Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:45 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 8:45 + 1:00 = 9:45 Uhr
Ergebnis:
9:45 Uhr
●40
Rechne um: 3 cm in mm.
Lösung zeigen
1. 1 cm = 10 mm
2. 3 · 10 = 30 mm
Ergebnis:
30 mm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 28 Tore geschossen. Zum Finale kamen 341 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 9 Spiele.
15 − 9 = 6
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 9 Spiele.
15 − 9 = 6
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 27 Kinder und 6 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 27 Kinder und 6 € je Karte.
2. 27 · 6 € = 162 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
162 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 463 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
25 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 10 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 25 Kinder und 5 €.
2. 25 · 5 € = 125 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
125 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Jonas ist um 6:46 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Jonas auf den nächsten Bus 248?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 6:51 Uhr.
Von 6:46 bis 6:51 Uhr sind es 5 Minuten.

Der nächste fährt um 6:51 Uhr.
Von 6:46 bis 6:51 Uhr sind es 5 Minuten.

Ergebnis:

5 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:06 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:06 Uhr.
2. Von 6:48 bis 7:06 Uhr sind es 18 Minuten.
Ergebnis:
18 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:16 Uhr. Welchen Bus 248 muss Hanna spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:16 Uhr: 6:56, 7:11 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:11 Uhr an.
3. Er fährt um 6:55 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 6:55 Uhr
★6
Der Unterricht beginnt um 7:33 Uhr. Welchen Bus 100 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:33 Uhr: 6:55, 7:05, 7:15, 7:25 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:25 Uhr an.
3. Er fährt um 7:13 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:13 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ein Weg ist 60 m lang. Alle 5 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?

Schritt für Schritt

Abstände: 60 : 5 = 12
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
12 + 1 = 13

Abstände: 60 : 5 = 12
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
12 + 1 = 13

Ergebnis:

13 Laternen

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Paul sagt: „Ein Zaun von 20 m mit einem Pfahl alle 2 m braucht 10 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
So fängst du an:
20 : 2 = 10 ist die Zahl der Abstände.
Lösung zeigen
1. 20 : 2 = 10 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 11.
Ergebnis:
Nein, 11 Pfähle
●8
Entlang eines Weges stehen 7 Bäume im Abstand von 6 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 7 Bäume haben 6 Abstände dazwischen.
2. 6 · 6 m = 36 m
Ergebnis:
36 m
★9
Um ein Beet mit 140 m Umfang werden rundherum alle 10 m Pfähle gesetzt. Wie viele Pfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Rundherum gibt es keinen Anfang und kein Ende.
2. Pfähle und Abstände sind gleich viele: 140 : 10 = 14
Ergebnis:
14 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Paul braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:15 Uhr.
Noch 29 Minuten früher: 14:46 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:15 Uhr.
Noch 29 Minuten früher: 14:46 Uhr.

Ergebnis:

14:46 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Lina kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Lina 5 € geschenkt und hat jetzt 8 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 8 € − 5 € = 3 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 8 € − 5 € = 3 €
2. Dann den Kauf: 3 € + 6 € = 9 €
Ergebnis:
9 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Emma braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 16 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 15:48 Uhr.
2. Noch 16 Minuten früher: 15:32 Uhr.
Ergebnis:
15:32 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Ben braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 22 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:23 Uhr.
2. Noch 22 Minuten früher: 15:01 Uhr.
Ergebnis:
15:01 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 9 Tische mit 50 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
2 Vierertische und 7 Sechsertische: 2 · 4 + 7 · 6 = 50

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
2 Vierertische und 7 Sechsertische: 2 · 4 + 7 · 6 = 50

Ergebnis:

7 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa zählt Paul 10 Tische und 58 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Vierertisch und 9 Sechsertische: 1 · 4 + 9 · 6 = 58
Ergebnis:
1 Vierertisch, 9 Sechsertische
●14
In der Mensa zählt Ben 7 Tische und 38 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Vierertische und 5 Sechsertische: 2 · 4 + 5 · 6 = 38
Ergebnis:
2 Vierertische, 5 Sechsertische
★15
Im Hof der Kita zählt Emma 14 Fahrzeuge und 37 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 7 Fahrräder und 7 Dreiräder ergeben 35 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 5 Fahrräder und 9 Dreiräder: 5 · 2 + 9 · 3 = 37
Ergebnis:
5 Fahrräder, 9 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 24,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?

Schritt für Schritt

10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
Packung: 24,00 €
Die Packung ist günstiger.

