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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 8:45 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 60 min = 1 h 0 min
    2. 8:45 + 1:00 = 9:45 Uhr
    Ergebnis:
    9:45 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 12 h in min.
    Lösung zeigen
    1. 1 h = 60 min
    2. 12 · 60 = 720 min
    Ergebnis:
    720 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 23 Tore geschossen. Zum Finale kamen 272 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
11 Spiele23 Tore272 Zuschauer
Schritt für Schritt
  1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
  2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
  3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
  1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
  2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
  3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die 5b fährt mit 24 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    24 Kindern6 €95 Minuten
    So fängst du an:
    Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    Lösung zeigen
    1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
    3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt
  2. ●2
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 34 Tore geschossen. Zum Finale kamen 317 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    11 Spiele34 Tore317 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  3. ★3
    Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    27 Kindern5 €95 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
    3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:20 Uhr. Welchen Bus 100 muss Sofia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Bus 100Hauptstraße abSchule an6:447:046:547:147:047:247:147:34
Schritt für Schritt
  1. Ankunft vor 7:20 Uhr: 7:04, 7:14 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:14 Uhr an.
  3. Er fährt um 6:54 Uhr ab.
  1. Ankunft vor 7:20 Uhr: 7:04, 7:14 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:14 Uhr an.
  3. Er fährt um 6:54 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 6:54 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:396:586:547:137:097:287:247:43
    So fängst du an:
    Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:58 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:58 Uhr.
    2. Von 6:39 bis 6:58 Uhr sind es 19 Minuten.
    Ergebnis:
    19 Minuten
  2. ●5
    Der Unterricht beginnt um 7:42 Uhr. Welchen Bus X34 muss Sofia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:447:046:547:147:047:247:147:34
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:42 Uhr: 7:04, 7:14, 7:24, 7:34 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:34 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:14 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:14 Uhr
  3. ★6
    Lina braucht 9 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus 248 um 7:09 Uhr nehmen. Wann muss Lina spätestens los, und wann ist Lina an der Schule?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:497:106:597:207:097:307:197:40
    Lösung zeigen
    1. Los: 9 Minuten vor 7:09 Uhr, also 7:00 Uhr.
    2. Ankunft laut Fahrplan: 7:30 Uhr.
    Ergebnis:
    los um 7:00 Uhr, an um 7:30 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 9 Zaunpfähle im Abstand von 6 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
6 m6 m6 m…?
Schritt für Schritt
  1. 9 Zaunpfähle haben 8 Abstände dazwischen.
  2. 8 · 6 m = 48 m
  1. 9 Zaunpfähle haben 8 Abstände dazwischen.
  2. 8 · 6 m = 48 m
Ergebnis:
48 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Entlang eines Weges stehen 13 Laternen im Abstand von 3 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    3 m3 m3 m…?
    So fängst du an:
    13 Laternen haben 12 Abstände dazwischen.
    Lösung zeigen
    1. 13 Laternen haben 12 Abstände dazwischen.
    2. 12 · 3 m = 36 m
    Ergebnis:
    36 m
  2. ●8
    Entlang eines Weges stehen 9 Bäume im Abstand von 6 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    6 m6 m6 m…?
    Lösung zeigen
    1. 9 Bäume haben 8 Abstände dazwischen.
    2. 8 · 6 m = 48 m
    Ergebnis:
    48 m
  3. ★9
    Elias sagt: „Ein Zaun von 20 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    1. 20 : 4 = 5 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.
    Ergebnis:
    Nein, 6 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Lina braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
WegUmziehen?16:15 Uhr
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 16:00 Uhr.
  2. Noch 21 Minuten früher: 15:39 Uhr.
  1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 16:00 Uhr.
  2. Noch 21 Minuten früher: 15:39 Uhr.
Ergebnis:
15:39 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Elias braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 35 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:00 Uhr
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:47 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:47 Uhr.
    2. Noch 35 Minuten früher: 15:12 Uhr.
    Ergebnis:
    15:12 Uhr
  2. ●11
    Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Can braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:47 Uhr.
    2. Noch 15 Minuten früher: 15:32 Uhr.
    Ergebnis:
    15:32 Uhr
  3. ★12
    Mia kauft ein Buch für 11 €. Danach bekommt Mia 5 € geschenkt und hat jetzt 10 €. Wie viel Geld hatte Mia am Anfang?
    ?− 11 €+ 5 €10 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 10 € − 5 € = 5 €
    2. Dann den Kauf: 5 € + 11 € = 16 €
    Ergebnis:
    16 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Lea 10 Tische und 56 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Vierertische0123…Plätze????
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
  2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 2 Vierertische und 8 Sechsertische: 2 · 4 + 8 · 6 = 56
  1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
  2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 2 Vierertische und 8 Sechsertische: 2 · 4 + 8 · 6 = 56
Ergebnis:
2 Vierertische, 8 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 10 Tiere mit 36 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    So fängst du an:
    Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
    2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 2 Hühner und 8 Kaninchen: 2 · 2 + 8 · 4 = 36
    Ergebnis:
    8 Kaninchen
  2. ●14
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 7 Tiere mit 24 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
    2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 2 Hühner und 5 Kaninchen: 2 · 2 + 5 · 4 = 24
    Ergebnis:
    5 Kaninchen
