Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:30 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 8:30 + 0:45 = 9:15 Uhr
Ergebnis:
9:15 Uhr
●40
Rechne um: 4 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 4 · 60 = 240 min
Ergebnis:
240 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

24 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
23 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 23 Kinder und 7 €.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 23 Kinder und 7 €.
2. 23 · 7 € = 161 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
161 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●2
25 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 25 Kinder und 5 €.
2. 25 · 5 € = 125 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
125 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
★3
25 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:36 Uhr. Welchen Bus X34 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:36 Uhr: 6:59, 7:14, 7:29 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:29 Uhr an.
Er fährt um 7:15 Uhr ab.

Ankunft vor 7:36 Uhr: 6:59, 7:14, 7:29 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:29 Uhr an.
Er fährt um 7:15 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:15 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:21 Uhr. Welchen Bus 100 muss Mia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:21 Uhr: 7:08, 7:18 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:21 Uhr: 7:08, 7:18 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:18 Uhr an.
3. Er fährt um 7:01 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:01 Uhr
●5
Hanna ist um 7:01 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:05 Uhr.
2. Von 7:01 bis 7:05 Uhr sind es 4 Minuten.
Ergebnis:
4 Minuten
★6
Sofia ist um 7:03 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Sofia auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:06 Uhr.
2. Von 7:03 bis 7:06 Uhr sind es 3 Minuten.
Ergebnis:
3 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Sofia sagt: „Ein Zaun von 21 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 7 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?

Schritt für Schritt

21 : 3 = 7 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 8.

21 : 3 = 7 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 8.

Ergebnis:

Nein, 8 Pfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Entlang eines Weges stehen 11 Bäume im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
So fängst du an:
11 Bäume haben 10 Abstände dazwischen.
Lösung zeigen
1. 11 Bäume haben 10 Abstände dazwischen.
2. 10 · 10 m = 100 m
Ergebnis:
100 m
●8
Entlang eines Weges stehen 11 Bäume im Abstand von 6 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 11 Bäume haben 10 Abstände dazwischen.
2. 10 · 6 m = 60 m
Ergebnis:
60 m
★9
Entlang eines Weges stehen 5 Laternen im Abstand von 3 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 5 Laternen haben 4 Abstände dazwischen.
2. 4 · 3 m = 12 m
Ergebnis:
12 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Milan braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:01 Uhr.
Noch 21 Minuten früher: 15:40 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:01 Uhr.
Noch 21 Minuten früher: 15:40 Uhr.

Ergebnis:

15:40 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Paul kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Paul 9 € geschenkt und hat jetzt 30 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 30 € − 9 € = 21 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 30 € − 9 € = 21 €
2. Dann den Kauf: 21 € + 9 € = 30 €
Ergebnis:
30 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Aylin braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 22 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:55 Uhr.
2. Noch 22 Minuten früher: 15:33 Uhr.
Ergebnis:
15:33 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Tom braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 16:45 Uhr.
2. Noch 21 Minuten früher: 16:24 Uhr.
Ergebnis:
16:24 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 5 Fahrzeuge mit 11 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
4 Fahrräder und 1 Dreirad: 4 · 2 + 1 · 3 = 11

Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
4 Fahrräder und 1 Dreirad: 4 · 2 + 1 · 3 = 11

Ergebnis:

1 Dreirad

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof zählt Paul 9 Tiere und 22 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 7 Hühner und 2 Kaninchen: 7 · 2 + 2 · 4 = 22
Ergebnis:
7 Hühner, 2 Kaninchen
●14
Im Hof der Kita zählt Elias 6 Fahrzeuge und 15 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
2. Das passt genau.
3. 3 Fahrräder und 3 Dreiräder: 3 · 2 + 3 · 3 = 15
Ergebnis:
3 Fahrräder, 3 Dreiräder
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 18 Tiere mit 50 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Hühner und 9 Kaninchen ergeben 54 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 11 Hühner und 7 Kaninchen: 11 · 2 + 7 · 4 = 50
Ergebnis:
7 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 14,70 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?

Schritt für Schritt

6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
Packung: 14,70 €
Die Packung ist günstiger.

