Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:30 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 10:30 + 0:45 = 11:15 Uhr
Ergebnis:
11:15 Uhr
●40
Rechne um: 5 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 5 · 60 = 300 min
Ergebnis:
300 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 24 Tore geschossen. Zum Finale kamen 406 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Ergebnis:

Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●2
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 28 Kinder und 6 € je Karte.
2. 28 · 6 € = 168 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
168 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
23 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 10 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 8:12 Uhr. Welchen Bus 248 muss Paul spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 8:12 Uhr: 7:09, 7:29, 7:49, 8:09 Uhr.
Der letzte davon kommt um 8:09 Uhr an.
Er fährt um 7:53 Uhr ab.

Ankunft vor 8:12 Uhr: 7:09, 7:29, 7:49, 8:09 Uhr.
Der letzte davon kommt um 8:09 Uhr an.
Er fährt um 7:53 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:53 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:41 Uhr. Welchen Bus X34 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:41 Uhr: 7:17, 7:27, 7:37 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:41 Uhr: 7:17, 7:27, 7:37 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:37 Uhr an.
3. Er fährt um 7:13 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:13 Uhr
●5
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:02 Uhr.
2. Von 6:48 bis 7:02 Uhr sind es 14 Minuten.
Ergebnis:
14 Minuten
★6
Paul braucht 7 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus 100 um 7:31 Uhr nehmen. Wann muss Paul spätestens los, und wann ist Paul an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 7 Minuten vor 7:31 Uhr, also 7:24 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:47 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:24 Uhr, an um 7:47 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Noah sagt: „Ein Zaun von 33 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?

Schritt für Schritt

33 : 3 = 11 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.

33 : 3 = 11 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.

Ergebnis:

Nein, 12 Pfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Entlang eines Weges stehen 10 Zaunpfähle im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
So fängst du an:
10 Zaunpfähle haben 9 Abstände dazwischen.
Lösung zeigen
1. 10 Zaunpfähle haben 9 Abstände dazwischen.
2. 9 · 5 m = 45 m
Ergebnis:
45 m
●8
Ben sagt: „Ein Zaun von 48 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 12 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 48 : 4 = 12 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 13.
Ergebnis:
Nein, 13 Pfähle
★9
Entlang eines Weges stehen 20 Bäume im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 20 Bäume haben 19 Abstände dazwischen.
2. 19 · 5 m = 95 m
Ergebnis:
95 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Ben braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 16:45 Uhr.
Noch 19 Minuten früher: 16:26 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 16:45 Uhr.
Noch 19 Minuten früher: 16:26 Uhr.

Ergebnis:

16:26 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Hanna kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Hanna 8 € geschenkt und hat jetzt 27 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 8 € = 19 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 8 € = 19 €
2. Dann den Kauf: 19 € + 6 € = 25 €
Ergebnis:
25 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Jonas braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Jonas spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 16:53 Uhr.
2. Noch 27 Minuten früher: 16:26 Uhr.
Ergebnis:
16:26 Uhr
★12
Milan kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Milan 9 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 9 € = 19 €
2. Dann den Kauf: 19 € + 12 € = 31 €
Ergebnis:
31 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere mit 18 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
7 Hühner und 1 Kaninchen: 7 · 2 + 1 · 4 = 18

Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
7 Hühner und 1 Kaninchen: 7 · 2 + 1 · 4 = 18

Ergebnis:

1 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa zählt Jonas 9 Tische und 46 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 4 Vierertische und 5 Sechsertische: 4 · 4 + 5 · 6 = 46
Ergebnis:
4 Vierertische, 5 Sechsertische
●14
Auf einem Hof zählt Lina 5 Tiere und 18 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Huhn und 4 Kaninchen: 1 · 2 + 4 · 4 = 18
Ergebnis:
1 Huhn, 4 Kaninchen
★15
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 14 Tische mit 60 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 7 Vierertische und 7 Sechsertische ergeben 70 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 12 Vierertische und 2 Sechsertische: 12 · 4 + 2 · 6 = 60
Ergebnis:
2 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 8,70 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?

Schritt für Schritt

6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
Packung: 8,70 €
Die Packung ist günstiger.

6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
Packung: 8,70 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Bleistift kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 15,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
2. Packung: 15,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 308 €. Der Förderverein gibt 100 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 7 € für jedes der 23 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?

