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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 8:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1 h 30 min
    2. 8:30 + 1:30 = 10:00 Uhr
    Ergebnis:
    10:00 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 2 m in cm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 100 cm
    2. 2 · 100 = 200 cm
    Ergebnis:
    200 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
28 Kindern5 €95 Minuten
Schritt für Schritt
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    30 Kindern8 €110 Minuten
    So fängst du an:
    Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    Lösung zeigen
    1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
    3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt
  2. ●2
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 34 Tore geschossen. Zum Finale kamen 443 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    6 Spiele34 Tore443 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 6 Spiele.
    2. 15 − 6 = 9
    3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
    Ergebnis:
    9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  3. ★3
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 18 Tore geschossen. Zum Finale kamen 469 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    10 Spiele18 Tore469 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Bus M29Hauptstraße abSchule an6:417:086:567:237:117:387:267:53
Schritt für Schritt
  1. Zum Beispiel: ab 6:41 Uhr, an 7:08 Uhr.
  2. Von 6:41 bis 7:08 Uhr sind es 27 Minuten.
  1. Zum Beispiel: ab 6:41 Uhr, an 7:08 Uhr.
  2. Von 6:41 bis 7:08 Uhr sind es 27 Minuten.
Ergebnis:
27 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeynep ist um 6:56 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Zeynep auf den nächsten Bus 100?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:517:127:067:277:217:427:367:57
    So fängst du an:
    Der nächste fährt um 7:06 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:06 Uhr.
    2. Von 6:56 bis 7:06 Uhr sind es 10 Minuten.
    Ergebnis:
    10 Minuten
  2. ●5
    Der Unterricht beginnt um 8:02 Uhr. Welchen Bus 248 muss Aylin spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:557:147:157:347:357:547:558:14
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 8:02 Uhr: 7:14, 7:34, 7:54 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:54 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:35 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:35 Uhr
  3. ★6
    Der Unterricht beginnt um 7:49 Uhr. Welchen Bus M29 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:557:107:157:307:357:507:558:10
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:49 Uhr: 7:10, 7:30 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:30 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:15 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:15 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 6 Bäume im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
2 m2 m2 m…?
Schritt für Schritt
  1. 6 Bäume haben 5 Abstände dazwischen.
  2. 5 · 2 m = 10 m
  1. 6 Bäume haben 5 Abstände dazwischen.
  2. 5 · 2 m = 10 m
Ergebnis:
10 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Zaun ist 45 m lang. Alle 5 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    5 m5 m5 m…?
    So fängst du an:
    Abstände: 45 : 5 = 9
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 45 : 5 = 9
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 9 + 1 = 10
    Ergebnis:
    10 Zaunpfähle
  2. ●8
    Paul sagt: „Ein Zaun von 14 m mit einem Pfahl alle 2 m braucht 7 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    1. 14 : 2 = 7 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 8.
    Ergebnis:
    Nein, 8 Pfähle
  3. ★9
    Eine Allee ist 65 m lang. Alle 5 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    5 m5 m5 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 65 : 5 = 13
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 13 + 1 = 14
    Ergebnis:
    14 Bäume

