Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 8:30 + 1:30 = 10:00 Uhr
Ergebnis:
10:00 Uhr
●40
Rechne um: 2 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 2 · 60 = 120 min
Ergebnis:
120 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 24 Tore geschossen. Zum Finale kamen 129 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 12 Spiele.
15 − 12 = 3
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 12 Spiele.
15 − 12 = 3
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 38 Tore geschossen. Zum Finale kamen 210 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 9 Spiele.
2. 15 − 9 = 6
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
★3
Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 105 Minuten. Der Film beginnt um 8:30 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
Lösung zeigen
1. 105 Minuten sind 1 Stunde und 45 Minuten.
2. 8:30 Uhr plus 105 Minuten: 10:15 Uhr
3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
Ergebnis:
10:15 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:52 Uhr, an 7:17 Uhr.
Von 6:52 bis 7:17 Uhr sind es 25 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:52 Uhr, an 7:17 Uhr.
Von 6:52 bis 7:17 Uhr sind es 25 Minuten.

Ergebnis:

25 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Mia ist um 7:07 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Mia auf den nächsten Bus X34?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:13 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:13 Uhr.
2. Von 7:07 bis 7:13 Uhr sind es 6 Minuten.
Ergebnis:
6 Minuten
●5
Mia ist um 6:54 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Mia auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:59 Uhr.
2. Von 6:54 bis 6:59 Uhr sind es 5 Minuten.
Ergebnis:
5 Minuten
★6
Elias ist um 6:48 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Elias auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
2. Von 6:48 bis 7:02 Uhr sind es 14 Minuten.
Ergebnis:
14 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 13 Bäume im Abstand von 6 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?

Schritt für Schritt

13 Bäume haben 12 Abstände dazwischen.
12 · 6 m = 72 m

13 Bäume haben 12 Abstände dazwischen.
12 · 6 m = 72 m

Ergebnis:

72 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Entlang eines Weges stehen 10 Zaunpfähle im Abstand von 3 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
So fängst du an:
10 Zaunpfähle haben 9 Abstände dazwischen.
Lösung zeigen
1. 10 Zaunpfähle haben 9 Abstände dazwischen.
2. 9 · 3 m = 27 m
Ergebnis:
27 m
●8
Sofia sagt: „Ein Zaun von 27 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 9 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 27 : 3 = 9 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.
Ergebnis:
Nein, 10 Pfähle
★9
Elias sagt: „Ein Zaun von 26 m mit einem Pfahl alle 2 m braucht 13 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 26 : 2 = 13 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 14.
Ergebnis:
Nein, 14 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Jonas kauft ein Buch für 13 €. Danach bekommt Jonas 10 € geschenkt und hat jetzt 19 €. Wie viel Geld hatte Jonas am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 10 € = 9 €
Dann den Kauf: 9 € + 13 € = 22 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 10 € = 9 €
Dann den Kauf: 9 € + 13 € = 22 €

Ergebnis:

22 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Ben kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Ben 6 € geschenkt und hat jetzt 15 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 15 € − 6 € = 9 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 15 € − 6 € = 9 €
2. Dann den Kauf: 9 € + 18 € = 27 €
Ergebnis:
27 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Aylin braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 22 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 16:55 Uhr.
2. Noch 22 Minuten früher: 16:33 Uhr.
Ergebnis:
16:33 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Noah braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 17 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:52 Uhr.
2. Noch 17 Minuten früher: 16:35 Uhr.
Ergebnis:
16:35 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Milan 5 Tische und 26 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
2 Vierertische und 3 Sechsertische: 2 · 4 + 3 · 6 = 26

Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
2 Vierertische und 3 Sechsertische: 2 · 4 + 3 · 6 = 26

Ergebnis:

2 Vierertische, 3 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof zählt Jonas 8 Tiere und 18 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 7 Hühner und 1 Kaninchen: 7 · 2 + 1 · 4 = 18
Ergebnis:
7 Hühner, 1 Kaninchen
●14
Auf einem Hof zählt Milan 9 Tiere und 26 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
2. Das passt genau.
3. 5 Hühner und 4 Kaninchen: 5 · 2 + 4 · 4 = 26
Ergebnis:
5 Hühner, 4 Kaninchen
★15
Im Hof der Kita zählt Lea 14 Fahrzeuge und 32 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 7 Fahrräder und 7 Dreiräder ergeben 35 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 10 Fahrräder und 4 Dreiräder: 10 · 2 + 4 · 3 = 32
Ergebnis:
10 Fahrräder, 4 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

0,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Tennisball kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Bällen kostet 5,70 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bälle braucht?
So fängst du an:
6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
2. Packung: 5,70 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 12,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
2. Packung: 12,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,33 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 416 €. Der Förderverein gibt 111 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 9 € für jedes der 28 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?

