Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 10:45 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1 h 30 min
    2. 10:45 + 1:30 = 12:15 Uhr
    Ergebnis:
    12:15 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 8 m in cm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 100 cm
    2. 8 · 100 = 800 cm
    Ergebnis:
    800 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
22 Kindern5 €95 Minuten
Schritt für Schritt
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    30 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    30 Kinder2 Lehrkräfte9 km3 €
    So fängst du an:
    Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    2. Die Anzahl ist da: 2.
    3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt
  2. ●2
    22 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    22 Kinder3 Lehrkräfte16 km3 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    2. Die Anzahl ist da: 3.
    3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt
  3. ★3
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 35 Tore geschossen. Zum Finale kamen 222 Zuschauer. Wie viele Karten zu 3 € wurden für das Finale verkauft, wenn alle Zuschauer eine Karte hatten? Wie viel Geld kam zusammen?
    6 Spiele35 Tore222 Zuschauer3 €
    Lösung zeigen
    1. Karten: 222, so viele wie Zuschauer.
    2. 222 · 3 € = 666 €
    3. Nicht gebraucht: Spiele und Tore.
    Ergebnis:
    222 Karten, 666 €

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:30 Uhr. Welchen Bus X34 muss Elias spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Bus X34Hauptstraße abSchule an6:547:087:047:187:147:287:247:38
Schritt für Schritt
  1. Ankunft vor 7:30 Uhr: 7:08, 7:18, 7:28 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:28 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:14 Uhr ab.
  1. Ankunft vor 7:30 Uhr: 7:08, 7:18, 7:28 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:28 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:14 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:14 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeynep ist um 6:46 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Zeynep auf den nächsten Bus 248?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:457:097:057:297:257:497:458:09
    So fängst du an:
    Der nächste fährt um 7:05 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:05 Uhr.
    2. Von 6:46 bis 7:05 Uhr sind es 19 Minuten.
    Ergebnis:
    19 Minuten
  2. ●5
    Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:437:036:587:187:137:337:287:48
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:43 Uhr, an 7:03 Uhr.
    2. Von 6:43 bis 7:03 Uhr sind es 20 Minuten.
    Ergebnis:
    20 Minuten
  3. ★6
    Milan ist um 6:52 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Milan auf den nächsten Bus 248?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:476:596:577:097:077:197:177:29
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 6:57 Uhr.
    2. Von 6:52 bis 6:57 Uhr sind es 5 Minuten.
    Ergebnis:
    5 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Milan sagt: „Ein Zaun von 110 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
10 m10 m10 m…?
Schritt für Schritt
  1. 110 : 10 = 11 ist die Zahl der Abstände.
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.
  1. 110 : 10 = 11 ist die Zahl der Abstände.
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.
Ergebnis:
Nein, 12 Pfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Entlang eines Weges stehen 9 Bäume im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    5 m5 m5 m…?
    So fängst du an:
    9 Bäume haben 8 Abstände dazwischen.
    Lösung zeigen
    1. 9 Bäume haben 8 Abstände dazwischen.
    2. 8 · 5 m = 40 m
    Ergebnis:
    40 m
  2. ●8
    Entlang eines Weges stehen 8 Bäume im Abstand von 3 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    3 m3 m3 m…?
    Lösung zeigen
    1. 8 Bäume haben 7 Abstände dazwischen.
    2. 7 · 3 m = 21 m
    Ergebnis:
    21 m
  3. ★9
    Ein Zaun ist 90 m lang. Alle 5 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    5 m5 m5 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 90 : 5 = 18
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 18 + 1 = 19
    Ergebnis:
    19 Zaunpfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Sofia braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 17 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
WegUmziehen?16:00 Uhr
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:51 Uhr.
  2. Noch 17 Minuten früher: 15:34 Uhr.
  1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:51 Uhr.
  2. Noch 17 Minuten früher: 15:34 Uhr.
Ergebnis:
15:34 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Aylin kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Aylin 5 € geschenkt und hat jetzt 27 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
    ?− 6 €+ 5 €27 €
    So fängst du an:
    Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 5 € = 22 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 5 € = 22 €
    2. Dann den Kauf: 22 € + 6 € = 28 €
    Ergebnis:
    28 €
  2. ●11
    Milan kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Milan 11 € geschenkt und hat jetzt 36 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?
    ?− 18 €+ 11 €36 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 36 € − 11 € = 25 €
    2. Dann den Kauf: 25 € + 18 € = 43 €
    Ergebnis:
    43 €
  3. ★12
    Jonas kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Jonas 5 € geschenkt und hat jetzt 17 €. Wie viel Geld hatte Jonas am Anfang?
    ?− 6 €+ 5 €17 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 5 € = 12 €
    2. Dann den Kauf: 12 € + 6 € = 18 €
    Ergebnis:
    18 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Sofia 10 Tiere und 28 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Kaninchen0123…Beine????
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
  2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
  3. 6 Hühner und 4 Kaninchen: 6 · 2 + 4 · 4 = 28
  1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
  2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
  3. 6 Hühner und 4 Kaninchen: 6 · 2 + 4 · 4 = 28
Ergebnis:
6 Hühner, 4 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 9 Fahrzeuge mit 23 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    So fängst du an:
    Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
    2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
    3. 4 Fahrräder und 5 Dreiräder: 4 · 2 + 5 · 3 = 23
    Ergebnis:
    5 Dreiräder
  2. ●14
    In der Mensa zählt Zeynep 9 Tische und 38 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Vierertische0123…Plätze????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