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Aylin kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Aylin 10 € geschenkt und hat jetzt 17 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
?− 12 €+ 10 €17 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 10 € = 7 €
  2. Dann den Kauf: 7 € + 12 € = 19 €
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 10 € = 7 €
  2. Dann den Kauf: 7 € + 12 € = 19 €
Ergebnis:
19 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Hanna kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Hanna 5 € geschenkt und hat jetzt 22 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?
    ?− 17 €+ 5 €22 €
    So fängst du an:
    Rückwärts, zuerst das Geschenk: 22 € − 5 € = 17 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 22 € − 5 € = 17 €
    2. Dann den Kauf: 17 € + 17 € = 34 €
    Ergebnis:
    34 €
  2. ●11
    Emma kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Emma 10 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Emma am Anfang?
    ?− 18 €+ 10 €25 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 10 € = 15 €
    2. Dann den Kauf: 15 € + 18 € = 33 €
    Ergebnis:
    33 €
  3. ★12
    Ben kauft ein Buch für 11 €. Danach bekommt Ben 5 € geschenkt und hat jetzt 12 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
    ?− 11 €+ 5 €12 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 12 € − 5 € = 7 €
    2. Dann den Kauf: 7 € + 11 € = 18 €
    Ergebnis:
    18 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 5 Fahrzeuge mit 12 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
  2. Das passt genau.
  3. 3 Fahrräder und 2 Dreiräder: 3 · 2 + 2 · 3 = 12
  1. Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
  2. Das passt genau.
  3. 3 Fahrräder und 2 Dreiräder: 3 · 2 + 2 · 3 = 12
Ergebnis:
2 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 10 Fahrzeuge mit 21 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    So fängst du an:
    Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
    2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
    3. 9 Fahrräder und 1 Dreirad: 9 · 2 + 1 · 3 = 21
    Ergebnis:
    1 Dreirad
  2. ●14
    In der Mensa zählt Elias 6 Tische und 30 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Vierertische0123…Plätze????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
    2. Das passt genau.
    3. 3 Vierertische und 3 Sechsertische: 3 · 4 + 3 · 6 = 30
    Ergebnis:
    3 Vierertische, 3 Sechsertische
  3. ★15
    Im Hof der Kita zählt Noah 10 Fahrzeuge und 28 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
    2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
    3. 2 Fahrräder und 8 Dreiräder: 2 · 2 + 8 · 3 = 28
    Ergebnis:
    2 Fahrräder, 8 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Tennisball kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 18,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
einzeln1 Tennisball1,80 €Packung10 Bällen18,30 €
Schritt für Schritt
  1. 10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
  2. Packung: 18,30 €
  3. Einzeln ist günstiger.
  1. 10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
  2. Packung: 18,30 €
  3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Tennisball kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 17,70 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
    einzeln1 Tennisball1,80 €Packung10 Bällen17,70 €
    So fängst du an:
    10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
    Lösung zeigen
    1. 10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
    2. Packung: 17,70 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung
  2. ●17
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
    2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    1,33 €
  3. ★18
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,50 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
    2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
    Ergebnis:
    1,00 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 283 €. Der Förderverein gibt 41 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 7 € für jedes der 27 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
283 €41 €7 €27 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 283 € + 41 € = 324 €; Kosten: 27 · 7 € = 189 €
  3. 324 € − 189 € = 135 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 283 € + 41 € = 324 €; Kosten: 27 · 7 € = 189 €
  3. 324 € − 189 € = 135 €
Ergebnis:
135 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In der Klassenkasse sind 409 €. Der Förderverein gibt 42 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 4 € für jedes der 24 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    409 €42 €4 €24 Kinder
    So fängst du an:
    Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 409 € + 42 € = 451 €; Kosten: 24 · 4 € = 96 €
    3. 451 € − 96 € = 355 €
    Ergebnis:
    355 €
  2. ●20
    Die 5c mit 20 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 180 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    20 Kindern180 €6 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 180 € : 20 = 9 €
    3. 9 € + 6 € = 15 €
    Ergebnis:
    15 €
  3. ★21
    Aylin läuft an 3 Tagen in der Woche je 4 Runden auf der 400-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
    3 Tagen4 Runden4004 Wochen
    Lösung zeigen
    1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
    2. Ein Tag: 4 · 400 m = 1600 m; eine Woche: 3 · 1600 m = 4800 m
    3. 4 Wochen: 19.200 m = 19,2 km
    Ergebnis:
    19,2 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · 6 + 2? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „6 Kinder kaufen je einen Ball für 6 € und je eine Pumpe für 2 €.“
(B) „6 Kinder kaufen je einen Ball für 6 €. Dazu kommt eine Pumpe für 2 € für alle.“
Schritt für Schritt
  1. Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend ist B.
  3. 6 · 6 + 2 = 38
  1. Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend ist B.
  3. 6 · 6 + 2 = 38
Ergebnis:
B, 38 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · (7 + 6)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „3 Kinder kaufen je einen Ball für 7 € und je eine Pumpe für 6 €.“
    (B) „3 Kinder kaufen je einen Ball für 7 €. Dazu kommt eine Pumpe für 6 € für alle.“
    So fängst du an:
    Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
    2. Passend ist A.
    3. 3 · (7 + 6) = 39
    Ergebnis:
    A, 39 €
  2. ●23
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je einen Ball für 7 €. Dazu kommt eine Pumpe für 9 € für alle.“
    (A) 7 + 7 · 9
    (B) 7 · 7 + 9
    (C) 7 · (7 + 9)
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 7 · 7 + 9 = 58
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B: 7 · 7 + 9
  3. ★24
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „10 Kinder kaufen je ein Heft für 7 €. Dazu kommt eine Mappe für 4 € für alle.“
    (A) 10 + 7 · 4
    (B) 10 · (7 + 4)
    (C) 10 · 7 + 4
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 10-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 10 · 7 + 4 = 74
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C: 10 · 7 + 4

