Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:15 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 8:15 + 1:00 = 9:15 Uhr
Ergebnis:
9:15 Uhr
●40
Rechne um: 5 € in ct.
Lösung zeigen
1. 1 € = 100 ct
2. 5 · 100 = 500 ct
Ergebnis:
500 ct

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

26 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 28 Kinder und 9 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 28 Kinder und 9 € je Karte.
2. 28 · 9 € = 252 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
252 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
30 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 110 Minuten. Der Film beginnt um 9:00 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
Lösung zeigen
1. 110 Minuten sind 1 Stunde und 50 Minuten.
2. 9:00 Uhr plus 110 Minuten: 10:50 Uhr
3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
Ergebnis:
10:50 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:43 Uhr, an 7:10 Uhr.
Von 6:43 bis 7:10 Uhr sind es 27 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:43 Uhr, an 7:10 Uhr.
Von 6:43 bis 7:10 Uhr sind es 27 Minuten.

Ergebnis:

27 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:01 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:01 Uhr.
2. Von 6:48 bis 7:01 Uhr sind es 13 Minuten.
Ergebnis:
13 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:56 Uhr. Welchen Bus X34 muss Elias spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:56 Uhr: 7:03, 7:18, 7:33, 7:48 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:48 Uhr an.
3. Er fährt um 7:34 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:34 Uhr
★6
Jonas braucht 10 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus M29 um 7:17 Uhr nehmen. Wann muss Jonas spätestens los, und wann ist Jonas an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 10 Minuten vor 7:17 Uhr, also 7:07 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:39 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:07 Uhr, an um 7:39 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ein Weg ist 16 m lang. Alle 4 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?

Schritt für Schritt

Abstände: 16 : 4 = 4
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
4 + 1 = 5

Abstände: 16 : 4 = 4
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
4 + 1 = 5

Ergebnis:

5 Laternen

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Weg ist 12 m lang. Alle 2 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
So fängst du an:
Abstände: 12 : 2 = 6
Lösung zeigen
1. Abstände: 12 : 2 = 6
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 6 + 1 = 7
Ergebnis:
7 Laternen
●8
Aylin sagt: „Ein Zaun von 40 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 10 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 40 : 4 = 10 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 11.
Ergebnis:
Nein, 11 Pfähle
★9
Um ein Beet mit 210 m Umfang werden rundherum alle 10 m Pfähle gesetzt. Wie viele Pfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Rundherum gibt es keinen Anfang und kein Ende.
2. Pfähle und Abstände sind gleich viele: 210 : 10 = 21
Ergebnis:
21 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Sofia braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:46 Uhr.
Noch 15 Minuten früher: 15:31 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:46 Uhr.
Noch 15 Minuten früher: 15:31 Uhr.

Ergebnis:

15:31 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Elias braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 16 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 16:03 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 16:03 Uhr.
2. Noch 16 Minuten früher: 15:47 Uhr.
Ergebnis:
15:47 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Paul braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 35 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:05 Uhr.
2. Noch 35 Minuten früher: 15:30 Uhr.
Ergebnis:
15:30 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Aylin braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 22 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:51 Uhr.
2. Noch 22 Minuten früher: 15:29 Uhr.
Ergebnis:
15:29 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 7 Fahrzeuge mit 19 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 5 Dreiräder: 2 · 2 + 5 · 3 = 19

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 5 Dreiräder: 2 · 2 + 5 · 3 = 19

Ergebnis:

5 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita zählt Sofia 10 Fahrzeuge und 23 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 7 Fahrräder und 3 Dreiräder: 7 · 2 + 3 · 3 = 23
Ergebnis:
7 Fahrräder, 3 Dreiräder
●14
Im Hof der Kita zählt Milan 10 Fahrzeuge und 25 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
2. Das passt genau.
3. 5 Fahrräder und 5 Dreiräder: 5 · 2 + 5 · 3 = 25
Ergebnis:
5 Fahrräder, 5 Dreiräder
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 17 Fahrzeuge mit 50 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Fahrräder und 8 Dreiräder ergeben 42 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 16 Dreiräder: 1 · 2 + 16 · 3 = 50
Ergebnis:
16 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 7,50 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
Packung: 7,50 €
Einzeln ist günstiger.

