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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 9:15 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 60 min = 1 h 0 min
    2. 9:15 + 1:00 = 10:15 Uhr
    Ergebnis:
    10:15 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 5 km in m.
    Lösung zeigen
    1. 1 km = 1.000 m
    2. 5 · 1.000 = 5.000 m
    Ergebnis:
    5.000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

25 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 8 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
25 Kinder2 Lehrkräfte8 km6 €
Schritt für Schritt
  1. Gebraucht: 25 Kinder und 6 €.
  2. 25 · 6 € = 150 €
  3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
  1. Gebraucht: 25 Kinder und 6 €.
  2. 25 · 6 € = 150 €
  3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
150 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 28 Tore geschossen. Zum Finale kamen 270 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    6 Spiele28 Tore270 Zuschauer15 Spielen
    So fängst du an:
    Gebraucht: 6 Spiele.
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 6 Spiele.
    2. 15 − 6 = 9
    3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
    Ergebnis:
    9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  2. ●2
    Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    28 Kindern6 €120 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    2. Die Dauer ist da: 120 Minuten.
    3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt
  3. ★3
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 22 Tore geschossen. Zum Finale kamen 397 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    10 Spiele22 Tore397 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 8:14 Uhr. Welchen Bus X34 muss Elias spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Bus X34Hauptstraße abSchule an6:446:597:047:197:247:397:447:59
Schritt für Schritt
  1. Ankunft vor 8:14 Uhr: 6:59, 7:19, 7:39, 7:59 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:59 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:44 Uhr ab.
  1. Ankunft vor 8:14 Uhr: 6:59, 7:19, 7:39, 7:59 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:59 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:44 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:44 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Unterricht beginnt um 8:13 Uhr. Welchen Bus X34 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:537:207:087:357:237:507:388:05
    So fängst du an:
    Ankunft vor 8:13 Uhr: 7:20, 7:35, 7:50, 8:05 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 8:13 Uhr: 7:20, 7:35, 7:50, 8:05 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 8:05 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:38 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:38 Uhr
  2. ●5
    Jonas ist um 6:52 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Jonas auf den nächsten Bus X34?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:517:047:017:147:117:247:217:34
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
    2. Von 6:52 bis 7:01 Uhr sind es 9 Minuten.
    Ergebnis:
    9 Minuten
  3. ★6
    Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:517:077:067:227:217:377:367:52
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:51 Uhr, an 7:07 Uhr.
    2. Von 6:51 bis 7:07 Uhr sind es 16 Minuten.
    Ergebnis:
    16 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 12 Laternen im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
5 m5 m5 m…?
Schritt für Schritt
  1. 12 Laternen haben 11 Abstände dazwischen.
  2. 11 · 5 m = 55 m
  1. 12 Laternen haben 11 Abstände dazwischen.
  2. 11 · 5 m = 55 m
Ergebnis:
55 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Entlang eines Weges stehen 10 Zaunpfähle im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    5 m5 m5 m…?
    So fängst du an:
    10 Zaunpfähle haben 9 Abstände dazwischen.
    Lösung zeigen
    1. 10 Zaunpfähle haben 9 Abstände dazwischen.
    2. 9 · 5 m = 45 m
    Ergebnis:
    45 m
  2. ●8
    Entlang eines Weges stehen 6 Bäume im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    1. 6 Bäume haben 5 Abstände dazwischen.
    2. 5 · 2 m = 10 m
    Ergebnis:
    10 m
  3. ★9
    Um ein Beet mit 60 m Umfang werden rundherum alle 6 m Pfähle gesetzt. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    1. Rundherum gibt es keinen Anfang und kein Ende.
    2. Pfähle und Abstände sind gleich viele: 60 : 6 = 10
    Ergebnis:
    10 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Noah kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Noah 3 € geschenkt und hat jetzt 7 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
?− 6 €+ 3 €7 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 7 € − 3 € = 4 €
  2. Dann den Kauf: 4 € + 6 € = 10 €
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 7 € − 3 € = 4 €
  2. Dann den Kauf: 4 € + 6 € = 10 €
Ergebnis:
10 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Elias braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:15 Uhr
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:07 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:07 Uhr.
    2. Noch 20 Minuten früher: 15:47 Uhr.
    Ergebnis:
    15:47 Uhr
  2. ●11
    Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Elias braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 24 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:15 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 16:02 Uhr.
    2. Noch 24 Minuten früher: 15:38 Uhr.
    Ergebnis:
    15:38 Uhr
  3. ★12
    Can kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Can 8 € geschenkt und hat jetzt 33 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
    ?− 9 €+ 8 €33 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 33 € − 8 € = 25 €
    2. Dann den Kauf: 25 € + 9 € = 34 €
    Ergebnis:
    34 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 10 Fahrzeuge mit 23 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
  2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
  3. 7 Fahrräder und 3 Dreiräder: 7 · 2 + 3 · 3 = 23
  1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
  2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
  3. 7 Fahrräder und 3 Dreiräder: 7 · 2 + 3 · 3 = 23
Ergebnis:
3 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 8 Fahrzeuge mit 23 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    So fängst du an:
    Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
    2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
    3. 1 Fahrrad und 7 Dreiräder: 1 · 2 + 7 · 3 = 23
