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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 9:00 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0 h 45 min
    2. 9:00 + 0:45 = 9:45 Uhr
    Ergebnis:
    9:45 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 7 cm in mm.
    Lösung zeigen
    1. 1 cm = 10 mm
    2. 7 · 10 = 70 mm
    Ergebnis:
    70 mm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 34 Tore geschossen. Zum Finale kamen 421 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
12 Spiele34 Tore421 Zuschauer
Schritt für Schritt
  1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
  2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
  3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
  1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
  2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
  3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 34 Tore geschossen. Zum Finale kamen 254 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    12 Spiele34 Tore254 Zuschauer
    So fängst du an:
    Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  2. ●2
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 35 Tore geschossen. Zum Finale kamen 220 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    8 Spiele35 Tore220 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 8 Spiele.
    2. 15 − 8 = 7
    3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
    Ergebnis:
    7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  3. ★3
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 21 Tore geschossen. Zum Finale kamen 313 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    9 Spiele21 Tore313 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 9 Spiele.
    2. 15 − 9 = 6
    3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
    Ergebnis:
    6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 8:15 Uhr. Welchen Bus X34 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Bus X34Hauptstraße abSchule an6:477:067:077:267:277:467:478:06
Schritt für Schritt
  1. Ankunft vor 8:15 Uhr: 7:06, 7:26, 7:46, 8:06 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 8:06 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:47 Uhr ab.
  1. Ankunft vor 8:15 Uhr: 7:06, 7:26, 7:46, 8:06 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 8:06 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:47 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:47 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:396:566:547:117:097:267:247:41
    So fängst du an:
    Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:56 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:56 Uhr.
    2. Von 6:39 bis 6:56 Uhr sind es 17 Minuten.
    Ergebnis:
    17 Minuten
  2. ●5
    Tom ist um 6:48 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus 248?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:436:597:037:197:237:397:437:59
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:03 Uhr.
    2. Von 6:48 bis 7:03 Uhr sind es 15 Minuten.
    Ergebnis:
    15 Minuten
  3. ★6
    Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:487:087:087:287:287:487:488:08
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:08 Uhr.
    2. Von 6:48 bis 7:08 Uhr sind es 20 Minuten.
    Ergebnis:
    20 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 7 Bäume im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
4 m4 m4 m…?
Schritt für Schritt
  1. 7 Bäume haben 6 Abstände dazwischen.
  2. 6 · 4 m = 24 m
  1. 7 Bäume haben 6 Abstände dazwischen.
  2. 6 · 4 m = 24 m
Ergebnis:
24 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Zaun ist 35 m lang. Alle 5 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    5 m5 m5 m…?
    So fängst du an:
    Abstände: 35 : 5 = 7
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 35 : 5 = 7
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 7 + 1 = 8
    Ergebnis:
    8 Zaunpfähle
  2. ●8
    Can sagt: „Ein Zaun von 60 m mit einem Pfahl alle 6 m braucht 10 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    6 m6 m6 m…?
    Lösung zeigen
    1. 60 : 6 = 10 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 11.
    Ergebnis:
    Nein, 11 Pfähle
  3. ★9
    Entlang eines Weges stehen 14 Zaunpfähle im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    1. 14 Zaunpfähle haben 13 Abstände dazwischen.
    2. 13 · 10 m = 130 m
    Ergebnis:
    130 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Lea braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
WegUmziehen?16:00 Uhr
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:46 Uhr.
  2. Noch 19 Minuten früher: 15:27 Uhr.
  1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:46 Uhr.
  2. Noch 19 Minuten früher: 15:27 Uhr.
Ergebnis:
15:27 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Aylin kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Aylin 4 € geschenkt und hat jetzt 13 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
    ?− 17 €+ 4 €13 €
    So fängst du an:
    Rückwärts, zuerst das Geschenk: 13 € − 4 € = 9 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 13 € − 4 € = 9 €
    2. Dann den Kauf: 9 € + 17 € = 26 €
    Ergebnis:
    26 €
  2. ●11
    Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Lea braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 22 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:54 Uhr.
    2. Noch 22 Minuten früher: 15:32 Uhr.
    Ergebnis:
    15:32 Uhr
  3. ★12
    Elias verschenkt 3 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Elias noch 9 Karten dazu. Jetzt sind es 47. Wie viele Karten waren es am Anfang?
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: 47 − 9 = 38
    2. Verdoppeln rückgängig: 38 : 2 = 19
    3. Verschenken rückgängig: 19 + 3 = 22
    Ergebnis:
    22 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 7 Tiere mit 16 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Kaninchen0123…Beine????
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
  2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
  3. 6 Hühner und 1 Kaninchen: 6 · 2 + 1 · 4 = 16
  1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
  2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
  3. 6 Hühner und 1 Kaninchen: 6 · 2 + 1 · 4 = 16
Ergebnis:
1 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 9 Tiere mit 34 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    So fängst du an:
    Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
    2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 1 Huhn und 8 Kaninchen: 1 · 2 + 8 · 4 = 34
    Ergebnis:
    8 Kaninchen
  2. ●14
