Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 9:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 9:30 + 1:30 = 11:00 Uhr
Ergebnis:
11:00 Uhr
●40
Rechne um: 3 kg in g.
Lösung zeigen
1. 1 kg = 1.000 g
2. 3 · 1.000 = 3.000 g
Ergebnis:
3.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 25 Kinder und 5 € je Karte.
25 · 5 € = 125 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Gebraucht: 25 Kinder und 5 € je Karte.
25 · 5 € = 125 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Ergebnis:

125 €, die Filmdauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 29 Kinder und 4 €.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 29 Kinder und 4 €.
2. 29 · 4 € = 116 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
116 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 16 Tore geschossen. Zum Finale kamen 181 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 110 Minuten. Der Film beginnt um 8:15 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
Lösung zeigen
1. 110 Minuten sind 1 Stunde und 50 Minuten.
2. 8:15 Uhr plus 110 Minuten: 10:05 Uhr
3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
Ergebnis:
10:05 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:41 Uhr. Welchen Bus 248 muss Noah spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:41 Uhr: 7:18, 7:33 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:33 Uhr an.
Er fährt um 7:06 Uhr ab.

Ankunft vor 7:41 Uhr: 7:18, 7:33 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:33 Uhr an.
Er fährt um 7:06 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:06 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 7:02 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 7:02 Uhr.
2. Von 6:39 bis 7:02 Uhr sind es 23 Minuten.
Ergebnis:
23 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:41 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lina spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:41 Uhr: 7:16, 7:26, 7:36 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:36 Uhr an.
3. Er fährt um 7:13 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:13 Uhr
★6
Hanna braucht 10 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus 248 um 7:04 Uhr nehmen. Wann muss Hanna spätestens los, und wann ist Hanna an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 10 Minuten vor 7:04 Uhr, also 6:54 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:22 Uhr.
Ergebnis:
los um 6:54 Uhr, an um 7:22 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Lina sagt: „Ein Zaun von 120 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 12 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?

Schritt für Schritt

120 : 10 = 12 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 13.

120 : 10 = 12 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 13.

Ergebnis:

Nein, 13 Pfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Entlang eines Weges stehen 12 Bäume im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
So fängst du an:
12 Bäume haben 11 Abstände dazwischen.
Lösung zeigen
1. 12 Bäume haben 11 Abstände dazwischen.
2. 11 · 10 m = 110 m
Ergebnis:
110 m
●8
Lea sagt: „Ein Zaun von 40 m mit einem Pfahl alle 5 m braucht 8 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 40 : 5 = 8 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 9.
Ergebnis:
Nein, 9 Pfähle
★9
Sofia sagt: „Ein Zaun von 100 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 25 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 100 : 4 = 25 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 26.
Ergebnis:
Nein, 26 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Hanna kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Hanna 11 € geschenkt und hat jetzt 31 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 31 € − 11 € = 20 €
Dann den Kauf: 20 € + 15 € = 35 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 31 € − 11 € = 20 €
Dann den Kauf: 20 € + 15 € = 35 €

Ergebnis:

35 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Elias braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:23 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:23 Uhr.
2. Noch 15 Minuten früher: 15:08 Uhr.
Ergebnis:
15:08 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Sofia braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:16 Uhr.
2. Noch 34 Minuten früher: 14:42 Uhr.
Ergebnis:
14:42 Uhr
★12
Can kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Can 4 € geschenkt und hat jetzt 26 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 4 € = 22 €
2. Dann den Kauf: 22 € + 9 € = 31 €
Ergebnis:
31 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Noah 7 Tiere und 18 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Hühner und 2 Kaninchen: 5 · 2 + 2 · 4 = 18

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
5 Hühner und 2 Kaninchen: 5 · 2 + 2 · 4 = 18

Ergebnis:

5 Hühner, 2 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa zählt Zeynep 6 Tische und 30 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 3 Vierertische und 3 Sechsertische: 3 · 4 + 3 · 6 = 30
Ergebnis:
3 Vierertische, 3 Sechsertische
●14
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 7 Fahrzeuge mit 17 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
2. Das passt genau.
3. 4 Fahrräder und 3 Dreiräder: 4 · 2 + 3 · 3 = 17
Ergebnis:
3 Dreiräder
★15
Auf einem Hof zählt Can 11 Tiere und 24 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 6 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 32 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 10 Hühner und 1 Kaninchen: 10 · 2 + 1 · 4 = 24
Ergebnis:
10 Hühner, 1 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,33 €
●17
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 17,70 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
2. Packung: 17,70 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 2,60 €. Eine Monatskarte kostet 40,00 €. Lea fährt im Monat 10-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 10 · 2,60 € = 26,00 €
2. Monatskarte: 40,00 €
3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
Ergebnis:
Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 344 €. Der Förderverein gibt 89 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 9 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?