10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
Packung: 24,00 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
Ergebnis:
0,80 €
●17
Ein Müsliriegel kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 14,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
2. Packung: 14,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 3,00 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
2. Packung: 3,00 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 21 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 126 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 126 € : 21 = 6 €
6 € + 4 € = 10 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 126 € : 21 = 6 €
6 € + 4 € = 10 €

Ergebnis:

10 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
Die 5c mit 20 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 120 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 120 € : 20 = 6 €
3. 6 € + 5 € = 11 €
Ergebnis:
11 €
●20
Die 5c mit 27 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 162 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 162 € : 27 = 6 €
3. 6 € + 5 € = 11 €
Ergebnis:
11 €
★21
Lea läuft an 3 Tagen in der Woche je 7 Runden auf der 300-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
Lösung zeigen
1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
2. Ein Tag: 7 · 300 m = 2100 m; eine Woche: 3 · 2100 m = 6300 m
3. 4 Wochen: 25.200 m = 25,2 km
Ergebnis:
25,2 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · (8 + 6)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „3 Kinder kaufen je einen Ball für 8 €. Dazu kommt eine Pumpe für 6 € für alle.“
(B) „3 Kinder kaufen je einen Ball für 8 € und je eine Pumpe für 6 €.“

Schritt für Schritt

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
Passend ist B.
3 · (8 + 6) = 42

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
Passend ist B.
3 · (8 + 6) = 42

Ergebnis:

B, 42 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · (10 + 4)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „7 Kinder kaufen je ein Heft für 10 €. Dazu kommt eine Mappe für 4 € für alle.“
(B) „7 Kinder kaufen je ein Heft für 10 € und je eine Mappe für 4 €.“
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
2. Passend ist B.
3. 7 · (10 + 4) = 98
Ergebnis:
B, 98 €
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · (10 + 6)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „7 Kinder kaufen je ein Heft für 10 €. Dazu kommt eine Mappe für 6 € für alle.“
(B) „7 Kinder kaufen je ein Heft für 10 € und je eine Mappe für 6 €.“
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
2. Passend ist B.
3. 7 · (10 + 6) = 112
Ergebnis:
B, 112 €
★24
Welche Geschichte passt zur Rechnung 11 · (20 + 6)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „11 Kinder kaufen je ein Ticket für 20 €. Dazu kommt ein Getränk für 6 € für alle.“
(B) „11 Kinder kaufen je ein Ticket für 20 € und je ein Getränk für 6 €.“
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 11.
2. Passend ist B.
3. 11 · (20 + 6) = 286
Ergebnis:
B, 286 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 28 Kinder und 4 € je Karte.
2. 28 · 4 € = 112 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
112 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 9 Böden. Auf jedem stehen 6 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 9 Böden, 6 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Ein Zaun ist 80 m lang. Alle 10 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 80 : 10 = 8
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 8 + 1 = 9
Ergebnis:
9 Zaunpfähle
●28
In der Schlange vor der Mensa steht Lea an 3. Stelle von vorn und an 14. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 2 Kinder, dann Lea, dahinter 13 Kinder.
2. 2 + 1 + 13 = 16
Ergebnis:
16 Kinder
●29
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Can braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 35 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 16:03 Uhr.
2. Noch 35 Minuten früher: 15:28 Uhr.
Ergebnis:
15:28 Uhr
●30
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 9 Tiere mit 34 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Huhn und 8 Kaninchen: 1 · 2 + 8 · 4 = 34
Ergebnis:
8 Kaninchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 19 Tore geschossen. Zum Finale kamen 472 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:57 Uhr. Welchen Bus X34 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:19 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Emma sagt: „Ein Zaun von 18 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 6 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
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Ergebnis:
Nein, 7 Pfähle
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Noah braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 30 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:34 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Noah 6 Fahrzeuge und 15 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
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Ergebnis:
3 Fahrräder, 3 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 10,50 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 393 €. Der Förderverein gibt 83 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 6 € für jedes der 23 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
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Ergebnis:
338 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je einen Ball für 11 €. Dazu kommt eine Pumpe für 3 € für alle.“
(A) 3 · (11 + 3)
(B) 3 + 11 · 3
(C) 3 · 11 + 3
Lösung zeigen
Ergebnis:
C: 3 · 11 + 3

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

162 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Die Tore im Finale fehlen
125 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
18 Minuten
den um 6:55 Uhr
den um 7:13 Uhr
Nein, 11 Pfähle
36 m
14 Pfähle
9 €
15:32 Uhr
15:01 Uhr
1 Vierertisch, 9 Sechsertische
2 Vierertische, 5 Sechsertische
5 Fahrräder, 9 Dreiräder
0,80 €
die Packung
die Packung
11 €
11 €
25,2 km
B, 98 €
B, 112 €
B, 286 €
112 €, die Filmdauer brauche ich nicht
nicht lösbar
9 Zaunpfähle
16 Kinder
15:28 Uhr
8 Kaninchen
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
den um 7:19 Uhr
Nein, 7 Pfähle
15:34 Uhr
3 Fahrräder, 3 Dreiräder
die Packung
338 €
C: 3 · 11 + 3
9:45 Uhr
30 mm