    2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 8 Vierertische und 1 Sechsertisch: 8 · 4 + 1 · 6 = 38
    Ergebnis:
    8 Vierertische, 1 Sechsertisch
  3. ★15
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 15 Fahrzeuge mit 39 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 8 Fahrräder und 7 Dreiräder ergeben 37 Räder.
    2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
    3. 6 Fahrräder und 9 Dreiräder: 6 · 2 + 9 · 3 = 39
    Ergebnis:
    9 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Müsliriegel kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 8,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
einzeln1 Müsliriegel0,90 €Packung10 Riegeln8,40 €
Schritt für Schritt
  1. 10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
  2. Packung: 8,40 €
  3. Die Packung ist günstiger.
  1. 10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
  2. Packung: 8,40 €
  3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,00 €
    So fängst du an:
    Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
    2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    1,33 €
  2. ●17
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,50 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
    2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
    Ergebnis:
    1,00 €
  3. ★18
    Eine Fahrt kostet 3,50 €. Eine Monatskarte kostet 40,00 €. Milan fährt im Monat 28-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
    Einzelfahrt1 Fahrt3,50 €Monatskartebeliebig oft40,00 €
    Lösung zeigen
    1. Einzeln: 28 · 3,50 € = 98,00 €
    2. Monatskarte: 40,00 €
    3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
    Ergebnis:
    Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 30 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 210 € für alle zusammen, der Eintritt 3 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
30 Kindern210 €3 €
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 210 € : 30 = 7 €
  3. 7 € + 3 € = 10 €
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 210 € : 30 = 7 €
  3. 7 € + 3 € = 10 €
Ergebnis:
10 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In der Klassenkasse sind 419 €. Der Förderverein gibt 77 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 6 € für jedes der 23 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    419 €77 €6 €23 Kinder
    So fängst du an:
    Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 419 € + 77 € = 496 €; Kosten: 23 · 6 € = 138 €
    3. 496 € − 138 € = 358 €
    Ergebnis:
    358 €
  2. ●20
    Die 5c mit 30 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 210 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    30 Kindern210 €7 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 210 € : 30 = 7 €
    3. 7 € + 7 € = 14 €
    Ergebnis:
    14 €
  3. ★21
    Die 5c mit 30 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 210 € für alle zusammen, der Eintritt 3 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    30 Kindern210 €3 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 210 € : 30 = 7 €
    3. 7 € + 3 € = 10 €
    Ergebnis:
    10 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 7 + 4? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 7 € und je ein Getränk für 4 €.“
(B) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 7 €. Dazu kommt ein Getränk für 4 € für alle.“
Schritt für Schritt
  1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend ist B.
  3. 5 · 7 + 4 = 39
  1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend ist B.
  3. 5 · 7 + 4 = 39
Ergebnis:
B, 39 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je einen Ball für 12 € und je eine Pumpe für 4 €.“
    (A) 4 + 12 · 4
    (B) 4 · (12 + 4)
    (C) 4 · 12 + 4
    So fängst du an:
    Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
    2. Passend: 4 · (12 + 4) = 64
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B: 4 · (12 + 4)
  2. ●23
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · 6 + 8? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 6 €. Dazu kommt eine Pumpe für 8 € für alle.“
    (B) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 6 € und je eine Pumpe für 8 €.“
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist A.
    3. 8 · 6 + 8 = 56
    Ergebnis:
    A, 56 €
  3. ★24
    Erfinde zu 6 · 25 + 9 eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. „6 Kinder kaufen je einen Ball für 25 €. Dazu kommt eine Pumpe für 9 € für alle.“
    3. 6 · 25 + 9 = 159
    Ergebnis:
    159 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    22 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 11 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    22 Kinder2 Lehrkräfte11 km7 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 22 Kinder und 7 €.
    2. 22 · 7 € = 154 €
    3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
    Ergebnis:
    154 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  2. ●26
    Auf einem Schiff sind 21 Schafe und 30 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
    21 Schafe30 Ziegen
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben handeln von Tieren.
    2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
    3. Die Frage kann man nicht beantworten.
    Ergebnis:
    nicht lösbar
  3. ●27
    Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:507:127:107:327:307:527:508:12
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:50 Uhr, an 7:12 Uhr.
    2. Von 6:50 bis 7:12 Uhr sind es 22 Minuten.
    Ergebnis:
    22 Minuten
  4. ●28
    Paul sagt: „Ein Zaun von 36 m mit einem Pfahl alle 6 m braucht 6 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    6 m6 m6 m…?
    Lösung zeigen
    1. 36 : 6 = 6 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 7.
    Ergebnis:
    Nein, 7 Pfähle
  5. ●29
    In der Schlange vor der Mensa steht Milan an 4. Stelle von vorn und an 6. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
    46
    Lösung zeigen
    1. Skizze: vorn 3 Kinder, dann Milan, dahinter 5 Kinder.
    2. 3 + 1 + 5 = 9
    Ergebnis:
    9 Kinder
  6. ●30
    Noah kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Noah 11 € geschenkt und hat jetzt 29 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
    ?− 9 €+ 11 €29 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 29 € − 11 € = 18 €
    2. Dann den Kauf: 18 € + 9 € = 27 €
    Ergebnis:
    27 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    25 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 11 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    25 Kinder3 Lehrkräfte11 km3 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Der Unterricht beginnt um 7:35 Uhr. Welchen Bus 100 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:427:106:527:207:027:307:127:40
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    den um 7:02 Uhr