    Ergebnis:
    7 Dreiräder
  2. ●14
    In der Mensa zählt Hanna 5 Tische und 28 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Vierertische0123…Plätze????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
    2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 1 Vierertisch und 4 Sechsertische: 1 · 4 + 4 · 6 = 28
    Ergebnis:
    1 Vierertisch, 4 Sechsertische
  3. ★15
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 15 Fahrzeuge mit 34 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 8 Fahrräder und 7 Dreiräder ergeben 37 Räder.
    2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
    3. 11 Fahrräder und 4 Dreiräder: 11 · 2 + 4 · 3 = 34
    Ergebnis:
    4 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,00 €
Schritt für Schritt
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
  2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
  2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 15,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
    So fängst du an:
    10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
    Lösung zeigen
    1. 10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
    2. Packung: 15,60 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln
  2. ●17
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,20 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
    2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
    Ergebnis:
    0,80 €
  3. ★18
    Eine Fahrt kostet 2,60 €. Eine Monatskarte kostet 58,00 €. Paul fährt im Monat 27-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
    Einzelfahrt1 Fahrt2,60 €Monatskartebeliebig oft58,00 €
    Lösung zeigen
    1. Einzeln: 27 · 2,60 € = 70,20 €
    2. Monatskarte: 58,00 €
    3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
    Ergebnis:
    Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 28 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 224 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
28 Kindern224 €7 €
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 224 € : 28 = 8 €
  3. 8 € + 7 € = 15 €
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 224 € : 28 = 8 €
  3. 8 € + 7 € = 15 €
Ergebnis:
15 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Die 5c mit 22 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 154 € für alle zusammen, der Eintritt 3 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    22 Kindern154 €3 €
    So fängst du an:
    Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 154 € : 22 = 7 €
    3. 7 € + 3 € = 10 €
    Ergebnis:
    10 €
  2. ●20
    In der Klassenkasse sind 296 €. Der Förderverein gibt 48 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 8 € für jedes der 29 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    296 €48 €8 €29 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 296 € + 48 € = 344 €; Kosten: 29 · 8 € = 232 €
    3. 344 € − 232 € = 112 €
    Ergebnis:
    112 €
  3. ★21
    Die 5c mit 25 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 175 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    25 Kindern175 €4 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 175 € : 25 = 7 €
    3. 7 € + 4 € = 11 €
    Ergebnis:
    11 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 15 + 2? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 15 €. Dazu kommt eine Pumpe für 2 € für alle.“
(B) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 15 € und je eine Pumpe für 2 €.“
Schritt für Schritt
  1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend ist A.
  3. 5 · 15 + 2 = 77
  1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend ist A.
  3. 5 · 15 + 2 = 77
Ergebnis:
A, 77 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · (10 + 9)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „3 Kinder kaufen je ein Heft für 10 €. Dazu kommt eine Mappe für 9 € für alle.“
    (B) „3 Kinder kaufen je ein Heft für 10 € und je eine Mappe für 9 €.“
    So fängst du an:
    Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
    2. Passend ist B.
    3. 3 · (10 + 9) = 57
    Ergebnis:
    B, 57 €
  2. ●23
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je einen Ball für 6 € und je eine Pumpe für 9 €.“
    (A) 3 + 6 · 9
    (B) 3 · (6 + 9)
    (C) 3 · 6 + 9
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
    2. Passend: 3 · (6 + 9) = 45
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B: 3 · (6 + 9)
  3. ★24
    Erfinde zu 8 · 9 + 6 eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. „8 Kinder kaufen je ein Ticket für 9 €. Dazu kommt ein Getränk für 6 € für alle.“
    3. 8 · 9 + 6 = 78
    Ergebnis:
    78 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 37 Tore geschossen. Zum Finale kamen 478 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    8 Spiele37 Tore478 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 8 Spiele.
    2. 15 − 8 = 7
    3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
    Ergebnis:
    7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  2. ●26
    Ein Regal hat 8 Böden. Auf jedem stehen 18 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
    8 Böden18 Bücher
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben: 8 Böden, 18 Bücher je Boden.
    2. Über die Seiten steht nichts im Text.
    3. Die Frage kann man nicht beantworten.
    Ergebnis:
    nicht lösbar
  3. ●27
    Aylin ist um 7:00 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Aylin auf den nächsten Bus 100?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:517:197:067:347:217:497:368:04
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:06 Uhr.
    2. Von 7:00 bis 7:06 Uhr sind es 6 Minuten.
    Ergebnis:
    6 Minuten
  4. ●28
    Ein Weg ist 22 m lang. Alle 2 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 22 : 2 = 11
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 11 + 1 = 12
    Ergebnis:
    12 Laternen
  5. ●29
    In der Schlange vor der Mensa steht Milan an 4. Stelle von vorn und an 8. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
    48
    Lösung zeigen
    1. Skizze: vorn 3 Kinder, dann Milan, dahinter 7 Kinder.
    2. 3 + 1 + 7 = 11
    Ergebnis:
    11 Kinder
  6. ●30
    Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Mia braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 32 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 15:52 Uhr.
    2. Noch 32 Minuten früher: 15:20 Uhr.
    Ergebnis:
    15:20 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
    23 Kindern6 €110 Minuten
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    138 €, die Filmdauer brauche ich nicht

