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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 10:45 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0 h 45 min
    2. 10:45 + 0:45 = 11:30 Uhr
    Ergebnis:
    11:30 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 15 cm in mm.
    Lösung zeigen
    1. 1 cm = 10 mm
    2. 15 · 10 = 150 mm
    Ergebnis:
    150 mm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
27 Kindern4 €110 Minuten
Schritt für Schritt
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    27 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 8 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    27 Kinder2 Lehrkräfte8 km3 €
    So fängst du an:
    Gebraucht: 27 Kinder und 3 €.
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 27 Kinder und 3 €.
    2. 27 · 3 € = 81 €
    3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
    Ergebnis:
    81 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  2. ●2
    Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    22 Kindern8 €120 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    2. Die Dauer ist da: 120 Minuten.
    3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt
  3. ★3
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 29 Tore geschossen. Zum Finale kamen 226 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    8 Spiele29 Tore226 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:52 Uhr. Welchen Bus X34 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Bus X34Hauptstraße abSchule an6:537:187:037:287:137:387:237:48
Schritt für Schritt
  1. Ankunft vor 7:52 Uhr: 7:18, 7:28, 7:38, 7:48 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:48 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:23 Uhr ab.
  1. Ankunft vor 7:52 Uhr: 7:18, 7:28, 7:38, 7:48 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:48 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:23 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:23 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lea ist um 7:02 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus M29?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:517:067:117:267:317:467:518:06
    So fängst du an:
    Der nächste fährt um 7:11 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:11 Uhr.
    2. Von 7:02 bis 7:11 Uhr sind es 9 Minuten.
    Ergebnis:
    9 Minuten
  2. ●5
    Aylin ist um 6:54 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Aylin auf den nächsten Bus 100?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:477:147:077:347:277:547:478:14
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:07 Uhr.
    2. Von 6:54 bis 7:07 Uhr sind es 13 Minuten.
    Ergebnis:
    13 Minuten
  3. ★6
    Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:537:217:087:367:237:517:388:06
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:53 Uhr, an 7:21 Uhr.
    2. Von 6:53 bis 7:21 Uhr sind es 28 Minuten.
    Ergebnis:
    28 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 6 Laternen im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
10 m10 m10 m…?
Schritt für Schritt
  1. 6 Laternen haben 5 Abstände dazwischen.
  2. 5 · 10 m = 50 m
  1. 6 Laternen haben 5 Abstände dazwischen.
  2. 5 · 10 m = 50 m
Ergebnis:
50 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Can sagt: „Ein Zaun von 25 m mit einem Pfahl alle 5 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    5 m5 m5 m…?
    So fängst du an:
    25 : 5 = 5 ist die Zahl der Abstände.
    Lösung zeigen
    1. 25 : 5 = 5 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.
    Ergebnis:
    Nein, 6 Pfähle
  2. ●8
    Ein Zaun ist 18 m lang. Alle 3 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    3 m3 m3 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 18 : 3 = 6
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 6 + 1 = 7
    Ergebnis:
    7 Zaunpfähle
  3. ★9
    Entlang eines Weges stehen 8 Laternen im Abstand von 3 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    3 m3 m3 m…?
    Lösung zeigen
    1. 8 Laternen haben 7 Abstände dazwischen.
    2. 7 · 3 m = 21 m
    Ergebnis:
    21 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Jonas braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 32 Minuten für den Weg. Wann muss Jonas spätestens von zu Hause los?
WegUmziehen?15:30 Uhr
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:15 Uhr.
  2. Noch 32 Minuten früher: 14:43 Uhr.
  1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:15 Uhr.
  2. Noch 32 Minuten früher: 14:43 Uhr.
Ergebnis:
14:43 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Milan braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 26 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?15:30 Uhr
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:20 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:20 Uhr.
    2. Noch 26 Minuten früher: 14:54 Uhr.
    Ergebnis:
    14:54 Uhr
  2. ●11
    Jonas kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Jonas 11 € geschenkt und hat jetzt 19 €. Wie viel Geld hatte Jonas am Anfang?
    ?− 7 €+ 11 €19 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 11 € = 8 €
    2. Dann den Kauf: 8 € + 7 € = 15 €
    Ergebnis:
    15 €
  3. ★12
    Zeynep verschenkt 7 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Zeynep noch 8 Karten dazu. Jetzt sind es 46. Wie viele Karten waren es am Anfang?
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: 46 − 8 = 38
    2. Verdoppeln rückgängig: 38 : 2 = 19
    3. Verschenken rückgängig: 19 + 7 = 26
    Ergebnis:
    26 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 10 Tiere mit 38 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Kaninchen0123…Beine????
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
  2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 1 Huhn und 9 Kaninchen: 1 · 2 + 9 · 4 = 38
  1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
  2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 1 Huhn und 9 Kaninchen: 1 · 2 + 9 · 4 = 38
Ergebnis:
9 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im Hof der Kita zählt Hanna 9 Fahrzeuge und 23 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    So fängst du an:
    Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
    2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
    3. 4 Fahrräder und 5 Dreiräder: 4 · 2 + 5 · 3 = 23
    Ergebnis:
    4 Fahrräder, 5 Dreiräder
  2. ●14
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 8 Fahrzeuge mit 21 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
    2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
    3. 3 Fahrräder und 5 Dreiräder: 3 · 2 + 5 · 3 = 21
    Ergebnis:
    5 Dreiräder
  3. ★15
