Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:45 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 10:45 + 1:00 = 11:45 Uhr
Ergebnis:
11:45 Uhr
●40
Rechne um: 5 € in ct.
Lösung zeigen
1. 1 € = 100 ct
2. 5 · 100 = 500 ct
Ergebnis:
500 ct

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 16 Tore geschossen. Zum Finale kamen 264 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 12 Spiele.
15 − 12 = 3
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 12 Spiele.
15 − 12 = 3
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 17 Tore geschossen. Zum Finale kamen 314 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●2
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 28 Kinder und 6 € je Karte.
2. 28 · 6 € = 168 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
168 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
27 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 8 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
Lösung zeigen
1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 8 km = 16 km.
2. 27 Kinder: 27 · 16 km = 432 km
3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
Ergebnis:
432 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Noah ist um 6:44 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus M29?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 6:51 Uhr.
Von 6:44 bis 6:51 Uhr sind es 7 Minuten.

Der nächste fährt um 6:51 Uhr.
Von 6:44 bis 6:51 Uhr sind es 7 Minuten.

Ergebnis:

7 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Aylin ist um 6:43 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Aylin auf den nächsten Bus 248?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
2. Von 6:43 bis 7:01 Uhr sind es 18 Minuten.
Ergebnis:
18 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 8:29 Uhr. Welchen Bus 248 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:29 Uhr: 7:18, 7:38, 7:58, 8:18 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:18 Uhr an.
3. Er fährt um 7:55 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:55 Uhr
★6
Ben braucht 7 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus M29 um 7:21 Uhr nehmen. Wann muss Ben spätestens los, und wann ist Ben an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 7 Minuten vor 7:21 Uhr, also 7:14 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:48 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:14 Uhr, an um 7:48 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ein Weg ist 60 m lang. Alle 10 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?

Schritt für Schritt

Abstände: 60 : 10 = 6
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
6 + 1 = 7

Abstände: 60 : 10 = 6
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
6 + 1 = 7

Ergebnis:

7 Laternen

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Noah sagt: „Ein Zaun von 25 m mit einem Pfahl alle 5 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
So fängst du an:
25 : 5 = 5 ist die Zahl der Abstände.
Lösung zeigen
1. 25 : 5 = 5 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.
Ergebnis:
Nein, 6 Pfähle
●8
Emma sagt: „Ein Zaun von 32 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 8 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 32 : 4 = 8 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 9.
Ergebnis:
Nein, 9 Pfähle
★9
Entlang eines Weges stehen 19 Bäume im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 19 Bäume haben 18 Abstände dazwischen.
2. 18 · 5 m = 90 m
Ergebnis:
90 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Can kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Can 12 € geschenkt und hat jetzt 30 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 30 € − 12 € = 18 €
Dann den Kauf: 18 € + 7 € = 25 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 30 € − 12 € = 18 €
Dann den Kauf: 18 € + 7 € = 25 €

Ergebnis:

25 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Elias kauft ein Buch für 5 €. Danach bekommt Elias 11 € geschenkt und hat jetzt 33 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 33 € − 11 € = 22 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 33 € − 11 € = 22 €
2. Dann den Kauf: 22 € + 5 € = 27 €
Ergebnis:
27 €
●11
Jonas kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Jonas 9 € geschenkt und hat jetzt 27 €. Wie viel Geld hatte Jonas am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 9 € = 18 €
2. Dann den Kauf: 18 € + 14 € = 32 €
Ergebnis:
32 €
★12
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Milan braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 16 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 16:55 Uhr.
2. Noch 16 Minuten früher: 16:39 Uhr.
Ergebnis:
16:39 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 36 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
6 Vierertische und 2 Sechsertische: 6 · 4 + 2 · 6 = 36

Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
6 Vierertische und 2 Sechsertische: 6 · 4 + 2 · 6 = 36

Ergebnis:

2 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita zählt Lina 9 Fahrzeuge und 21 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 6 Fahrräder und 3 Dreiräder: 6 · 2 + 3 · 3 = 21
Ergebnis:
6 Fahrräder, 3 Dreiräder
●14
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 8 Fahrzeuge mit 20 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
2. Das passt genau.
3. 4 Fahrräder und 4 Dreiräder: 4 · 2 + 4 · 3 = 20
Ergebnis:
4 Dreiräder
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 10 Fahrzeuge mit 23 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 7 Fahrräder und 3 Dreiräder: 7 · 2 + 3 · 3 = 23
Ergebnis:
3 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 10,30 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
Packung: 10,30 €
Einzeln ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
Packung: 10,30 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,33 €
★18
Ein Müsliriegel kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 9,40 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
2. Packung: 9,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 339 €. Der Förderverein gibt 108 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 9 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?

