Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:45 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 8:45 + 1:00 = 9:45 Uhr
Ergebnis:
9:45 Uhr
●40
Rechne um: 5 € in ct.
Lösung zeigen
1. 1 € = 100 ct
2. 5 · 100 = 500 ct
Ergebnis:
500 ct

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 38 Tore geschossen. Zum Finale kamen 328 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Ergebnis:

Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 10 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 28 Kinder und 3 €.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 28 Kinder und 3 €.
2. 28 · 3 € = 84 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
84 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●2
22 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 22 Kinder und 5 €.
2. 22 · 5 € = 110 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
110 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
★3
26 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 26 Kinder und 7 €.
2. 26 · 7 € = 182 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
182 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:47 Uhr, an 7:11 Uhr.
Von 6:47 bis 7:11 Uhr sind es 24 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:47 Uhr, an 7:11 Uhr.
Von 6:47 bis 7:11 Uhr sind es 24 Minuten.

Ergebnis:

24 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Tom ist um 6:48 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus 100?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 6:54 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:54 Uhr.
2. Von 6:48 bis 6:54 Uhr sind es 6 Minuten.
Ergebnis:
6 Minuten
●5
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:47 Uhr, an 7:10 Uhr.
2. Von 6:47 bis 7:10 Uhr sind es 23 Minuten.
Ergebnis:
23 Minuten
★6
Milan braucht 5 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus 100 um 7:01 Uhr nehmen. Wann muss Milan spätestens los, und wann ist Milan an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 5 Minuten vor 7:01 Uhr, also 6:56 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:27 Uhr.
Ergebnis:
los um 6:56 Uhr, an um 7:27 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 7 Laternen im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?

Schritt für Schritt

7 Laternen haben 6 Abstände dazwischen.
6 · 4 m = 24 m

7 Laternen haben 6 Abstände dazwischen.
6 · 4 m = 24 m

Ergebnis:

24 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Zaun ist 32 m lang. Alle 4 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
So fängst du an:
Abstände: 32 : 4 = 8
Lösung zeigen
1. Abstände: 32 : 4 = 8
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 8 + 1 = 9
Ergebnis:
9 Zaunpfähle
●8
Eine Allee ist 8 m lang. Alle 2 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 8 : 2 = 4
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 4 + 1 = 5
Ergebnis:
5 Bäume
★9
Entlang eines Weges stehen 10 Laternen im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 10 Laternen haben 9 Abstände dazwischen.
2. 9 · 2 m = 18 m
Ergebnis:
18 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Sofia kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Sofia 6 € geschenkt und hat jetzt 10 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 10 € − 6 € = 4 €
Dann den Kauf: 4 € + 8 € = 12 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 10 € − 6 € = 4 €
Dann den Kauf: 4 € + 8 € = 12 €

Ergebnis:

12 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Can kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Can 11 € geschenkt und hat jetzt 27 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 11 € = 16 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 11 € = 16 €
2. Dann den Kauf: 16 € + 12 € = 28 €
Ergebnis:
28 €
●11
Noah kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Noah 9 € geschenkt und hat jetzt 27 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 9 € = 18 €
2. Dann den Kauf: 18 € + 15 € = 33 €
Ergebnis:
33 €
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Paul braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:46 Uhr.
2. Noch 20 Minuten früher: 15:26 Uhr.
Ergebnis:
15:26 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 10 Tiere mit 38 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Huhn und 9 Kaninchen: 1 · 2 + 9 · 4 = 38

Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Huhn und 9 Kaninchen: 1 · 2 + 9 · 4 = 38

Ergebnis:

9 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 36 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Vierertische und 2 Sechsertische: 6 · 4 + 2 · 6 = 36
Ergebnis:
2 Sechsertische
●14
Im Hof der Kita zählt Lina 7 Fahrzeuge und 15 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 6 Fahrräder und 1 Dreirad: 6 · 2 + 1 · 3 = 15
Ergebnis:
6 Fahrräder, 1 Dreirad
★15
Im Hof der Kita zählt Mia 13 Fahrzeuge und 27 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 7 Fahrräder und 6 Dreiräder ergeben 32 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 12 Fahrräder und 1 Dreirad: 12 · 2 + 1 · 3 = 27
Ergebnis:
12 Fahrräder, 1 Dreirad

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 8,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?

Schritt für Schritt

6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
Packung: 8,40 €
Die Packung ist günstiger.

