Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:45 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 10:45 + 1:00 = 11:45 Uhr
Ergebnis:
11:45 Uhr
●40
Rechne um: 3 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 3 · 100 = 300 cm
Ergebnis:
300 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 430 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 10 Spiele.
15 − 10 = 5
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 10 Spiele.
15 − 10 = 5
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

5 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 23 Tore geschossen. Zum Finale kamen 442 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●2
26 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 8 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
30 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 10 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:47 Uhr, an 7:04 Uhr.
Von 6:47 bis 7:04 Uhr sind es 17 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:47 Uhr, an 7:04 Uhr.
Von 6:47 bis 7:04 Uhr sind es 17 Minuten.

Ergebnis:

17 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:54 Uhr. Welchen Bus 248 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:54 Uhr: 6:58, 7:13, 7:28, 7:43 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:54 Uhr: 6:58, 7:13, 7:28, 7:43 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:43 Uhr an.
3. Er fährt um 7:26 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:26 Uhr
●5
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:47 Uhr, an 7:04 Uhr.
2. Von 6:47 bis 7:04 Uhr sind es 17 Minuten.
Ergebnis:
17 Minuten
★6
Paul ist um 6:46 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Paul auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:55 Uhr.
2. Von 6:46 bis 6:55 Uhr sind es 9 Minuten.
Ergebnis:
9 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 11 Laternen im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?

Schritt für Schritt

11 Laternen haben 10 Abstände dazwischen.
10 · 4 m = 40 m

11 Laternen haben 10 Abstände dazwischen.
10 · 4 m = 40 m

Ergebnis:

40 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Zaun ist 30 m lang. Alle 5 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
So fängst du an:
Abstände: 30 : 5 = 6
Lösung zeigen
1. Abstände: 30 : 5 = 6
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 6 + 1 = 7
Ergebnis:
7 Zaunpfähle
●8
Paul sagt: „Ein Zaun von 21 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 7 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 21 : 3 = 7 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 8.
Ergebnis:
Nein, 8 Pfähle
★9
Ein Zaun ist 75 m lang. Alle 3 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 75 : 3 = 25
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 25 + 1 = 26
Ergebnis:
26 Zaunpfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Lea kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Lea 5 € geschenkt und hat jetzt 12 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 12 € − 5 € = 7 €
Dann den Kauf: 7 € + 7 € = 14 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 12 € − 5 € = 7 €
Dann den Kauf: 7 € + 7 € = 14 €

Ergebnis:

14 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Can kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Can 4 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 24 € − 4 € = 20 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 24 € − 4 € = 20 €
2. Dann den Kauf: 20 € + 6 € = 26 €
Ergebnis:
26 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Sofia braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 23 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:06 Uhr.
2. Noch 23 Minuten früher: 15:43 Uhr.
Ergebnis:
15:43 Uhr
★12
Noah kauft ein Buch für 5 €. Danach bekommt Noah 5 € geschenkt und hat jetzt 9 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 9 € − 5 € = 4 €
2. Dann den Kauf: 4 € + 5 € = 9 €
Ergebnis:
9 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 6 Tische mit 28 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
4 Vierertische und 2 Sechsertische: 4 · 4 + 2 · 6 = 28

Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
4 Vierertische und 2 Sechsertische: 4 · 4 + 2 · 6 = 28

Ergebnis:

2 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita zählt Zeynep 8 Fahrzeuge und 17 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 7 Fahrräder und 1 Dreirad: 7 · 2 + 1 · 3 = 17
Ergebnis:
7 Fahrräder, 1 Dreirad
●14
In der Mensa zählt Sofia 7 Tische und 30 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Vierertische und 1 Sechsertisch: 6 · 4 + 1 · 6 = 30
Ergebnis:
6 Vierertische, 1 Sechsertisch
★15
In der Mensa zählt Zeynep 17 Tische und 86 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Vierertische und 8 Sechsertische ergeben 84 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 8 Vierertische und 9 Sechsertische: 8 · 4 + 9 · 6 = 86
Ergebnis:
8 Vierertische, 9 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Müsliriegel kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 24,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?

Schritt für Schritt

10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
Packung: 24,00 €
Die Packung ist günstiger.

10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
Packung: 24,00 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Bleistift kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 8,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
2. Packung: 8,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Ein Tennisball kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 9,70 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
2. Packung: 9,70 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 2,80 €. Eine Monatskarte kostet 45,00 €. Noah fährt im Monat 25-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 25 · 2,80 € = 70,00 €
2. Monatskarte: 45,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 274 €. Der Förderverein gibt 72 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 5 € für jedes der 22 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?