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 10 Fahrzeuge mit 25 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
    2. Das passt genau.
    3. 5 Fahrräder und 5 Dreiräder: 5 · 2 + 5 · 3 = 25
    Ergebnis:
    5 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 18,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
Schritt für Schritt
  1. 10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
  2. Packung: 18,30 €
  3. Einzeln ist günstiger.
  1. 10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
  2. Packung: 18,30 €
  3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Müsliriegel kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 4,20 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?
    einzeln1 Müsliriegel0,90 €Packung4 Riegeln4,20 €
    So fängst du an:
    4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
    Lösung zeigen
    1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
    2. Packung: 4,20 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln
  2. ●17
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,20 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
    2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
    Ergebnis:
    0,80 €
  3. ★18
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,50 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
    2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    1,67 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 281 €. Der Förderverein gibt 117 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 4 € für jedes der 21 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
281 €117 €4 €21 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 281 € + 117 € = 398 €; Kosten: 21 · 4 € = 84 €
  3. 398 € − 84 € = 314 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 281 € + 117 € = 398 €; Kosten: 21 · 4 € = 84 €
  3. 398 € − 84 € = 314 €
Ergebnis:
314 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In der Klassenkasse sind 452 €. Der Förderverein gibt 120 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 3 € für jedes der 25 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    452 €120 €3 €25 Kinder
    So fängst du an:
    Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 452 € + 120 € = 572 €; Kosten: 25 · 3 € = 75 €
    3. 572 € − 75 € = 497 €
    Ergebnis:
    497 €
  2. ●20
    In der Klassenkasse sind 419 €. Der Förderverein gibt 105 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 7 € für jedes der 28 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    419 €105 €7 €28 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 419 € + 105 € = 524 €; Kosten: 28 · 7 € = 196 €
    3. 524 € − 196 € = 328 €
    Ergebnis:
    328 €
  3. ★21
    In der Klassenkasse sind 350 €. Der Förderverein gibt 98 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 9 € für jedes der 23 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    350 €98 €9 €23 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 350 € + 98 € = 448 €; Kosten: 23 · 9 € = 207 €
    3. 448 € − 207 € = 241 €
    Ergebnis:
    241 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · (11 + 9)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „6 Kinder kaufen je ein Ticket für 11 €. Dazu kommt ein Getränk für 9 € für alle.“
(B) „6 Kinder kaufen je ein Ticket für 11 € und je ein Getränk für 9 €.“
Schritt für Schritt
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
  2. Passend ist B.
  3. 6 · (11 + 9) = 120
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
  2. Passend ist B.
  3. 6 · (11 + 9) = 120
Ergebnis:
B, 120 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 €. Dazu kommt ein Getränk für 5 € für alle.“
    (A) 6 + 13 · 5
    (B) 6 · (13 + 5)
    (C) 6 · 13 + 5
    So fängst du an:
    Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 6 · 13 + 5 = 83
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C: 6 · 13 + 5
  2. ●23
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je einen Ball für 8 €. Dazu kommt eine Pumpe für 2 € für alle.“
    (A) 6 + 8 · 2
    (B) 6 · (8 + 2)
    (C) 6 · 8 + 2
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 6 · 8 + 2 = 50
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C: 6 · 8 + 2
  3. ★24
    Erfinde zu 12 · (9 + 4) eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 12.
    2. „12 Kinder kaufen je einen Ball für 9 € und je eine Pumpe für 4 €.“
    3. 12 · (9 + 4) = 156
    Ergebnis:
    156 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 385 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    8 Spiele33 Tore385 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 8 Spiele.
    2. 15 − 8 = 7
    3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
    Ergebnis:
    7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  2. ●26
    Auf einem Schiff sind 31 Schafe und 12 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
    31 Schafe12 Ziegen
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben handeln von Tieren.
    2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
    3. Die Frage kann man nicht beantworten.
    Ergebnis:
    nicht lösbar
  3. ●27
    Der Unterricht beginnt um 7:50 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lina spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:517:127:017:227:117:327:217:42
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:50 Uhr: 7:12, 7:22, 7:32, 7:42 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:42 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:21 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:21 Uhr
  4. ●28
    Entlang eines Weges stehen 10 Zaunpfähle im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    1. 10 Zaunpfähle haben 9 Abstände dazwischen.
    2. 9 · 2 m = 18 m
    Ergebnis:
    18 m
  5. ●29
    In der Schlange vor der Mensa steht Paul an 13. Stelle von vorn und an 5. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
    135
    Lösung zeigen
    1. Skizze: vorn 12 Kinder, dann Paul, dahinter 4 Kinder.
    2. 12 + 1 + 4 = 17
    Ergebnis:
    17 Kinder
  6. ●30
    Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Lina braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 35 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:53 Uhr.
    2. Noch 35 Minuten früher: 15:18 Uhr.
    Ergebnis:
    15:18 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 31 Tore geschossen. Zum Finale kamen 131 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    6 Spiele31 Tore131 Zuschauer
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Der Unterricht beginnt um 8:32 Uhr. Welchen Bus X34 muss Aylin spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:497:137:097:337:297:537:498:13
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    den um 7:49 Uhr

