Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 9:45 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 9:45 + 0:45 = 10:30 Uhr
Ergebnis:
10:30 Uhr
●40
Rechne um: 15 € in ct.
Lösung zeigen
1. 1 € = 100 ct
2. 15 · 100 = 1.500 ct
Ergebnis:
1.500 ct

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

26 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 11 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 26 Kinder und 4 €.
26 · 4 € = 104 €
Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.

Gebraucht: 26 Kinder und 4 €.
26 · 4 € = 104 €
Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.

Ergebnis:

104 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 22 Tore geschossen. Zum Finale kamen 446 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 8 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 8 Spiele.
2. 15 − 8 = 7
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 20 Tore geschossen. Zum Finale kamen 255 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 8 Spiele.
2. 15 − 8 = 7
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 32 Tore geschossen. Zum Finale kamen 195 Zuschauer. Wie viele Karten zu 3 € wurden für das Finale verkauft, wenn alle Zuschauer eine Karte hatten? Wie viel Geld kam zusammen?
Lösung zeigen
1. Karten: 195, so viele wie Zuschauer.
2. 195 · 3 € = 585 €
3. Nicht gebraucht: Spiele und Tore.
Ergebnis:
195 Karten, 585 €

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:38 Uhr. Welchen Bus X34 muss Can spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:38 Uhr: 6:56, 7:11, 7:26 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:26 Uhr an.
Er fährt um 7:11 Uhr ab.

Ankunft vor 7:38 Uhr: 6:56, 7:11, 7:26 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:26 Uhr an.
Er fährt um 7:11 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:11 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:43 Uhr, an 7:02 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:43 Uhr, an 7:02 Uhr.
2. Von 6:43 bis 7:02 Uhr sind es 19 Minuten.
Ergebnis:
19 Minuten
●5
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:04 Uhr.
2. Von 6:48 bis 7:04 Uhr sind es 16 Minuten.
Ergebnis:
16 Minuten
★6
Zeynep ist um 6:57 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Zeynep auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:13 Uhr.
2. Von 6:57 bis 7:13 Uhr sind es 16 Minuten.
Ergebnis:
16 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Eine Allee ist 50 m lang. Alle 5 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?

Schritt für Schritt

Abstände: 50 : 5 = 10
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
10 + 1 = 11

Abstände: 50 : 5 = 10
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
10 + 1 = 11

Ergebnis:

11 Bäume

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Paul sagt: „Ein Zaun von 12 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 4 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
So fängst du an:
12 : 3 = 4 ist die Zahl der Abstände.
Lösung zeigen
1. 12 : 3 = 4 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.
Ergebnis:
Nein, 5 Pfähle
●8
Eine Allee ist 20 m lang. Alle 4 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 20 : 4 = 5
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 5 + 1 = 6
Ergebnis:
6 Bäume
★9
Entlang eines Weges stehen 15 Zaunpfähle im Abstand von 6 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 15 Zaunpfähle haben 14 Abstände dazwischen.
2. 14 · 6 m = 84 m
Ergebnis:
84 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Ben kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Ben 3 € geschenkt und hat jetzt 6 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 6 € − 3 € = 3 €
Dann den Kauf: 3 € + 16 € = 19 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 6 € − 3 € = 3 €
Dann den Kauf: 3 € + 16 € = 19 €

Ergebnis:

19 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Sofia braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 26 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:17 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:17 Uhr.
2. Noch 26 Minuten früher: 14:51 Uhr.
Ergebnis:
14:51 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Emma braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 35 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:07 Uhr.
2. Noch 35 Minuten früher: 15:32 Uhr.
Ergebnis:
15:32 Uhr
★12
Emma kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Emma 9 € geschenkt und hat jetzt 13 €. Wie viel Geld hatte Emma am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 13 € − 9 € = 4 €
2. Dann den Kauf: 4 € + 8 € = 12 €
Ergebnis:
12 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 10 Fahrzeuge mit 27 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3 Fahrräder und 7 Dreiräder: 3 · 2 + 7 · 3 = 27

Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3 Fahrräder und 7 Dreiräder: 3 · 2 + 7 · 3 = 27

Ergebnis:

7 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 5 Tiere mit 16 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Hühner und 3 Kaninchen: 2 · 2 + 3 · 4 = 16
Ergebnis:
3 Kaninchen
●14
Im Hof der Kita zählt Mia 5 Fahrzeuge und 13 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 2 Fahrräder und 3 Dreiräder: 2 · 2 + 3 · 3 = 13
Ergebnis:
2 Fahrräder, 3 Dreiräder
★15
Im Hof der Kita zählt Jonas 15 Fahrzeuge und 37 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 8 Fahrräder und 7 Dreiräder ergeben 37 Räder.
2. Das passt genau.
3. 8 Fahrräder und 7 Dreiräder: 8 · 2 + 7 · 3 = 37
Ergebnis:
8 Fahrräder, 7 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Ergebnis:

0,80 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Tennisball kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 3,00 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
So fängst du an:
4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
2. Packung: 3,00 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Ein Bleistift kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 6,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
2. Packung: 6,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 281 €. Der Förderverein gibt 90 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 4 € für jedes der 22 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?