Schritt für Schritt

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 344 € + 89 € = 433 €; Kosten: 30 · 9 € = 270 €
433 € − 270 € = 163 €

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 344 € + 89 € = 433 €; Kosten: 30 · 9 € = 270 €
433 € − 270 € = 163 €

Ergebnis:

163 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
Die 5c mit 23 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 92 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 92 € : 23 = 4 €
3. 4 € + 5 € = 9 €
Ergebnis:
9 €
●20
Die 5c mit 23 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 161 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 161 € : 23 = 7 €
3. 7 € + 5 € = 12 €
Ergebnis:
12 €
★21
Milan läuft an 5 Tagen in der Woche je 6 Runden auf der 250-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
Lösung zeigen
1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
2. Ein Tag: 6 · 250 m = 1500 m; eine Woche: 5 · 1500 m = 7500 m
3. 4 Wochen: 30.000 m = 30 km
Ergebnis:
30 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · 12 + 5? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 12 €. Dazu kommt eine Pumpe für 5 € für alle.“
(B) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 12 € und je eine Pumpe für 5 €.“

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist A.
8 · 12 + 5 = 101

Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist A.
8 · 12 + 5 = 101

Ergebnis:

A, 101 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · (13 + 5)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „8 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 € und je ein Getränk für 5 €.“
(B) „8 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 €. Dazu kommt ein Getränk für 5 € für alle.“
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
2. Passend ist A.
3. 8 · (13 + 5) = 144
Ergebnis:
A, 144 €
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · 12 + 5? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „4 Kinder kaufen je einen Ball für 12 € und je eine Pumpe für 5 €.“
(B) „4 Kinder kaufen je einen Ball für 12 €. Dazu kommt eine Pumpe für 5 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist B.
3. 4 · 12 + 5 = 53
Ergebnis:
B, 53 €
★24
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je ein Heft für 13 €. Dazu kommt eine Mappe für 8 € für alle.“
(A) 4 · (13 + 8)
(B) 4 + 13 · 8
(C) 4 · 13 + 8
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 4 · 13 + 8 = 60
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 4 · 13 + 8

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 23 Tore geschossen. Zum Finale kamen 313 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 6 Spiele.
2. 15 − 6 = 9
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●26
Auf einem Schiff sind 30 Schafe und 6 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Hanna ist um 7:00 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:04 Uhr.
2. Von 7:00 bis 7:04 Uhr sind es 4 Minuten.
Ergebnis:
4 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 9 Bäume im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 9 Bäume haben 8 Abstände dazwischen.
2. 8 · 10 m = 80 m
Ergebnis:
80 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Zeynep an 14. Stelle von vorn und an 4. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 13 Kinder, dann Zeynep, dahinter 3 Kinder.
2. 13 + 1 + 3 = 17
Ergebnis:
17 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Emma braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 16:04 Uhr.
2. Noch 31 Minuten früher: 15:33 Uhr.
Ergebnis:
15:33 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 36 Tore geschossen. Zum Finale kamen 136 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
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Ergebnis:
8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Elias ist um 6:54 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Elias auf den nächsten Bus M29?
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Ergebnis:
9 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Entlang eines Weges stehen 5 Bäume im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
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Ergebnis:
20 m
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Mia braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 16 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
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Ergebnis:
15:33 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof zählt Lina 10 Tiere und 26 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
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Ergebnis:
7 Hühner, 3 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
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Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
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Ergebnis:
1,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 406 €. Der Förderverein gibt 97 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 7 € für jedes der 28 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
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Ergebnis:
307 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je einen Ball für 8 € und je eine Pumpe für 9 €.“
(A) 4 · 8 + 9
(B) 4 + 8 · 9
(C) 4 · (8 + 9)
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Ergebnis:
C: 4 · (8 + 9)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

116 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Die Tore im Finale fehlen
10:05 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
23 Minuten
den um 7:13 Uhr
los um 6:54 Uhr, an um 7:22 Uhr
110 m
Nein, 9 Pfähle
Nein, 26 Pfähle
15:08 Uhr
14:42 Uhr
31 €
3 Vierertische, 3 Sechsertische
3 Dreiräder
10 Hühner, 1 Kaninchen
1,33 €
die Packung
Nein
9 €
12 €
30 km
A, 144 €
B, 53 €
C: 4 · 13 + 8
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
nicht lösbar
4 Minuten
80 m
17 Kinder
15:33 Uhr
8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
9 Minuten
20 m
15:33 Uhr
7 Hühner, 3 Kaninchen
1,67 €
307 €
C: 4 · (8 + 9)
11:00 Uhr
3.000 g