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Ein Zaun ist 12 m lang. Alle 3 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    3 m3 m3 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Zaunpfähle

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Ben braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16:12 Uhr

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    In der Mensa zählt Mia 7 Tische und 32 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Vierertische0123…Plätze????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Vierertische, 2 Sechsertische

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 9,60 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    einzeln

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    In der Klassenkasse sind 451 €. Der Förderverein gibt 82 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 6 € für jedes der 27 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    451 €82 €6 €27 Kinder
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    371 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · 15 + 9? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 15 € und je eine Pumpe für 9 €.“
    (B) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 15 €. Dazu kommt eine Pumpe für 9 € für alle.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B, 129 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. 81 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  2. Der Beginn des Films fehlt
  3. Die Tore im Finale fehlen
  4. 9 Minuten
  5. 13 Minuten
  6. 28 Minuten
  7. Nein, 6 Pfähle
  8. 7 Zaunpfähle
  9. 21 m
  10. 14:54 Uhr
  11. 15 €
  12. 26 Karten
  13. 4 Fahrräder, 5 Dreiräder
  14. 5 Dreiräder
  15. 5 Dreiräder
  16. einzeln
  17. 0,80 €
  18. 1,67 €
  19. 497 €
  20. 328 €
  21. 241 €
  22. C: 6 · 13 + 5
  23. C: 6 · 8 + 2
  24. 156 €
  25. 7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  26. nicht lösbar
  27. den um 7:21 Uhr
  28. 18 m
  29. 17 Kinder
  30. 15:18 Uhr
  31. Die Tore im Finale fehlen
  32. den um 7:49 Uhr
  33. 5 Zaunpfähle
  34. 16:12 Uhr
  35. 5 Vierertische, 2 Sechsertische
  36. einzeln
  37. 371 €
  38. B, 129 €
  39. 11:30 Uhr
  40. 150 mm