  3. ★15
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 14 Tische mit 72 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 7 Vierertische und 7 Sechsertische ergeben 70 Plätze.
    2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 6 Vierertische und 8 Sechsertische: 6 · 4 + 8 · 6 = 72
    Ergebnis:
    8 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,20 €
Schritt für Schritt
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
  2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
  2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
Ergebnis:
0,80 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 9,30 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
    So fängst du an:
    6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
    Lösung zeigen
    1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
    2. Packung: 9,30 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln
  2. ●17
    Ein Bleistift kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 5,40 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
    einzeln1 Bleistift1,20 €Packung4 Bleistiften5,40 €
    Lösung zeigen
    1. 4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
    2. Packung: 5,40 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln
  3. ★18
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,50 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
    2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    1,67 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 287 €. Der Förderverein gibt 80 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 6 € für jedes der 23 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
287 €80 €6 €23 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 287 € + 80 € = 367 €; Kosten: 23 · 6 € = 138 €
  3. 367 € − 138 € = 229 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 287 € + 80 € = 367 €; Kosten: 23 · 6 € = 138 €
  3. 367 € − 138 € = 229 €
Ergebnis:
229 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In der Klassenkasse sind 329 €. Der Förderverein gibt 62 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 4 € für jedes der 24 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    329 €62 €4 €24 Kinder
    So fängst du an:
    Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 329 € + 62 € = 391 €; Kosten: 24 · 4 € = 96 €
    3. 391 € − 96 € = 295 €
    Ergebnis:
    295 €
  2. ●20
    In der Klassenkasse sind 434 €. Der Förderverein gibt 116 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 9 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    434 €116 €9 €30 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 434 € + 116 € = 550 €; Kosten: 30 · 9 € = 270 €
    3. 550 € − 270 € = 280 €
    Ergebnis:
    280 €
  3. ★21
    In der Klassenkasse sind 368 €. Der Förderverein gibt 87 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 6 € für jedes der 20 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    368 €87 €6 €20 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 368 € + 87 € = 455 €; Kosten: 20 · 6 € = 120 €
    3. 455 € − 120 € = 335 €
    Ergebnis:
    335 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · (9 + 9)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „4 Kinder kaufen je einen Ball für 9 € und je eine Pumpe für 9 €.“
(B) „4 Kinder kaufen je einen Ball für 9 €. Dazu kommt eine Pumpe für 9 € für alle.“
Schritt für Schritt
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
  2. Passend ist A.
  3. 4 · (9 + 9) = 72
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
  2. Passend ist A.
  3. 4 · (9 + 9) = 72
Ergebnis:
A, 72 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je ein Heft für 8 €. Dazu kommt eine Mappe für 5 € für alle.“
    (A) 7 + 8 · 5
    (B) 7 · (8 + 5)
    (C) 7 · 8 + 5
    So fängst du an:
    Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 7 · 8 + 5 = 61
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C: 7 · 8 + 5
  2. ●23
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je einen Ball für 8 €. Dazu kommt eine Pumpe für 3 € für alle.“
    (A) 3 · 8 + 3
    (B) 3 + 8 · 3
    (C) 3 · (8 + 3)
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 3 · 8 + 3 = 27
    3. Richtig ist A.
    Ergebnis:
    A: 3 · 8 + 3
  3. ★24
    Erfinde zu 3 · 8 + 5 eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 8 €. Dazu kommt ein Getränk für 5 € für alle.“
    3. 3 · 8 + 5 = 29
    Ergebnis:
    29 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    24 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    24 Kinder2 Lehrkräfte16 km5 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    2. Die Anzahl ist da: 2.
    3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt
  2. ●26
    Ein Regal hat 3 Böden mit je 24 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viel kostet ein Buch? B: Wie viele Bücher stehen im Regal? C: Wie viele Seiten hat das dickste Buch?
    3 Böden24 Büchern
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
    2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 3 · 24 = 72.
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B, 72 Bücher
  3. ●27
    Milan ist um 6:48 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Milan auf den nächsten Bus 100?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:457:037:007:187:157:337:307:48
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:00 Uhr.
    2. Von 6:48 bis 7:00 Uhr sind es 12 Minuten.
    Ergebnis:
    12 Minuten
  4. ●28
    Zeynep sagt: „Ein Zaun von 60 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 6 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    1. 60 : 10 = 6 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 7.
    Ergebnis:
    Nein, 7 Pfähle
  5. ●29
    In der Schlange vor der Mensa steht Noah an 13. Stelle von vorn und an 11. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
    1311
    Lösung zeigen
    1. Skizze: vorn 12 Kinder, dann Noah, dahinter 10 Kinder.
    2. 12 + 1 + 10 = 23
    Ergebnis:
    23 Kinder
  6. ●30
    Can kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Can 11 € geschenkt und hat jetzt 34 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
    ?− 14 €+ 11 €34 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 34 € − 11 € = 23 €
    2. Dann den Kauf: 23 € + 14 € = 37 €
    Ergebnis:
    37 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    30 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    30 Kinder2 Lehrkräfte14 km5 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Der Unterricht beginnt um 7:29 Uhr. Welchen Bus M29 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:547:077:047:177:147:277:247:37
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    den um 7:14 Uhr

