Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:30 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 7:30 + 1:00 = 8:30 Uhr
Ergebnis:
8:30 Uhr
●40
Rechne um: 12 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 12 · 100 = 1.200 cm
Ergebnis:
1.200 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 105 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 105 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Die Dauer ist da: 105 Minuten.
Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.

Ergebnis:

Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 29 Kinder und 6 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 29 Kinder und 6 € je Karte.
2. 29 · 6 € = 174 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
174 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 384 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 30 Tore geschossen. Zum Finale kamen 303 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:41 Uhr, an 7:05 Uhr.
Von 6:41 bis 7:05 Uhr sind es 24 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:41 Uhr, an 7:05 Uhr.
Von 6:41 bis 7:05 Uhr sind es 24 Minuten.

Ergebnis:

24 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:42 Uhr, an 7:02 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:42 Uhr, an 7:02 Uhr.
2. Von 6:42 bis 7:02 Uhr sind es 20 Minuten.
Ergebnis:
20 Minuten
●5
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:46 Uhr, an 6:59 Uhr.
2. Von 6:46 bis 6:59 Uhr sind es 13 Minuten.
Ergebnis:
13 Minuten
★6
Elias braucht 8 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus X34 um 7:00 Uhr nehmen. Wann muss Elias spätestens los, und wann ist Elias an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 8 Minuten vor 7:00 Uhr, also 6:52 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:28 Uhr.
Ergebnis:
los um 6:52 Uhr, an um 7:28 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Milan sagt: „Ein Zaun von 27 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 9 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?

Schritt für Schritt

27 : 3 = 9 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.

27 : 3 = 9 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.

Ergebnis:

Nein, 10 Pfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Entlang eines Weges stehen 5 Laternen im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
So fängst du an:
5 Laternen haben 4 Abstände dazwischen.
Lösung zeigen
1. 5 Laternen haben 4 Abstände dazwischen.
2. 4 · 10 m = 40 m
Ergebnis:
40 m
●8
Ein Weg ist 24 m lang. Alle 6 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 24 : 6 = 4
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 4 + 1 = 5
Ergebnis:
5 Laternen
★9
Ein Weg ist 85 m lang. Alle 5 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 85 : 5 = 17
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 17 + 1 = 18
Ergebnis:
18 Laternen

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Jonas braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 26 Minuten für den Weg. Wann muss Jonas spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 16:03 Uhr.
Noch 26 Minuten früher: 15:37 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 16:03 Uhr.
Noch 26 Minuten früher: 15:37 Uhr.

Ergebnis:

15:37 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Lina kauft ein Buch für 11 €. Danach bekommt Lina 12 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 24 € − 12 € = 12 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 24 € − 12 € = 12 €
2. Dann den Kauf: 12 € + 11 € = 23 €
Ergebnis:
23 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Mia braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 15:52 Uhr.
2. Noch 20 Minuten früher: 15:32 Uhr.
Ergebnis:
15:32 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Noah braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:46 Uhr.
2. Noch 15 Minuten früher: 16:31 Uhr.
Ergebnis:
16:31 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 46 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
7 Vierertische und 3 Sechsertische: 7 · 4 + 3 · 6 = 46

Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
7 Vierertische und 3 Sechsertische: 7 · 4 + 3 · 6 = 46

Ergebnis:

3 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa zählt Lea 10 Tische und 44 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 8 Vierertische und 2 Sechsertische: 8 · 4 + 2 · 6 = 44
Ergebnis:
8 Vierertische, 2 Sechsertische
●14
Im Hof der Kita zählt Sofia 7 Fahrzeuge und 15 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 6 Fahrräder und 1 Dreirad: 6 · 2 + 1 · 3 = 15
Ergebnis:
6 Fahrräder, 1 Dreirad
★15
In der Mensa zählt Mia 11 Tische und 62 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 6 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 54 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Vierertische und 9 Sechsertische: 2 · 4 + 9 · 6 = 62
Ergebnis:
2 Vierertische, 9 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 5,40 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
Packung: 5,40 €
Einzeln ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
Packung: 5,40 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Bleistift kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 8,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
So fängst du an:
6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
2. Packung: 8,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 24,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
2. Packung: 24,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 2,40 €. Eine Monatskarte kostet 45,00 €. Aylin fährt im Monat 19-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 19 · 2,40 € = 45,60 €
2. Monatskarte: 45,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 27 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 108 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 108 € : 27 = 4 €
4 € + 7 € = 11 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 108 € : 27 = 4 €
4 € + 7 € = 11 €

Ergebnis:

11 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
Die 5c mit 24 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 192 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 192 € : 24 = 8 €
3. 8 € + 5 € = 13 €
Ergebnis:
13 €
●20
In der Klassenkasse sind 312 €. Der Förderverein gibt 67 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 5 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 312 € + 67 € = 379 €; Kosten: 30 · 5 € = 150 €
3. 379 € − 150 € = 229 €
Ergebnis:
229 €
★21
Hanna läuft an 5 Tagen in der Woche je 7 Runden auf der 250-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
Lösung zeigen
1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
2. Ein Tag: 7 · 250 m = 1750 m; eine Woche: 5 · 1750 m = 8750 m
3. 4 Wochen: 35.000 m = 35 km
Ergebnis:
35 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · (15 + 5)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „8 Kinder kaufen je ein Heft für 15 € und je eine Mappe für 5 €.“
(B) „8 Kinder kaufen je ein Heft für 15 €. Dazu kommt eine Mappe für 5 € für alle.“

Schritt für Schritt

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
Passend ist A.
8 · (15 + 5) = 160

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
Passend ist A.
8 · (15 + 5) = 160

Ergebnis:

A, 160 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · (6 + 8)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 6 € und je eine Mappe für 8 €.“
(B) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 6 €. Dazu kommt eine Mappe für 8 € für alle.“
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
2. Passend ist A.
3. 5 · (6 + 8) = 70
Ergebnis:
A, 70 €
●23
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je ein Heft für 7 €. Dazu kommt eine Mappe für 9 € für alle.“
(A) 6 · (7 + 9)
(B) 6 · 7 + 9
(C) 6 + 7 · 9
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 6 · 7 + 9 = 51
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 6 · 7 + 9
★24
Welche Geschichte passt zur Rechnung 11 · 20 + 6? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „11 Kinder kaufen je ein Ticket für 20 € und je ein Getränk für 6 €.“
(B) „11 Kinder kaufen je ein Ticket für 20 €. Dazu kommt ein Getränk für 6 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 11-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist B.
3. 11 · 20 + 6 = 226
Ergebnis:
B, 226 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 27 Tore geschossen. Zum Finale kamen 168 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 7 Spiele.
2. 15 − 7 = 8
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●26
In der Klasse sind 22 Kinder. Sie spielen in 5 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Über Tore steht nichts im Text.
2. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:36 Uhr. Welchen Bus 100 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:36 Uhr: 7:10, 7:25 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:25 Uhr an.
3. Er fährt um 7:06 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:06 Uhr
●28
Ein Weg ist 45 m lang. Alle 5 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 45 : 5 = 9
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 9 + 1 = 10
Ergebnis:
10 Laternen
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Lea an 14. Stelle von vorn und an 7. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 13 Kinder, dann Lea, dahinter 6 Kinder.
2. 13 + 1 + 6 = 20
Ergebnis:
20 Kinder
●30
Paul kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Paul 9 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 9 € = 19 €
2. Dann den Kauf: 19 € + 7 € = 26 €
Ergebnis:
26 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 24 Tore geschossen. Zum Finale kamen 132 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Aylin ist um 6:53 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Aylin auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
Ergebnis:
7 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Mia sagt: „Ein Zaun von 80 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 8 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, 9 Pfähle
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Lina kauft ein Buch für 11 €. Danach bekommt Lina 7 € geschenkt und hat jetzt 9 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
13 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 10 Fahrzeuge mit 29 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
9 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
Die 5c mit 25 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 175 € für alle zusammen, der Eintritt 9 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je ein Heft für 6 € und je eine Mappe für 3 €.“
(A) 3 · (6 + 3)
(B) 3 · 6 + 3
(C) 3 + 6 · 3
Lösung zeigen
Ergebnis:
A: 3 · (6 + 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

174 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Die Tore im Finale fehlen
Die Tore im Finale fehlen
20 Minuten
13 Minuten
los um 6:52 Uhr, an um 7:28 Uhr
40 m
5 Laternen
18 Laternen
23 €
15:32 Uhr
16:31 Uhr
8 Vierertische, 2 Sechsertische
6 Fahrräder, 1 Dreirad
2 Vierertische, 9 Sechsertische
die Packung
die Packung
Ja
13 €
229 €
35 km
A, 70 €
B: 6 · 7 + 9
B, 226 €
8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
nicht lösbar
den um 7:06 Uhr
10 Laternen
20 Kinder
26 €
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
7 Minuten
Nein, 9 Pfähle
13 €
9 Dreiräder
0,67 €
16 €
A: 3 · (6 + 3)
8:30 Uhr
1.200 cm