So fängst du an:
    Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
    2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
    3. 1 Fahrrad und 6 Dreiräder: 1 · 2 + 6 · 3 = 20
    Ergebnis:
    6 Dreiräder
  2. ●14
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 6 Fahrzeuge mit 16 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
    2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
    3. 2 Fahrräder und 4 Dreiräder: 2 · 2 + 4 · 3 = 16
    Ergebnis:
    4 Dreiräder
  3. ★15
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 14 Tiere mit 36 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 7 Hühner und 7 Kaninchen ergeben 42 Beine.
    2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 10 Hühner und 4 Kaninchen: 10 · 2 + 4 · 4 = 36
    Ergebnis:
    4 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 15,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
Schritt für Schritt
  1. 10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
  2. Packung: 15,30 €
  3. Einzeln ist günstiger.
  1. 10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
  2. Packung: 15,30 €
  3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Bleistift kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 9,80 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
    einzeln1 Bleistift1,80 €Packung6 Bleistiften9,80 €
    So fängst du an:
    6 einzeln: 6 · 1,80 € = 10,80 €
    Lösung zeigen
    1. 6 einzeln: 6 · 1,80 € = 10,80 €
    2. Packung: 9,80 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung
  2. ●17
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
    2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    0,67 €
  3. ★18
    Eine Saftflasche kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 17,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
    Lösung zeigen
    1. 10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
    2. Packung: 17,40 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 22 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 132 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
22 Kindern132 €7 €
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 132 € : 22 = 6 €
  3. 6 € + 7 € = 13 €
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 132 € : 22 = 6 €
  3. 6 € + 7 € = 13 €
Ergebnis:
13 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In der Klassenkasse sind 403 €. Der Förderverein gibt 112 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 7 € für jedes der 28 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    403 €112 €7 €28 Kinder
    So fängst du an:
    Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 403 € + 112 € = 515 €; Kosten: 28 · 7 € = 196 €
    3. 515 € − 196 € = 319 €
    Ergebnis:
    319 €
  2. ●20
    In der Klassenkasse sind 267 €. Der Förderverein gibt 106 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 5 € für jedes der 20 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    267 €106 €5 €20 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 267 € + 106 € = 373 €; Kosten: 20 · 5 € = 100 €
    3. 373 € − 100 € = 273 €
    Ergebnis:
    273 €
  3. ★21
    Die 5c mit 25 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 200 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    25 Kindern200 €5 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 200 € : 25 = 8 €
    3. 8 € + 5 € = 13 €
    Ergebnis:
    13 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 8 € und je ein Getränk für 7 €.“
(A) 3 · 8 + 7
(B) 3 · (8 + 7)
(C) 3 + 8 · 7
Schritt für Schritt
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
  2. Passend: 3 · (8 + 7) = 45
  3. Richtig ist B.
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
  2. Passend: 3 · (8 + 7) = 45
  3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 3 · (8 + 7)

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · 13 + 6? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „3 Kinder kaufen je ein Heft für 13 €. Dazu kommt eine Mappe für 6 € für alle.“
    (B) „3 Kinder kaufen je ein Heft für 13 € und je eine Mappe für 6 €.“
    So fängst du an:
    Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist A.
    3. 3 · 13 + 6 = 45
    Ergebnis:
    A, 45 €
  2. ●23
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · 6 + 6? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 6 € und je ein Getränk für 6 €.“
    (B) „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 6 €. Dazu kommt ein Getränk für 6 € für alle.“
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist B.
    3. 3 · 6 + 6 = 24
    Ergebnis:
    B, 24 €
  3. ★24
    Erfinde zu 4 · (8 + 9) eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
    2. „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 8 € und je ein Getränk für 9 €.“
    3. 4 · (8 + 9) = 68
    Ergebnis:
    68 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 16 Tore geschossen. Zum Finale kamen 261 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    12 Spiele16 Tore261 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 12 Spiele.
    2. 15 − 12 = 3
    3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
    Ergebnis:
    3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  2. ●26
    In der Klasse sind 29 Kinder. Sie spielen in 5 gleich großen Teams, wer übrig bleibt, pfeift. Wie viele Kinder pfeifen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
    29 Kinder5
    Lösung zeigen
    1. 29 : 5 = 5 Rest 4
    2. 4 Kinder pfeifen.
    Ergebnis:
    lösbar, 4
  3. ●27
    Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:457:036:557:137:057:237:157:33
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:45 Uhr, an 7:03 Uhr.
    2. Von 6:45 bis 7:03 Uhr sind es 18 Minuten.
    Ergebnis:
    18 Minuten
  4. ●28
    Milan sagt: „Ein Zaun von 24 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 8 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    3 m3 m3 m…?
    Lösung zeigen
    1. 24 : 3 = 8 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 9.
    Ergebnis:
    Nein, 9 Pfähle
  5. ●29
    In der Schlange vor der Mensa steht Aylin an 13. Stelle von vorn und an 11. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
    1311
    Lösung zeigen
    1. Skizze: vorn 12 Kinder, dann Aylin, dahinter 10 Kinder.
    2. 12 + 1 + 10 = 23
    Ergebnis:
    23 Kinder
  6. ●30
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Zeynep braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 16:48 Uhr.
    2. Noch 34 Minuten früher: 16:14 Uhr.
    Ergebnis:
    16:14 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 35 Tore geschossen. Zum Finale kamen 474 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    10 Spiele35 Tore474 Zuschauer
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Lina ist um 6:54 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lina auf den nächsten Bus X34?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:527:197:027:297:127:397:227:49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Minuten

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Entlang eines Weges stehen 5 Bäume im Abstand von 3 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    3 m3 m3 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 m

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Tom kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Tom 8 € geschenkt und hat jetzt 20 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?
    ?− 7 €+ 8 €20 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    19 €

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 36 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Sechsertische

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,50 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,67 €

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    In der Klassenkasse sind 410 €. Der Förderverein gibt 96 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 5 € für jedes der 29 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    410 €96 €5 €29 Kinder
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    361 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je ein Heft für 6 € und je eine Mappe für 8 €.“
    (A) 6 · 6 + 8
    (B) 6 + 6 · 8
    (C) 6 · (6 + 8)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    C: 6 · (6 + 8)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. Der Beginn des Films fehlt
  2. Der Beginn des Films fehlt
  3. 486 km
  4. 18 Minuten
  5. den um 7:38 Uhr
  6. den um 7:36 Uhr
  7. Nein, 8 Pfähle
  8. Nein, 10 Pfähle
  9. 30 m
  10. 33 €
  11. 15:47 Uhr
  12. 23 Karten
  13. 6 Dreiräder
  14. 4 Dreiräder
  15. 4 Kaninchen
  16. die Packung
  17. 0,67 €
  18. die Packung
  19. 319 €
  20. 273 €
  21. 13 €
  22. A, 45 €
  23. B, 24 €
  24. 68 €
  25. 3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  26. lösbar, 4
  27. 18 Minuten
  28. Nein, 9 Pfähle
  29. 23 Kinder
  30. 16:14 Uhr
  31. Die Tore im Finale fehlen
  32. 8 Minuten
  33. 12 m
  34. 19 €
  35. 2 Sechsertische
  36. 1,67 €
  37. 361 €
  38. C: 6 · (6 + 8)
  39. 10:00 Uhr
  40. 700 cm