Schritt für Schritt

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 281 € + 90 € = 371 €; Kosten: 22 · 4 € = 88 €
371 € − 88 € = 283 €

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 281 € + 90 € = 371 €; Kosten: 22 · 4 € = 88 €
371 € − 88 € = 283 €

Ergebnis:

283 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 443 €. Der Förderverein gibt 89 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 3 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 443 € + 89 € = 532 €; Kosten: 30 · 3 € = 90 €
3. 532 € − 90 € = 442 €
Ergebnis:
442 €
●20
In der Klassenkasse sind 447 €. Der Förderverein gibt 95 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 8 € für jedes der 27 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 447 € + 95 € = 542 €; Kosten: 27 · 8 € = 216 €
3. 542 € − 216 € = 326 €
Ergebnis:
326 €
★21
Sofia läuft an 4 Tagen in der Woche je 3 Runden auf der 300-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
Lösung zeigen
1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
2. Ein Tag: 3 · 300 m = 900 m; eine Woche: 4 · 900 m = 3600 m
3. 4 Wochen: 14.400 m = 14,4 km
Ergebnis:
14,4 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je einen Ball für 10 €. Dazu kommt eine Pumpe für 6 € für alle.“
(A) 5 + 10 · 6
(B) 5 · 10 + 6
(C) 5 · (10 + 6)

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 5 · 10 + 6 = 56
Richtig ist B.

Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 5 · 10 + 6 = 56
Richtig ist B.

Ergebnis:

B: 5 · 10 + 6

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je ein Heft für 9 €. Dazu kommt eine Mappe für 6 € für alle.“
(A) 3 + 9 · 6
(B) 3 · (9 + 6)
(C) 3 · 9 + 6
So fängst du an:
Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 3 · 9 + 6 = 33
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 3 · 9 + 6
●23
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je ein Heft für 7 € und je eine Mappe für 6 €.“
(A) 4 · 7 + 6
(B) 4 + 7 · 6
(C) 4 · (7 + 6)
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
2. Passend: 4 · (7 + 6) = 52
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 4 · (7 + 6)
★24
Erfinde zu 5 · 25 + 3 eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 25 €. Dazu kommt ein Getränk für 3 € für alle.“
3. 5 · 25 + 3 = 128
Ergebnis:
128 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
26 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 11 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 26 Kinder und 7 €.
2. 26 · 7 € = 182 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
182 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 9 Böden. Auf jedem stehen 21 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 9 Böden, 21 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Can ist um 6:55 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Can auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:00 Uhr.
2. Von 6:55 bis 7:00 Uhr sind es 5 Minuten.
Ergebnis:
5 Minuten
●28
Ein Zaun ist 18 m lang. Alle 2 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 18 : 2 = 9
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 9 + 1 = 10
Ergebnis:
10 Zaunpfähle
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Ben an 14. Stelle von vorn und an 12. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 13 Kinder, dann Ben, dahinter 11 Kinder.
2. 13 + 1 + 11 = 25
Ergebnis:
25 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Milan braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:23 Uhr.
2. Noch 20 Minuten früher: 15:03 Uhr.
Ergebnis:
15:03 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 21 Tore geschossen. Zum Finale kamen 235 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
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Ergebnis:
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 8:07 Uhr. Welchen Bus 248 muss Can spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
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Ergebnis:
den um 7:32 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Zeynep sagt: „Ein Zaun von 42 m mit einem Pfahl alle 6 m braucht 7 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
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Ergebnis:
Nein, 8 Pfähle
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Tom kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Tom 5 € geschenkt und hat jetzt 29 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?
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Ergebnis:
41 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
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Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 6 Fahrzeuge mit 14 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
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Ergebnis:
2 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
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Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
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Ergebnis:
1,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 297 €. Der Förderverein gibt 41 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 6 € für jedes der 27 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
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Ergebnis:
176 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
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Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je ein Ticket für 9 € und je ein Getränk für 5 €.“
(A) 6 · (9 + 5)
(B) 6 + 9 · 5
(C) 6 · 9 + 5
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Ergebnis:
A: 6 · (9 + 5)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
195 Karten, 585 €
19 Minuten
16 Minuten
16 Minuten
Nein, 5 Pfähle
6 Bäume
84 m
14:51 Uhr
15:32 Uhr
12 €
3 Kaninchen
2 Fahrräder, 3 Dreiräder
8 Fahrräder, 7 Dreiräder
die Packung
einzeln
0,67 €
442 €
326 €
14,4 km
C: 3 · 9 + 6
C: 4 · (7 + 6)
128 €
182 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
nicht lösbar
5 Minuten
10 Zaunpfähle
25 Kinder
15:03 Uhr
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
den um 7:32 Uhr
Nein, 8 Pfähle
41 €
2 Dreiräder
1,67 €
176 €
A: 6 · (9 + 5)
10:30 Uhr
1.500 ct