Schritt für Schritt

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 339 € + 108 € = 447 €; Kosten: 30 · 9 € = 270 €
447 € − 270 € = 177 €

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 339 € + 108 € = 447 €; Kosten: 30 · 9 € = 270 €
447 € − 270 € = 177 €

Ergebnis:

177 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 469 €. Der Förderverein gibt 93 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 6 € für jedes der 20 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 469 € + 93 € = 562 €; Kosten: 20 · 6 € = 120 €
3. 562 € − 120 € = 442 €
Ergebnis:
442 €
●20
Die 5c mit 20 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 80 € für alle zusammen, der Eintritt 9 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 80 € : 20 = 4 €
3. 4 € + 9 € = 13 €
Ergebnis:
13 €
★21
Die 5c mit 29 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 261 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 261 € : 29 = 9 €
3. 9 € + 4 € = 13 €
Ergebnis:
13 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · 7 + 3? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 7 € und je ein Getränk für 3 €.“
(B) „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 7 €. Dazu kommt ein Getränk für 3 € für alle.“

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist B.
3 · 7 + 3 = 24

Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist B.
3 · 7 + 3 = 24

Ergebnis:

B, 24 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · 12 + 5? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „4 Kinder kaufen je ein Heft für 12 €. Dazu kommt eine Mappe für 5 € für alle.“
(B) „4 Kinder kaufen je ein Heft für 12 € und je eine Mappe für 5 €.“
So fängst du an:
Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist A.
3. 4 · 12 + 5 = 53
Ergebnis:
A, 53 €
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · 10 + 8? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 10 €. Dazu kommt eine Mappe für 8 € für alle.“
(B) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 10 € und je eine Mappe für 8 €.“
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist A.
3. 6 · 10 + 8 = 68
Ergebnis:
A, 68 €
★24
Erfinde zu 7 · 8 + 5 eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. „7 Kinder kaufen je ein Heft für 8 €. Dazu kommt eine Mappe für 5 € für alle.“
3. 7 · 8 + 5 = 61
Ergebnis:
61 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 23 Kinder und 8 € je Karte.
2. 23 · 8 € = 184 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
184 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 5 Böden. Auf jedem stehen 19 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 5 Böden, 19 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:44 Uhr, an 7:00 Uhr.
2. Von 6:44 bis 7:00 Uhr sind es 16 Minuten.
Ergebnis:
16 Minuten
●28
Ein Weg ist 35 m lang. Alle 5 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 35 : 5 = 7
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 7 + 1 = 8
Ergebnis:
8 Laternen
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Tom an 3. Stelle von vorn und an 4. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 2 Kinder, dann Tom, dahinter 3 Kinder.
2. 2 + 1 + 3 = 6
Ergebnis:
6 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Aylin braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:01 Uhr.
2. Noch 19 Minuten früher: 15:42 Uhr.
Ergebnis:
15:42 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 105 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Lea ist um 6:56 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Eine Allee ist 22 m lang. Alle 2 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
12 Bäume
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Milan kauft ein Buch für 13 €. Danach bekommt Milan 4 € geschenkt und hat jetzt 21 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
30 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof zählt Paul 8 Tiere und 24 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Hühner, 4 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 11,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 275 €. Der Förderverein gibt 106 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 5 € für jedes der 24 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
Ergebnis:
261 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 11 + 6? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 11 € und je ein Getränk für 6 €.“
(B) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 11 €. Dazu kommt ein Getränk für 6 € für alle.“
Lösung zeigen
Ergebnis:
B, 61 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Die Tore im Finale fehlen
168 €, die Filmdauer brauche ich nicht
432 km
18 Minuten
den um 7:55 Uhr
los um 7:14 Uhr, an um 7:48 Uhr
Nein, 6 Pfähle
Nein, 9 Pfähle
90 m
27 €
32 €
16:39 Uhr
6 Fahrräder, 3 Dreiräder
4 Dreiräder
3 Dreiräder
1,67 €
1,33 €
die Packung
442 €
13 €
13 €
A, 53 €
A, 68 €
61 €
184 €, die Filmdauer brauche ich nicht
nicht lösbar
16 Minuten
8 Laternen
6 Kinder
15:42 Uhr
Der Beginn des Films fehlt
3 Minuten
12 Bäume
30 €
4 Hühner, 4 Kaninchen
die Packung
261 €
B, 61 €
11:45 Uhr
500 ct