Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:30 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 7:30 + 1:00 = 8:30 Uhr
Ergebnis:
8:30 Uhr
●40
Rechne um: 9 € in ct.
Lösung zeigen
1. 1 € = 100 ct
2. 9 · 100 = 900 ct
Ergebnis:
900 ct

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 29 Kinder und 7 € je Karte.
29 · 7 € = 203 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Gebraucht: 29 Kinder und 7 € je Karte.
29 · 7 € = 203 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Ergebnis:

203 €, die Filmdauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 15 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 23 Tore geschossen. Zum Finale kamen 422 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 34 Tore geschossen. Zum Finale kamen 414 Zuschauer. Wie viele Karten zu 3 € wurden für das Finale verkauft, wenn alle Zuschauer eine Karte hatten? Wie viel Geld kam zusammen?
Lösung zeigen
1. Karten: 414, so viele wie Zuschauer.
2. 414 · 3 € = 1.242 €
3. Nicht gebraucht: Spiele und Tore.
Ergebnis:
414 Karten, 1.242 €

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:51 Uhr, an 7:08 Uhr.
Von 6:51 bis 7:08 Uhr sind es 17 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:51 Uhr, an 7:08 Uhr.
Von 6:51 bis 7:08 Uhr sind es 17 Minuten.

Ergebnis:

17 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Elias ist um 6:53 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Elias auf den nächsten Bus 100?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 6:56 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:56 Uhr.
2. Von 6:53 bis 6:56 Uhr sind es 3 Minuten.
Ergebnis:
3 Minuten
●5
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:43 Uhr, an 7:02 Uhr.
2. Von 6:43 bis 7:02 Uhr sind es 19 Minuten.
Ergebnis:
19 Minuten
★6
Der Unterricht beginnt um 8:18 Uhr. Welchen Bus M29 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:18 Uhr: 7:06, 7:26, 7:46, 8:06 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:06 Uhr an.
3. Er fährt um 7:44 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:44 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 8 Zaunpfähle im Abstand von 6 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?

Schritt für Schritt

8 Zaunpfähle haben 7 Abstände dazwischen.
7 · 6 m = 42 m

8 Zaunpfähle haben 7 Abstände dazwischen.
7 · 6 m = 42 m

Ergebnis:

42 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Zaun ist 30 m lang. Alle 3 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
So fängst du an:
Abstände: 30 : 3 = 10
Lösung zeigen
1. Abstände: 30 : 3 = 10
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 10 + 1 = 11
Ergebnis:
11 Zaunpfähle
●8
Entlang eines Weges stehen 13 Bäume im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 13 Bäume haben 12 Abstände dazwischen.
2. 12 · 2 m = 24 m
Ergebnis:
24 m
★9
Ein Weg ist 126 m lang. Alle 6 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 126 : 6 = 21
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 21 + 1 = 22
Ergebnis:
22 Laternen

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Elias braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 16:08 Uhr.
Noch 21 Minuten früher: 15:47 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 16:08 Uhr.
Noch 21 Minuten früher: 15:47 Uhr.

Ergebnis:

15:47 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Can braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 24 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:50 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:50 Uhr.
2. Noch 24 Minuten früher: 16:26 Uhr.
Ergebnis:
16:26 Uhr
●11
Milan kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Milan 9 € geschenkt und hat jetzt 11 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 11 € − 9 € = 2 €
2. Dann den Kauf: 2 € + 8 € = 10 €
Ergebnis:
10 €
★12
Zeynep kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Zeynep 6 € geschenkt und hat jetzt 27 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 6 € = 21 €
2. Dann den Kauf: 21 € + 8 € = 29 €
Ergebnis:
29 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 7 Tiere mit 16 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
6 Hühner und 1 Kaninchen: 6 · 2 + 1 · 4 = 16

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
6 Hühner und 1 Kaninchen: 6 · 2 + 1 · 4 = 16

Ergebnis:

1 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof zählt Paul 8 Tiere und 26 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 3 Hühner und 5 Kaninchen: 3 · 2 + 5 · 4 = 26
Ergebnis:
3 Hühner, 5 Kaninchen
●14
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 40 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 4 Vierertische und 4 Sechsertische: 4 · 4 + 4 · 6 = 40
Ergebnis:
4 Sechsertische
★15
Im Hof der Kita zählt Noah 17 Fahrzeuge und 37 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Fahrräder und 8 Dreiräder ergeben 42 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 14 Fahrräder und 3 Dreiräder: 14 · 2 + 3 · 3 = 37
Ergebnis:
14 Fahrräder, 3 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 11,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

6 einzeln: 6 · 1,80 € = 10,80 €
Packung: 11,40 €
Einzeln ist günstiger.