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Ein Weg ist 25 m lang. Alle 5 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
    5 m5 m5 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Laternen

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Emma kauft ein Buch für 11 €. Danach bekommt Emma 8 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Emma am Anfang?
    ?− 11 €+ 8 €24 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    27 €

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 9 Tiere mit 26 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Kaninchen

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,00 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,33 €

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    Die 5c mit 25 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 200 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    25 Kindern200 €7 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 € und je ein Getränk für 8 €.“
    (A) 3 · 13 + 8
    (B) 3 + 13 · 8
    (C) 3 · (13 + 8)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    C: 3 · (13 + 8)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. Der Preis für Erwachsene fehlt
  2. Der Preis für Erwachsene fehlt
  3. 222 Karten, 666 €
  4. 19 Minuten
  5. 20 Minuten
  6. 5 Minuten
  7. 40 m
  8. 21 m
  9. 19 Zaunpfähle
  10. 28 €
  11. 43 €
  12. 18 €
  13. 5 Dreiräder
  14. 8 Vierertische, 1 Sechsertisch
  15. 9 Dreiräder
  16. 1,33 €
  17. 1,00 €
  18. Ja
  19. 358 €
  20. 14 €
  21. 10 €
  22. B: 4 · (12 + 4)
  23. A, 56 €
  24. 159 €
  25. 154 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  26. nicht lösbar
  27. 22 Minuten
  28. Nein, 7 Pfähle
  29. 9 Kinder
  30. 27 €
  31. Der Preis für Erwachsene fehlt
  32. den um 7:02 Uhr
  33. 6 Laternen
  34. 27 €
  35. 4 Kaninchen
  36. 1,33 €
  37. 15 €
  38. C: 3 · (13 + 8)
  39. 12:15 Uhr
  40. 800 cm