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Entlang eines Weges stehen 7 Bäume im Abstand von 6 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    6 m6 m6 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36 m

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Jonas braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Jonas spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?15:30 Uhr
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15:05 Uhr

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 7 Tiere mit 20 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Kaninchen

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Eine Saftflasche kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 10,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    einzeln

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    In der Klassenkasse sind 306 €. Der Förderverein gibt 43 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 8 € für jedes der 21 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    306 €43 €8 €21 Kinder
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    181 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · (15 + 2)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „7 Kinder kaufen je einen Ball für 15 €. Dazu kommt eine Pumpe für 2 € für alle.“
    (B) „7 Kinder kaufen je einen Ball für 15 € und je eine Pumpe für 2 €.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B, 119 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. Der Beginn des Films fehlt
  2. Die Tore im Finale fehlen
  3. Der Beginn des Films fehlt
  4. 19 Minuten
  5. den um 7:14 Uhr
  6. los um 7:00 Uhr, an um 7:30 Uhr
  7. 36 m
  8. 48 m
  9. Nein, 6 Pfähle
  10. 15:12 Uhr
  11. 15:32 Uhr
  12. 16 €
  13. 8 Kaninchen
  14. 5 Kaninchen
  15. 8 Sechsertische
  16. einzeln
  17. einzeln
  18. 1,67 €
  19. 295 €
  20. 280 €
  21. 335 €
  22. C: 7 · 8 + 5
  23. A: 3 · 8 + 3
  24. 29 €
  25. Der Preis für Erwachsene fehlt
  26. B, 72 Bücher
  27. 12 Minuten
  28. Nein, 7 Pfähle
  29. 23 Kinder
  30. 37 €
  31. Der Preis für Erwachsene fehlt
  32. den um 7:14 Uhr
  33. 36 m
  34. 15:05 Uhr
  35. 3 Kaninchen
  36. einzeln
  37. 181 €
  38. B, 119 €
  39. 9:45 Uhr
  40. 720 min