    In der Mensa zählt Elias 5 Tische und 26 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Vierertische0123…Plätze????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
    2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 2 Vierertische und 3 Sechsertische: 2 · 4 + 3 · 6 = 26
    Ergebnis:
    2 Vierertische, 3 Sechsertische
  3. ★15
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 11 Fahrzeuge mit 27 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 6 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 27 Räder.
    2. Das passt genau.
    3. 6 Fahrräder und 5 Dreiräder: 6 · 2 + 5 · 3 = 27
    Ergebnis:
    5 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,50 €
Schritt für Schritt
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
  2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
  2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,50 €
    So fängst du an:
    Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
    2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
    Ergebnis:
    1,00 €
  2. ●17
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
    2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    1,33 €
  3. ★18
    Eine Fahrt kostet 2,40 €. Eine Monatskarte kostet 40,00 €. Lea fährt im Monat 10-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
    Einzelfahrt1 Fahrt2,40 €Monatskartebeliebig oft40,00 €
    Lösung zeigen
    1. Einzeln: 10 · 2,40 € = 24,00 €
    2. Monatskarte: 40,00 €
    3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
    Ergebnis:
    Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 387 €. Der Förderverein gibt 96 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 5 € für jedes der 28 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
387 €96 €5 €28 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 387 € + 96 € = 483 €; Kosten: 28 · 5 € = 140 €
  3. 483 € − 140 € = 343 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 387 € + 96 € = 483 €; Kosten: 28 · 5 € = 140 €
  3. 483 € − 140 € = 343 €
Ergebnis:
343 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Die 5c mit 24 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 192 € für alle zusammen, der Eintritt 8 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    24 Kindern192 €8 €
    So fängst du an:
    Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 192 € : 24 = 8 €
    3. 8 € + 8 € = 16 €
    Ergebnis:
    16 €
  2. ●20
    In der Klassenkasse sind 290 €. Der Förderverein gibt 101 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 9 € für jedes der 25 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    290 €101 €9 €25 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 290 € + 101 € = 391 €; Kosten: 25 · 9 € = 225 €
    3. 391 € − 225 € = 166 €
    Ergebnis:
    166 €
  3. ★21
    In der Klassenkasse sind 309 €. Der Förderverein gibt 88 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 6 € für jedes der 29 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    309 €88 €6 €29 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 309 € + 88 € = 397 €; Kosten: 29 · 6 € = 174 €
    3. 397 € − 174 € = 223 €
    Ergebnis:
    223 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · (10 + 6)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „6 Kinder kaufen je einen Ball für 10 € und je eine Pumpe für 6 €.“
(B) „6 Kinder kaufen je einen Ball für 10 €. Dazu kommt eine Pumpe für 6 € für alle.“
Schritt für Schritt
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
  2. Passend ist A.
  3. 6 · (10 + 6) = 96
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
  2. Passend ist A.
  3. 6 · (10 + 6) = 96
Ergebnis:
A, 96 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je ein Heft für 9 € und je eine Mappe für 7 €.“
    (A) 8 + 9 · 7
    (B) 8 · (9 + 7)
    (C) 8 · 9 + 7
    So fängst du an:
    Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
    2. Passend: 8 · (9 + 7) = 128
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B: 8 · (9 + 7)
  2. ●23
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · (6 + 8)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „7 Kinder kaufen je ein Heft für 6 €. Dazu kommt eine Mappe für 8 € für alle.“
    (B) „7 Kinder kaufen je ein Heft für 6 € und je eine Mappe für 8 €.“
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
    2. Passend ist B.
    3. 7 · (6 + 8) = 98
    Ergebnis:
    B, 98 €
  3. ★24
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · (7 + 7)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „4 Kinder kaufen je ein Heft für 7 €. Dazu kommt eine Mappe für 7 € für alle.“
    (B) „4 Kinder kaufen je ein Heft für 7 € und je eine Mappe für 7 €.“
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
    2. Passend ist B.
    3. 4 · (7 + 7) = 56
    Ergebnis:
    B, 56 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    29 Kindern5 €95 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
    3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt
  2. ●26
    Auf einem Schiff sind 36 Schafe und 29 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
    36 Schafe29 Ziegen
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben handeln von Tieren.
    2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
    3. Die Frage kann man nicht beantworten.
    Ergebnis:
    nicht lösbar
  3. ●27
    Milan ist um 6:47 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Milan auf den nächsten Bus M29?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:467:076:567:177:067:277:167:37
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 6:56 Uhr.
    2. Von 6:47 bis 6:56 Uhr sind es 9 Minuten.
    Ergebnis:
    9 Minuten
  4. ●28
    Sofia sagt: „Ein Zaun von 42 m mit einem Pfahl alle 6 m braucht 7 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    6 m6 m6 m…?
    Lösung zeigen
    1. 42 : 6 = 7 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 8.
    Ergebnis:
    Nein, 8 Pfähle
  5. ●29
    In der Schlange vor der Mensa steht Hanna an 12. Stelle von vorn und an 10. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
    1210
    Lösung zeigen
    1. Skizze: vorn 11 Kinder, dann Hanna, dahinter 9 Kinder.
    2. 11 + 1 + 9 = 21
    Ergebnis:
    21 Kinder
  6. ●30
    Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Sofia braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:15 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:07 Uhr.
    2. Noch 29 Minuten früher: 15:38 Uhr.
    Ergebnis:
    15:38 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 37 Tore geschossen. Zum Finale kamen 347 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    7 Spiele37 Tore347 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:457:026:557:127:057:227:157:32
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17 Minuten