6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
Packung: 8,40 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,33 €
●17
Ein Tennisball kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 11,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
2. Packung: 11,00 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Ein Tennisball kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 3,90 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
2. Packung: 3,90 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 29 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 261 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 261 € : 29 = 9 €
9 € + 6 € = 15 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 261 € : 29 = 9 €
9 € + 6 € = 15 €

Ergebnis:

15 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 448 €. Der Förderverein gibt 69 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 7 € für jedes der 23 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 448 € + 69 € = 517 €; Kosten: 23 · 7 € = 161 €
3. 517 € − 161 € = 356 €
Ergebnis:
356 €
●20
In der Klassenkasse sind 274 €. Der Förderverein gibt 43 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 4 € für jedes der 26 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 274 € + 43 € = 317 €; Kosten: 26 · 4 € = 104 €
3. 317 € − 104 € = 213 €
Ergebnis:
213 €
★21
Jonas läuft an 4 Tagen in der Woche je 4 Runden auf der 300-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
Lösung zeigen
1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
2. Ein Tag: 4 · 300 m = 1200 m; eine Woche: 4 · 1200 m = 4800 m
3. 4 Wochen: 19.200 m = 19,2 km
Ergebnis:
19,2 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je ein Heft für 12 €. Dazu kommt eine Mappe für 6 € für alle.“
(A) 5 · (12 + 6)
(B) 5 + 12 · 6
(C) 5 · 12 + 6

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 5 · 12 + 6 = 66
Richtig ist C.

Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 5 · 12 + 6 = 66
Richtig ist C.

Ergebnis:

C: 5 · 12 + 6

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · (6 + 5)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 6 € und je ein Getränk für 5 €.“
(B) „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 6 €. Dazu kommt ein Getränk für 5 € für alle.“
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
2. Passend ist A.
3. 4 · (6 + 5) = 44
Ergebnis:
A, 44 €
●23
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je ein Heft für 8 € und je eine Mappe für 5 €.“
(A) 8 · 8 + 5
(B) 8 · (8 + 5)
(C) 8 + 8 · 5
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
2. Passend: 8 · (8 + 5) = 104
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 8 · (8 + 5)
★24
Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · (25 + 9)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „7 Kinder kaufen je ein Heft für 25 €. Dazu kommt eine Mappe für 9 € für alle.“
(B) „7 Kinder kaufen je ein Heft für 25 € und je eine Mappe für 9 €.“
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
2. Passend ist B.
3. 7 · (25 + 9) = 238
Ergebnis:
B, 238 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
26 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 11 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
Auf einem Schiff sind 33 Schafe und 18 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Zeynep ist um 6:49 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Zeynep auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:57 Uhr.
2. Von 6:49 bis 6:57 Uhr sind es 8 Minuten.
Ergebnis:
8 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 7 Laternen im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 7 Laternen haben 6 Abstände dazwischen.
2. 6 · 2 m = 12 m
Ergebnis:
12 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Ben an 14. Stelle von vorn und an 14. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 13 Kinder, dann Ben, dahinter 13 Kinder.
2. 13 + 1 + 13 = 27
Ergebnis:
27 Kinder
●30
Milan kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Milan 7 € geschenkt und hat jetzt 22 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 22 € − 7 € = 15 €
2. Dann den Kauf: 15 € + 17 € = 32 €
Ergebnis:
32 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 29 Tore geschossen. Zum Finale kamen 416 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:37 Uhr. Welchen Bus 100 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:11 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ein Zaun ist 72 m lang. Alle 6 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
13 Zaunpfähle
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Mia braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16:30 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof zählt Zeynep 5 Tiere und 14 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Hühner, 2 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 11,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
Die 5c mit 20 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 80 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je einen Ball für 7 €. Dazu kommt eine Pumpe für 6 € für alle.“
(A) 6 · (7 + 6)
(B) 6 + 7 · 6
(C) 6 · 7 + 6
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Ergebnis:
C: 6 · 7 + 6

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

84 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
110 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
182 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
6 Minuten
23 Minuten
los um 6:56 Uhr, an um 7:27 Uhr
9 Zaunpfähle
5 Bäume
18 m
28 €
33 €
15:26 Uhr
2 Sechsertische
6 Fahrräder, 1 Dreirad
12 Fahrräder, 1 Dreirad
1,33 €
die Packung
einzeln
356 €
213 €
19,2 km
A, 44 €
B: 8 · (8 + 5)
B, 238 €
Der Preis für Erwachsene fehlt
nicht lösbar
8 Minuten
12 m
27 Kinder
32 €
Die Tore im Finale fehlen
den um 7:11 Uhr
13 Zaunpfähle
16:30 Uhr
3 Hühner, 2 Kaninchen
die Packung
8 €
C: 6 · 7 + 6
9:45 Uhr
500 ct