6 einzeln: 6 · 1,80 € = 10,80 €
Packung: 11,40 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
Ergebnis:
0,80 €
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €
★18
Eine Fahrt kostet 3,00 €. Eine Monatskarte kostet 58,00 €. Can fährt im Monat 10-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 10 · 3,00 € = 30,00 €
2. Monatskarte: 58,00 €
3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
Ergebnis:
Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 25 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 100 € für alle zusammen, der Eintritt 8 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 100 € : 25 = 4 €
4 € + 8 € = 12 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 100 € : 25 = 4 €
4 € + 8 € = 12 €

Ergebnis:

12 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 450 €. Der Förderverein gibt 98 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 5 € für jedes der 29 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 450 € + 98 € = 548 €; Kosten: 29 · 5 € = 145 €
3. 548 € − 145 € = 403 €
Ergebnis:
403 €
●20
Die 5c mit 29 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 203 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 203 € : 29 = 7 €
3. 7 € + 4 € = 11 €
Ergebnis:
11 €
★21
In der Klassenkasse sind 383 €. Der Förderverein gibt 95 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 4 € für jedes der 25 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 383 € + 95 € = 478 €; Kosten: 25 · 4 € = 100 €
3. 478 € − 100 € = 378 €
Ergebnis:
378 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · (15 + 5)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „4 Kinder kaufen je einen Ball für 15 € und je eine Pumpe für 5 €.“
(B) „4 Kinder kaufen je einen Ball für 15 €. Dazu kommt eine Pumpe für 5 € für alle.“

Schritt für Schritt

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
Passend ist A.
4 · (15 + 5) = 80

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
Passend ist A.
4 · (15 + 5) = 80

Ergebnis:

A, 80 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · (12 + 5)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 € und je ein Getränk für 5 €.“
(B) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 €. Dazu kommt ein Getränk für 5 € für alle.“
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
2. Passend ist A.
3. 5 · (12 + 5) = 85
Ergebnis:
A, 85 €
●23
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 11 €. Dazu kommt ein Getränk für 8 € für alle.“
(A) 5 · (11 + 8)
(B) 5 + 11 · 8
(C) 5 · 11 + 8
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 5 · 11 + 8 = 63
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 5 · 11 + 8
★24
Welche Geschichte passt zur Rechnung 9 · 14 + 4? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „9 Kinder kaufen je einen Ball für 14 € und je eine Pumpe für 4 €.“
(B) „9 Kinder kaufen je einen Ball für 14 €. Dazu kommt eine Pumpe für 4 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 9-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist B.
3. 9 · 14 + 4 = 130
Ergebnis:
B, 130 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
29 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
Ein Regal hat 4 Böden. Auf jedem stehen 7 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 4 Böden, 7 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Jonas ist um 6:48 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Jonas auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:53 Uhr.
2. Von 6:48 bis 6:53 Uhr sind es 5 Minuten.
Ergebnis:
5 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 13 Zaunpfähle im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 13 Zaunpfähle haben 12 Abstände dazwischen.
2. 12 · 10 m = 120 m
Ergebnis:
120 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Sofia an 9. Stelle von vorn und an 3. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 8 Kinder, dann Sofia, dahinter 2 Kinder.
2. 8 + 1 + 2 = 11
Ergebnis:
11 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Can braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 28 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:55 Uhr.
2. Noch 28 Minuten früher: 15:27 Uhr.
Ergebnis:
15:27 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
210 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Jonas ist um 6:51 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Jonas auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ein Weg ist 66 m lang. Alle 6 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
12 Laternen
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Paul kauft ein Buch für 11 €. Danach bekommt Paul 12 € geschenkt und hat jetzt 14 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
13 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Sofia 6 Fahrzeuge und 13 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
5 Fahrräder, 1 Dreirad
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Tennisball kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 10,30 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
Die 5c mit 26 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 208 € für alle zusammen, der Eintritt 8 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · (15 + 5)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 15 €. Dazu kommt eine Mappe für 5 € für alle.“
(B) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 15 € und je eine Mappe für 5 €.“
Lösung zeigen
Ergebnis:
B, 120 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Preis für Erwachsene fehlt
Die Tore im Finale fehlen
414 Karten, 1.242 €
3 Minuten
19 Minuten
den um 7:44 Uhr
11 Zaunpfähle
24 m
22 Laternen
16:26 Uhr
10 €
29 €
3 Hühner, 5 Kaninchen
4 Sechsertische
14 Fahrräder, 3 Dreiräder
0,80 €
0,67 €
Nein
403 €
11 €
378 €
A, 85 €
C: 5 · 11 + 8
B, 130 €
Der Preis für Erwachsene fehlt
nicht lösbar
5 Minuten
120 m
11 Kinder
15:27 Uhr
210 €, die Filmdauer brauche ich nicht
6 Minuten
12 Laternen
13 €
5 Fahrräder, 1 Dreirad
einzeln
16 €
B, 120 €
8:30 Uhr
900 ct