6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
Packung: 7,50 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Müsliriegel kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 2,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?
So fängst du an:
4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
2. Packung: 2,60 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Ein Müsliriegel kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 14,70 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
2. Packung: 14,70 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 4,20 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
2. Packung: 4,20 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 27 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 162 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 162 € : 27 = 6 €
6 € + 4 € = 10 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 162 € : 27 = 6 €
6 € + 4 € = 10 €

Ergebnis:

10 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
Die 5c mit 25 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 150 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 150 € : 25 = 6 €
3. 6 € + 4 € = 10 €
Ergebnis:
10 €
●20
Die 5c mit 28 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 112 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 112 € : 28 = 4 €
3. 4 € + 6 € = 10 €
Ergebnis:
10 €
★21
Can läuft an 4 Tagen in der Woche je 4 Runden auf der 250-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
Lösung zeigen
1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
2. Ein Tag: 4 · 250 m = 1000 m; eine Woche: 4 · 1000 m = 4000 m
3. 4 Wochen: 16.000 m = 16 km
Ergebnis:
16 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · 11 + 8? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „3 Kinder kaufen je ein Heft für 11 €. Dazu kommt eine Mappe für 8 € für alle.“
(B) „3 Kinder kaufen je ein Heft für 11 € und je eine Mappe für 8 €.“

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist A.
3 · 11 + 8 = 41

Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist A.
3 · 11 + 8 = 41

Ergebnis:

A, 41 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · (13 + 3)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 13 € und je eine Mappe für 3 €.“
(B) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 13 €. Dazu kommt eine Mappe für 3 € für alle.“
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
2. Passend ist A.
3. 6 · (13 + 3) = 96
Ergebnis:
A, 96 €
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · 10 + 5? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 10 € und je eine Mappe für 5 €.“
(B) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 10 €. Dazu kommt eine Mappe für 5 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist B.
3. 6 · 10 + 5 = 65
Ergebnis:
B, 65 €
★24
Erfinde zu 4 · (22 + 9) eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
2. „4 Kinder kaufen je ein Heft für 22 € und je eine Mappe für 9 €.“
3. 4 · (22 + 9) = 124
Ergebnis:
124 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
29 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 29 Kinder und 3 €.
2. 29 · 3 € = 87 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
87 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 4 Böden. Auf jedem stehen 8 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 4 Böden, 8 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Lea sagt: „Ein Zaun von 80 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 8 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 80 : 10 = 8 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 9.
Ergebnis:
Nein, 9 Pfähle
●28
In der Schlange vor der Mensa steht Lea an 5. Stelle von vorn und an 8. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 4 Kinder, dann Lea, dahinter 7 Kinder.
2. 4 + 1 + 7 = 12
Ergebnis:
12 Kinder
●29
Aylin kauft ein Buch für 5 €. Danach bekommt Aylin 11 € geschenkt und hat jetzt 15 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 15 € − 11 € = 4 €
2. Dann den Kauf: 4 € + 5 € = 9 €
Ergebnis:
9 €
●30
Im Hof der Kita zählt Elias 9 Fahrzeuge und 22 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
2. Das passt genau.
3. 5 Fahrräder und 4 Dreiräder: 5 · 2 + 4 · 3 = 22
Ergebnis:
5 Fahrräder, 4 Dreiräder

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
26 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Lina ist um 6:48 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lina auf den nächsten Bus X34?
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Ergebnis:
7 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Entlang eines Weges stehen 13 Laternen im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
Ergebnis:
120 m
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Paul kauft ein Buch für 5 €. Danach bekommt Paul 5 € geschenkt und hat jetzt 8 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof zählt Tom 6 Tiere und 20 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Hühner, 4 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 3,30 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 412 €. Der Förderverein gibt 78 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 8 € für jedes der 26 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
Ergebnis:
282 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · (9 + 9)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „7 Kinder kaufen je einen Ball für 9 € und je eine Pumpe für 9 €.“
(B) „7 Kinder kaufen je einen Ball für 9 €. Dazu kommt eine Pumpe für 9 € für alle.“
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Ergebnis:
A, 126 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

252 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
10:50 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
13 Minuten
den um 7:34 Uhr
los um 7:07 Uhr, an um 7:39 Uhr
7 Laternen
Nein, 11 Pfähle
21 Pfähle
15:47 Uhr
15:30 Uhr
15:29 Uhr
7 Fahrräder, 3 Dreiräder
5 Fahrräder, 5 Dreiräder
16 Dreiräder
die Packung
die Packung
die Packung
10 €
10 €
16 km
A, 96 €
B, 65 €
124 €
87 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
nicht lösbar
Nein, 9 Pfähle
12 Kinder
9 €
5 Fahrräder, 4 Dreiräder
Der Preis für Erwachsene fehlt
7 Minuten
120 m
8 €
2 Hühner, 4 Kaninchen
die Packung
282 €
A, 126 €
9:15 Uhr
500 ct