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:396:536:547:087:097:237:247:38
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14 Minuten

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Entlang eines Weges stehen 10 Bäume im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90 m

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Jonas kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Jonas 9 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Jonas am Anfang?
    ?− 18 €+ 9 €28 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    37 €

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Auf einem Hof zählt Zeynep 8 Tiere und 26 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Hühner, 5 Kaninchen

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Ein Tennisball kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 24,70 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
    einzeln1 Tennisball2,50 €Packung10 Bällen24,70 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    die Packung

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    Die 5c mit 23 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 207 € für alle zusammen, der Eintritt 8 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    23 Kindern207 €8 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je ein Ticket für 6 € und je ein Getränk für 4 €.“
    (A) 6 · (6 + 4)
    (B) 6 + 6 · 4
    (C) 6 · 6 + 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A: 6 · (6 + 4)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. 9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  2. Der Beginn des Films fehlt
  3. Die Tore im Finale fehlen
  4. den um 7:38 Uhr
  5. 9 Minuten
  6. 16 Minuten
  7. 45 m
  8. 10 m
  9. 10 Pfähle
  10. 15:47 Uhr
  11. 15:38 Uhr
  12. 34 €
  13. 7 Dreiräder
  14. 1 Vierertisch, 4 Sechsertische
  15. 4 Dreiräder
  16. einzeln
  17. 0,80 €
  18. Ja
  19. 10 €
  20. 112 €
  21. 11 €
  22. B, 57 €
  23. B: 3 · (6 + 9)
  24. 78 €
  25. 7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  26. nicht lösbar
  27. 6 Minuten
  28. 12 Laternen
  29. 11 Kinder
  30. 15:20 Uhr
  31. 138 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  32. 14 Minuten
  33. 90 m
  34. 37 €
  35. 3 Hühner, 5 Kaninchen
  36. die Packung
  37. 17 €
  38. A: 6 · (6 + 4)
  39. 10:15 Uhr
  40. 5.000 m