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
    25 Kindern9 €105 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 25 Kinder und 9 € je Karte.
    2. 25 · 9 € = 225 €
    3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
    Ergebnis:
    225 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  2. ●26
    Ein Regal hat 5 Böden mit je 22 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? B: Wie viele Bücher stehen im Regal? C: Wie viel kostet ein Buch?
    5 Böden22 Büchern
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
    2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 5 · 22 = 110.
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B, 110 Bücher
  3. ●27
    Zeynep ist um 6:39 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Zeynep auf den nächsten Bus M29?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:387:026:537:177:087:327:237:47
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 6:53 Uhr.
    2. Von 6:39 bis 6:53 Uhr sind es 14 Minuten.
    Ergebnis:
    14 Minuten
  4. ●28
    Ein Zaun ist 80 m lang. Alle 10 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 80 : 10 = 8
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 8 + 1 = 9
    Ergebnis:
    9 Zaunpfähle
  5. ●29
    Im Kino sitzt Milan auf Platz 5 von links. Zwischen Milan und Zeynep sitzen 5 Kinder, Zeynep sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Zeynep?
    55 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Skizze: Platz 5 ist Milan, dann 5 Plätze dazwischen.
    2. 5 + 5 + 1 = 11
    Ergebnis:
    Platz 11
  6. ●30
    Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Jonas braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Jonas spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?15:30 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 15:19 Uhr.
    2. Noch 19 Minuten früher: 15:00 Uhr.
    Ergebnis:
    15:00 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 15 Tore geschossen. Zum Finale kamen 310 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    8 Spiele15 Tore310 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:437:097:037:297:237:497:438:09
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26 Minuten

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Ein Weg ist 20 m lang. Alle 5 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
    5 m5 m5 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Laternen

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Lina braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 30 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16:25 Uhr

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere mit 20 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Kaninchen

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Ein Tennisball kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Bällen kostet 8,70 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bälle braucht?
    einzeln1 Tennisball1,50 €Packung6 Bällen8,70 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    die Packung

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    Die 5c mit 30 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 210 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    30 Kindern210 €6 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je ein Ticket für 14 € und je ein Getränk für 9 €.“
    (A) 7 · (14 + 9)
    (B) 7 · 14 + 9
    (C) 7 + 14 · 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A: 7 · (14 + 9)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. Der Beginn des Films fehlt
  2. 9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  3. Die Tore im Finale fehlen
  4. 10 Minuten
  5. den um 7:35 Uhr
  6. den um 7:15 Uhr
  7. 10 Zaunpfähle
  8. Nein, 8 Pfähle
  9. 14 Bäume
  10. 34 €
  11. 33 €
  12. 18 €
  13. 1 Dreirad
  14. 3 Vierertische, 3 Sechsertische
  15. 2 Fahrräder, 8 Dreiräder
  16. die Packung
  17. 1,33 €
  18. 1,00 €
  19. 355 €
  20. 15 €
  21. 19,2 km
  22. A, 39 €
  23. B: 7 · 7 + 9
  24. C: 10 · 7 + 4
  25. 225 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  26. B, 110 Bücher
  27. 14 Minuten
  28. 9 Zaunpfähle
  29. Platz 11
  30. 15:00 Uhr
  31. 7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  32. 26 Minuten
  33. 5 Laternen
  34. 16:25 Uhr
  35. 2 Kaninchen
  36. die Packung
  37. 13 €
  38. A: 7 · (14 + 9)
  39. 10:00 Uhr
  40. 200 cm