Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:45 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 10:45 + 1:00 = 11:45 Uhr
Ergebnis:
11:45 Uhr
●40
Rechne um: 5 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 5 · 100 = 500 cm
Ergebnis:
500 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 34 Tore geschossen. Zum Finale kamen 402 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Ergebnis:

Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
22 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 11 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●2
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
★3
Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 95 Minuten. Der Film beginnt um 9:00 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
Lösung zeigen
1. 95 Minuten sind 1 Stunde und 35 Minuten.
2. 9:00 Uhr plus 95 Minuten: 10:35 Uhr
3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
Ergebnis:
10:35 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:15 Uhr.
Von 6:48 bis 7:15 Uhr sind es 27 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:15 Uhr.
Von 6:48 bis 7:15 Uhr sind es 27 Minuten.

Ergebnis:

27 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Hanna ist um 6:54 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus X34?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 6:59 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:59 Uhr.
2. Von 6:54 bis 6:59 Uhr sind es 5 Minuten.
Ergebnis:
5 Minuten
●5
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:56 Uhr.
2. Von 6:39 bis 6:56 Uhr sind es 17 Minuten.
Ergebnis:
17 Minuten
★6
Der Unterricht beginnt um 7:53 Uhr. Welchen Bus M29 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:53 Uhr: 6:59, 7:14, 7:29, 7:44 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:44 Uhr an.
3. Er fährt um 7:26 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:26 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ein Zaun ist 60 m lang. Alle 6 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?

Schritt für Schritt

Abstände: 60 : 6 = 10
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
10 + 1 = 11

Abstände: 60 : 6 = 10
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
10 + 1 = 11

Ergebnis:

11 Zaunpfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Zaun ist 21 m lang. Alle 3 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
So fängst du an:
Abstände: 21 : 3 = 7
Lösung zeigen
1. Abstände: 21 : 3 = 7
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 7 + 1 = 8
Ergebnis:
8 Zaunpfähle
●8
Lina sagt: „Ein Zaun von 36 m mit einem Pfahl alle 6 m braucht 6 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 36 : 6 = 6 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 7.
Ergebnis:
Nein, 7 Pfähle
★9
Ben sagt: „Ein Zaun von 92 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 23 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 92 : 4 = 23 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 24.
Ergebnis:
Nein, 24 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Aylin kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Aylin 8 € geschenkt und hat jetzt 31 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 31 € − 8 € = 23 €
Dann den Kauf: 23 € + 17 € = 40 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 31 € − 8 € = 23 €
Dann den Kauf: 23 € + 17 € = 40 €

Ergebnis:

40 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Paul kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Paul 4 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 4 € = 24 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 4 € = 24 €
2. Dann den Kauf: 24 € + 14 € = 38 €
Ergebnis:
38 €
●11
Aylin kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Aylin 7 € geschenkt und hat jetzt 31 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 31 € − 7 € = 24 €
2. Dann den Kauf: 24 € + 9 € = 33 €
Ergebnis:
33 €
★12
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Zeynep braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 16:49 Uhr.
2. Noch 29 Minuten früher: 16:20 Uhr.
Ergebnis:
16:20 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 6 Tiere mit 20 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
2 Hühner und 4 Kaninchen: 2 · 2 + 4 · 4 = 20

Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
2 Hühner und 4 Kaninchen: 2 · 2 + 4 · 4 = 20

Ergebnis:

4 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa zählt Can 5 Tische und 28 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Vierertisch und 4 Sechsertische: 1 · 4 + 4 · 6 = 28
Ergebnis:
1 Vierertisch, 4 Sechsertische
●14
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 6 Tische mit 34 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Vierertisch und 5 Sechsertische: 1 · 4 + 5 · 6 = 34
Ergebnis:
5 Sechsertische
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 12 Fahrzeuge mit 34 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 6 Fahrräder und 6 Dreiräder ergeben 30 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 2 Fahrräder und 10 Dreiräder: 2 · 2 + 10 · 3 = 34
Ergebnis:
10 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Müsliriegel kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 5,10 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?

Schritt für Schritt

6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
Packung: 5,10 €
Die Packung ist günstiger.

6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
Packung: 5,10 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €
●17
Eine Saftflasche kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 24,70 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
2. Packung: 24,70 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Ein Tennisball kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 11,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
2. Packung: 11,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 401 €. Der Förderverein gibt 67 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 5 € für jedes der 23 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?