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Eine Allee ist 120 m lang. Alle 10 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13 Bäume

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Noah braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 26 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?15:30 Uhr
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14:50 Uhr

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Auf einem Hof zählt Noah 5 Tiere und 18 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 Huhn, 4 Kaninchen

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,00 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,33 €

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    In der Klassenkasse sind 348 €. Der Förderverein gibt 118 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 9 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    348 €118 €9 €30 Kinder
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    196 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · 10 + 4? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 10 €. Dazu kommt ein Getränk für 4 € für alle.“
    (B) „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 10 € und je ein Getränk für 4 €.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A, 44 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. Die Tore im Finale fehlen
  2. 7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  3. 6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  4. 17 Minuten
  5. 15 Minuten
  6. 20 Minuten
  7. 8 Zaunpfähle
  8. Nein, 11 Pfähle
  9. 130 m
  10. 26 €
  11. 15:32 Uhr
  12. 22 Karten
  13. 8 Kaninchen
  14. 2 Vierertische, 3 Sechsertische
  15. 5 Dreiräder
  16. 1,00 €
  17. 1,33 €
  18. Nein
  19. 16 €
  20. 166 €
  21. 223 €
  22. B: 8 · (9 + 7)
  23. B, 98 €
  24. B, 56 €
  25. Der Beginn des Films fehlt
  26. nicht lösbar
  27. 9 Minuten
  28. Nein, 8 Pfähle
  29. 21 Kinder
  30. 15:38 Uhr
  31. 8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  32. 17 Minuten
  33. 13 Bäume
  34. 14:50 Uhr
  35. 1 Huhn, 4 Kaninchen
  36. 1,33 €
  37. 196 €
  38. A, 44 €
  39. 9:45 Uhr
  40. 70 mm