Schritt für Schritt

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 416 € + 111 € = 527 €; Kosten: 28 · 9 € = 252 €
527 € − 252 € = 275 €

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 416 € + 111 € = 527 €; Kosten: 28 · 9 € = 252 €
527 € − 252 € = 275 €

Ergebnis:

275 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
Die 5c mit 21 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 147 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 147 € : 21 = 7 €
3. 7 € + 4 € = 11 €
Ergebnis:
11 €
●20
Die 5c mit 26 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 156 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 156 € : 26 = 6 €
3. 6 € + 5 € = 11 €
Ergebnis:
11 €
★21
Ben läuft an 5 Tagen in der Woche je 5 Runden auf der 300-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
Lösung zeigen
1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
2. Ein Tag: 5 · 300 m = 1500 m; eine Woche: 5 · 1500 m = 7500 m
3. 4 Wochen: 30.000 m = 30 km
Ergebnis:
30 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · 7 + 4? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „4 Kinder kaufen je ein Heft für 7 €. Dazu kommt eine Mappe für 4 € für alle.“
(B) „4 Kinder kaufen je ein Heft für 7 € und je eine Mappe für 4 €.“

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist A.
4 · 7 + 4 = 32

Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist A.
4 · 7 + 4 = 32

Ergebnis:

A, 32 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je einen Ball für 13 €. Dazu kommt eine Pumpe für 5 € für alle.“
(A) 8 · 13 + 5
(B) 8 + 13 · 5
(C) 8 · (13 + 5)
So fängst du an:
Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 8 · 13 + 5 = 109
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A: 8 · 13 + 5
●23
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je einen Ball für 12 € und je eine Pumpe für 3 €.“
(A) 6 · (12 + 3)
(B) 6 · 12 + 3
(C) 6 + 12 · 3
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
2. Passend: 6 · (12 + 3) = 90
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A: 6 · (12 + 3)
★24
Welche Geschichte passt zur Rechnung 10 · 14 + 3? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „10 Kinder kaufen je ein Heft für 14 € und je eine Mappe für 3 €.“
(B) „10 Kinder kaufen je ein Heft für 14 €. Dazu kommt eine Mappe für 3 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 10-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist B.
3. 10 · 14 + 3 = 143
Ergebnis:
B, 143 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 27 Kinder und 6 € je Karte.
2. 27 · 6 € = 162 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
162 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 4 Böden mit je 13 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viel kostet ein Buch? B: Wie viele Bücher stehen im Regal? C: Wie viele Seiten hat das dickste Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 4 · 13 = 52.
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B, 52 Bücher
●27
Elias ist um 7:02 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Elias auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:04 Uhr.
2. Von 7:02 bis 7:04 Uhr sind es 2 Minuten.
Ergebnis:
2 Minuten
●28
Eine Allee ist 15 m lang. Alle 3 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 15 : 3 = 5
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 5 + 1 = 6
Ergebnis:
6 Bäume
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Ben an 10. Stelle von vorn und an 12. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 9 Kinder, dann Ben, dahinter 11 Kinder.
2. 9 + 1 + 11 = 21
Ergebnis:
21 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Zeynep braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 16:55 Uhr.
2. Noch 27 Minuten früher: 16:28 Uhr.
Ergebnis:
16:28 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
112 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Aylin ist um 6:59 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Aylin auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Entlang eines Weges stehen 8 Bäume im Abstand von 3 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
Ergebnis:
21 m
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Sofia braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:00 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 10 Tiere mit 26 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,33 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 371 €. Der Förderverein gibt 40 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 6 € für jedes der 26 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
Ergebnis:
255 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je ein Heft für 13 €. Dazu kommt eine Mappe für 6 € für alle.“
(A) 7 + 13 · 6
(B) 7 · 13 + 6
(C) 7 · (13 + 6)
Lösung zeigen
Ergebnis:
B: 7 · 13 + 6

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Beginn des Films fehlt
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
10:15 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
6 Minuten
5 Minuten
14 Minuten
27 m
Nein, 10 Pfähle
Nein, 14 Pfähle
27 €
16:33 Uhr
16:35 Uhr
7 Hühner, 1 Kaninchen
5 Hühner, 4 Kaninchen
10 Fahrräder, 4 Dreiräder
einzeln
einzeln
1,33 €
11 €
11 €
30 km
A: 8 · 13 + 5
A: 6 · (12 + 3)
B, 143 €
162 €, die Filmdauer brauche ich nicht
B, 52 Bücher
2 Minuten
6 Bäume
21 Kinder
16:28 Uhr
112 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
8 Minuten
21 m
15:00 Uhr
3 Kaninchen
1,33 €
255 €
B: 7 · 13 + 6
10:00 Uhr
120 min