Schritt für Schritt

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 308 € + 100 € = 408 €; Kosten: 23 · 7 € = 161 €
408 € − 161 € = 247 €

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 308 € + 100 € = 408 €; Kosten: 23 · 7 € = 161 €
408 € − 161 € = 247 €

Ergebnis:

247 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 252 €. Der Förderverein gibt 46 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 6 € für jedes der 22 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 252 € + 46 € = 298 €; Kosten: 22 · 6 € = 132 €
3. 298 € − 132 € = 166 €
Ergebnis:
166 €
●20
In der Klassenkasse sind 366 €. Der Förderverein gibt 120 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 9 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 366 € + 120 € = 486 €; Kosten: 30 · 9 € = 270 €
3. 486 € − 270 € = 216 €
Ergebnis:
216 €
★21
Die 5c mit 27 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 189 € für alle zusammen, der Eintritt 3 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 189 € : 27 = 7 €
3. 7 € + 3 € = 10 €
Ergebnis:
10 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · 6 + 2? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 6 €. Dazu kommt eine Mappe für 2 € für alle.“
(B) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 6 € und je eine Mappe für 2 €.“

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist A.
6 · 6 + 2 = 38

Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist A.
6 · 6 + 2 = 38

Ergebnis:

A, 38 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je ein Heft für 8 € und je eine Mappe für 2 €.“
(A) 6 + 8 · 2
(B) 6 · (8 + 2)
(C) 6 · 8 + 2
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
2. Passend: 6 · (8 + 2) = 60
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 6 · (8 + 2)
●23
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je einen Ball für 11 € und je eine Pumpe für 2 €.“
(A) 8 · 11 + 2
(B) 8 + 11 · 2
(C) 8 · (11 + 2)
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
2. Passend: 8 · (11 + 2) = 104
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 8 · (11 + 2)
★24
Welche Geschichte passt zur Rechnung 11 · 18 + 2? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „11 Kinder kaufen je ein Ticket für 18 €. Dazu kommt ein Getränk für 2 € für alle.“
(B) „11 Kinder kaufen je ein Ticket für 18 € und je ein Getränk für 2 €.“
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 11-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist A.
3. 11 · 18 + 2 = 200
Ergebnis:
A, 200 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
26 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 13 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 26 Kinder und 3 €.
2. 26 · 3 € = 78 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
78 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 8 Böden. Auf jedem stehen 17 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 8 Böden, 17 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:14 Uhr.
2. Von 6:48 bis 7:14 Uhr sind es 26 Minuten.
Ergebnis:
26 Minuten
●28
Ein Weg ist 44 m lang. Alle 4 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 44 : 4 = 11
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 11 + 1 = 12
Ergebnis:
12 Laternen
●29
Im Kino sitzt Emma auf Platz 6 von links. Zwischen Emma und Noah sitzen 3 Kinder, Noah sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Noah?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 6 ist Emma, dann 3 Plätze dazwischen.
2. 6 + 3 + 1 = 10
Ergebnis:
Platz 10
●30
Ben kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Ben 12 € geschenkt und hat jetzt 18 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 18 € − 12 € = 6 €
2. Dann den Kauf: 6 € + 18 € = 24 €
Ergebnis:
24 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
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Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
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Ergebnis:
13 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ein Zaun ist 24 m lang. Alle 4 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
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Ergebnis:
7 Zaunpfähle
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Aylin braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
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Ergebnis:
16:23 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof zählt Elias 7 Tiere und 20 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
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Ergebnis:
4 Hühner, 3 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
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Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
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Ergebnis:
1,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 379 €. Der Förderverein gibt 57 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 5 € für jedes der 24 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
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Ergebnis:
316 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 6 + 8? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 6 €. Dazu kommt eine Pumpe für 8 € für alle.“
(B) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 6 € und je eine Pumpe für 8 €.“
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Ergebnis:
A, 38 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Beginn des Films fehlt
168 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
den um 7:13 Uhr
14 Minuten
los um 7:24 Uhr, an um 7:47 Uhr
45 m
Nein, 13 Pfähle
95 m
25 €
16:26 Uhr
31 €
4 Vierertische, 5 Sechsertische
1 Huhn, 4 Kaninchen
2 Sechsertische
einzeln
1,67 €
0,67 €
166 €
216 €
10 €
B: 6 · (8 + 2)
C: 8 · (11 + 2)
A, 200 €
78 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
nicht lösbar
26 Minuten
12 Laternen
Platz 10
24 €
Der Preis für Erwachsene fehlt
13 Minuten
7 Zaunpfähle
16:23 Uhr
4 Hühner, 3 Kaninchen
1,67 €
316 €
A, 38 €
11:15 Uhr
300 min