6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
Packung: 14,70 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Bleistift kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 8,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
2. Packung: 8,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,33 €
★18
Ein Tennisball kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 3,80 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
2. Packung: 3,80 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 27 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 189 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 189 € : 27 = 7 €
7 € + 6 € = 13 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 189 € : 27 = 7 €
7 € + 6 € = 13 €

Ergebnis:

13 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 351 €. Der Förderverein gibt 67 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 6 € für jedes der 20 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 351 € + 67 € = 418 €; Kosten: 20 · 6 € = 120 €
3. 418 € − 120 € = 298 €
Ergebnis:
298 €
●20
Die 5c mit 25 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 100 € für alle zusammen, der Eintritt 9 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 100 € : 25 = 4 €
3. 4 € + 9 € = 13 €
Ergebnis:
13 €
★21
Die 5c mit 20 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 80 € für alle zusammen, der Eintritt 8 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 80 € : 20 = 4 €
3. 4 € + 8 € = 12 €
Ergebnis:
12 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je ein Heft für 10 €. Dazu kommt eine Mappe für 3 € für alle.“
(A) 3 + 10 · 3
(B) 3 · (10 + 3)
(C) 3 · 10 + 3

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 3 · 10 + 3 = 33
Richtig ist C.

Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 3 · 10 + 3 = 33
Richtig ist C.

Ergebnis:

C: 3 · 10 + 3

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 15 + 9? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 15 €. Dazu kommt ein Getränk für 9 € für alle.“
(B) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 15 € und je ein Getränk für 9 €.“
So fängst du an:
Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist A.
3. 5 · 15 + 9 = 84
Ergebnis:
A, 84 €
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · 15 + 7? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 15 € und je eine Mappe für 7 €.“
(B) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 15 €. Dazu kommt eine Mappe für 7 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist B.
3. 6 · 15 + 7 = 97
Ergebnis:
B, 97 €
★24
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je ein Heft für 23 € und je eine Mappe für 2 €.“
(A) 6 + 23 · 2
(B) 6 · 23 + 2
(C) 6 · (23 + 2)
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
2. Passend: 6 · (23 + 2) = 150
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 6 · (23 + 2)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 6 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
In der Klasse sind 25 Kinder. Sie spielen in 5 gleich großen Teams, wer übrig bleibt, pfeift. Wie viele Kinder pfeifen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. 25 : 5 = 5
2. 0 Kinder pfeifen.
Ergebnis:
lösbar, 0
●27
Sofia ist um 7:00 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Sofia auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:09 Uhr.
2. Von 7:00 bis 7:09 Uhr sind es 9 Minuten.
Ergebnis:
9 Minuten
●28
Hanna sagt: „Ein Zaun von 36 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 12 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 36 : 3 = 12 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 13.
Ergebnis:
Nein, 13 Pfähle
●29
Im Kino sitzt Can auf Platz 6 von links. Zwischen Can und Emma sitzen 3 Kinder, Emma sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Emma?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 6 ist Can, dann 3 Plätze dazwischen.
2. 6 + 3 + 1 = 10
Ergebnis:
Platz 10
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Hanna braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 16 Minuten für den Weg. Wann muss Hanna spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:51 Uhr.
2. Noch 16 Minuten früher: 15:35 Uhr.
Ergebnis:
15:35 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 20 Tore geschossen. Zum Finale kamen 417 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Zeynep ist um 7:02 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Zeynep auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ein Zaun ist 24 m lang. Alle 3 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
9 Zaunpfähle
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Noah kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Noah 11 € geschenkt und hat jetzt 17 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
18 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof zählt Milan 6 Tiere und 22 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Huhn, 5 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 6,30 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
Die 5c mit 26 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 182 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
13 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · 13 + 6? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „7 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 €. Dazu kommt ein Getränk für 6 € für alle.“
(B) „7 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 € und je ein Getränk für 6 €.“
Lösung zeigen
Ergebnis:
A, 97 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

161 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
125 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
den um 7:01 Uhr
4 Minuten
3 Minuten
100 m
60 m
12 m
30 €
15:33 Uhr
16:24 Uhr
7 Hühner, 2 Kaninchen
3 Fahrräder, 3 Dreiräder
7 Kaninchen
die Packung
1,33 €
die Packung
298 €
13 €
12 €
A, 84 €
B, 97 €
C: 6 · (23 + 2)
Der Preis für Erwachsene fehlt
lösbar, 0
9 Minuten
Nein, 13 Pfähle
Platz 10
15:35 Uhr
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
6 Minuten
9 Zaunpfähle
18 €
1 Huhn, 5 Kaninchen
einzeln
13 €
A, 97 €
9:15 Uhr
240 min