Schritt für Schritt

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 401 € + 67 € = 468 €; Kosten: 23 · 5 € = 115 €
468 € − 115 € = 353 €

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 401 € + 67 € = 468 €; Kosten: 23 · 5 € = 115 €
468 € − 115 € = 353 €

Ergebnis:

353 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
Die 5c mit 28 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 196 € für alle zusammen, der Eintritt 8 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 196 € : 28 = 7 €
3. 7 € + 8 € = 15 €
Ergebnis:
15 €
●20
Die 5c mit 28 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 252 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 252 € : 28 = 9 €
3. 9 € + 5 € = 14 €
Ergebnis:
14 €
★21
In der Klassenkasse sind 312 €. Der Förderverein gibt 84 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 7 € für jedes der 20 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 312 € + 84 € = 396 €; Kosten: 20 · 7 € = 140 €
3. 396 € − 140 € = 256 €
Ergebnis:
256 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je ein Heft für 12 €. Dazu kommt eine Mappe für 2 € für alle.“
(A) 6 + 12 · 2
(B) 6 · 12 + 2
(C) 6 · (12 + 2)

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 6 · 12 + 2 = 74
Richtig ist B.

Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 6 · 12 + 2 = 74
Richtig ist B.

Ergebnis:

B: 6 · 12 + 2

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · (8 + 7)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 8 € und je eine Mappe für 7 €.“
(B) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 8 €. Dazu kommt eine Mappe für 7 € für alle.“
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
2. Passend ist A.
3. 5 · (8 + 7) = 75
Ergebnis:
A, 75 €
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · (8 + 5)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „8 Kinder kaufen je ein Ticket für 8 €. Dazu kommt ein Getränk für 5 € für alle.“
(B) „8 Kinder kaufen je ein Ticket für 8 € und je ein Getränk für 5 €.“
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
2. Passend ist B.
3. 8 · (8 + 5) = 104
Ergebnis:
B, 104 €
★24
Erfinde zu 3 · (17 + 6) eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
2. „3 Kinder kaufen je ein Heft für 17 € und je eine Mappe für 6 €.“
3. 3 · (17 + 6) = 69
Ergebnis:
69 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
23 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 6 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 23 Kinder und 5 €.
2. 23 · 5 € = 115 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
115 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 6 Böden mit je 8 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Bücher stehen im Regal? B: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? C: Wie viel kostet ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 6 · 8 = 48.
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A, 48 Bücher
●27
Jonas ist um 6:47 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Jonas auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:59 Uhr.
2. Von 6:47 bis 6:59 Uhr sind es 12 Minuten.
Ergebnis:
12 Minuten
●28
Ein Weg ist 20 m lang. Alle 5 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 20 : 5 = 4
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 4 + 1 = 5
Ergebnis:
5 Laternen
●29
Im Kino sitzt Hanna auf Platz 7 von links. Zwischen Hanna und Mia sitzen 2 Kinder, Mia sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Mia?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 7 ist Hanna, dann 2 Plätze dazwischen.
2. 7 + 2 + 1 = 10
Ergebnis:
Platz 10
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Hanna braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 33 Minuten für den Weg. Wann muss Hanna spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:53 Uhr.
2. Noch 33 Minuten früher: 15:20 Uhr.
Ergebnis:
15:20 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 37 Tore geschossen. Zum Finale kamen 343 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
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Ergebnis:
15 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Emma sagt: „Ein Zaun von 14 m mit einem Pfahl alle 2 m braucht 7 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
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Ergebnis:
Nein, 8 Pfähle
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Milan braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 24 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
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Ergebnis:
16:26 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
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Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 5 Fahrzeuge mit 14 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
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Ergebnis:
4 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
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Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,33 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
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Die 5c mit 23 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 92 € für alle zusammen, der Eintritt 8 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
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Ergebnis:
12 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
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Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je ein Heft für 13 € und je eine Mappe für 7 €.“
(A) 8 · 13 + 7
(B) 8 + 13 · 7
(C) 8 · (13 + 7)
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Ergebnis:
C: 8 · (13 + 7)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Preis für Erwachsene fehlt
Der Beginn des Films fehlt
10:35 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
5 Minuten
17 Minuten
den um 7:26 Uhr
8 Zaunpfähle
Nein, 7 Pfähle
Nein, 24 Pfähle
38 €
33 €
16:20 Uhr
1 Vierertisch, 4 Sechsertische
5 Sechsertische
10 Dreiräder
0,67 €
die Packung
die Packung
15 €
14 €
256 €
A, 75 €
B, 104 €
69 €
115 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
A, 48 Bücher
12 Minuten
5 Laternen
Platz 10
15:20 Uhr
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
15 Minuten
Nein, 8 Pfähle
16:26 Uhr
4 Dreiräder
1,33 €
12 €
C: 8 · (13 + 7)
11:45 Uhr
500 cm