Schritt für Schritt

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 274 € + 72 € = 346 €; Kosten: 22 · 5 € = 110 €
346 € − 110 € = 236 €

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 274 € + 72 € = 346 €; Kosten: 22 · 5 € = 110 €
346 € − 110 € = 236 €

Ergebnis:

236 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 283 €. Der Förderverein gibt 90 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 7 € für jedes der 22 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 283 € + 90 € = 373 €; Kosten: 22 · 7 € = 154 €
3. 373 € − 154 € = 219 €
Ergebnis:
219 €
●20
In der Klassenkasse sind 363 €. Der Förderverein gibt 83 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 5 € für jedes der 28 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 363 € + 83 € = 446 €; Kosten: 28 · 5 € = 140 €
3. 446 € − 140 € = 306 €
Ergebnis:
306 €
★21
In der Klassenkasse sind 398 €. Der Förderverein gibt 99 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 9 € für jedes der 29 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 398 € + 99 € = 497 €; Kosten: 29 · 9 € = 261 €
3. 497 € − 261 € = 236 €
Ergebnis:
236 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je ein Ticket für 9 €. Dazu kommt ein Getränk für 5 € für alle.“
(A) 8 · 9 + 5
(B) 8 + 9 · 5
(C) 8 · (9 + 5)

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 8 · 9 + 5 = 77
Richtig ist A.

Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 8 · 9 + 5 = 77
Richtig ist A.

Ergebnis:

A: 8 · 9 + 5

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · (10 + 2)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „3 Kinder kaufen je ein Heft für 10 € und je eine Mappe für 2 €.“
(B) „3 Kinder kaufen je ein Heft für 10 €. Dazu kommt eine Mappe für 2 € für alle.“
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
2. Passend ist A.
3. 3 · (10 + 2) = 36
Ergebnis:
A, 36 €
●23
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je ein Ticket für 8 € und je ein Getränk für 7 €.“
(A) 8 + 8 · 7
(B) 8 · 8 + 7
(C) 8 · (8 + 7)
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
2. Passend: 8 · (8 + 7) = 120
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 8 · (8 + 7)
★24
Erfinde zu 9 · 12 + 7 eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 9-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. „9 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 €. Dazu kommt ein Getränk für 7 € für alle.“
3. 9 · 12 + 7 = 115
Ergebnis:
115 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●26
Ein Regal hat 8 Böden. Auf jedem stehen 15 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 8 Böden, 15 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:40 Uhr. Welchen Bus M29 muss Ben spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:40 Uhr: 7:02, 7:12, 7:22, 7:32 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:32 Uhr an.
3. Er fährt um 7:18 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:18 Uhr
●28
Ein Weg ist 36 m lang. Alle 4 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 36 : 4 = 9
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 9 + 1 = 10
Ergebnis:
10 Laternen
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Can an 3. Stelle von vorn und an 13. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 2 Kinder, dann Can, dahinter 12 Kinder.
2. 2 + 1 + 12 = 15
Ergebnis:
15 Kinder
●30
Emma kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Emma 3 € geschenkt und hat jetzt 17 €. Wie viel Geld hatte Emma am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 3 € = 14 €
2. Dann den Kauf: 14 € + 12 € = 26 €
Ergebnis:
26 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 18 Tore geschossen. Zum Finale kamen 400 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
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Ergebnis:
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Lina ist um 6:56 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lina auf den nächsten Bus 100?
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Ergebnis:
10 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Entlang eines Weges stehen 6 Zaunpfähle im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
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Ergebnis:
25 m
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Lea braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 25 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
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Ergebnis:
14:56 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 36 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
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Ergebnis:
2 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 5,70 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
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Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 377 €. Der Förderverein gibt 75 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 9 € für jedes der 26 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
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Ergebnis:
218 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je ein Heft für 6 € und je eine Mappe für 9 €.“
(A) 5 · (6 + 9)
(B) 5 + 6 · 9
(C) 5 · 6 + 9
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Ergebnis:
A: 5 · (6 + 9)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Die Tore im Finale fehlen
Der Preis für Erwachsene fehlt
Der Preis für Erwachsene fehlt
den um 7:26 Uhr
17 Minuten
9 Minuten
7 Zaunpfähle
Nein, 8 Pfähle
26 Zaunpfähle
26 €
15:43 Uhr
9 €
7 Fahrräder, 1 Dreirad
6 Vierertische, 1 Sechsertisch
8 Vierertische, 9 Sechsertische
die Packung
die Packung
Ja
219 €
306 €
236 €
A, 36 €
C: 8 · (8 + 7)
115 €
Der Beginn des Films fehlt
nicht lösbar
den um 7:18 Uhr
10 Laternen
15 Kinder
26 €
3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
10 Minuten
25 m
14:56 Uhr
2 Sechsertische
einzeln
218 €
A: 5 · (6 + 9)
11:45 Uhr
300 cm