Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:45 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 7:45 + 0:45 = 8:30 Uhr
Ergebnis:
8:30 Uhr
●40
Rechne um: 4 € in ct.
Lösung zeigen
1. 1 € = 100 ct
2. 4 · 100 = 400 ct
Ergebnis:
400 ct

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

29 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 15 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 29 Kinder und 5 €.
29 · 5 € = 145 €
Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.

Gebraucht: 29 Kinder und 5 €.
29 · 5 € = 145 €
Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.

Ergebnis:

145 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 105 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 105 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●2
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 105 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 105 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
★3
Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 8:05 Uhr. Welchen Bus X34 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 8:05 Uhr: 6:59, 7:19, 7:39, 7:59 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:59 Uhr an.
Er fährt um 7:46 Uhr ab.

Ankunft vor 8:05 Uhr: 6:59, 7:19, 7:39, 7:59 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:59 Uhr an.
Er fährt um 7:46 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:46 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Tom ist um 6:46 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus 100?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 6:53 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:53 Uhr.
2. Von 6:46 bis 6:53 Uhr sind es 7 Minuten.
Ergebnis:
7 Minuten
●5
Ben ist um 6:54 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Ben auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
2. Von 6:54 bis 7:01 Uhr sind es 7 Minuten.
Ergebnis:
7 Minuten
★6
Tom braucht 8 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus 248 um 7:18 Uhr nehmen. Wann muss Tom spätestens los, und wann ist Tom an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 8 Minuten vor 7:18 Uhr, also 7:10 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:33 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:10 Uhr, an um 7:33 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Aylin sagt: „Ein Zaun von 20 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?

Schritt für Schritt

20 : 4 = 5 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.

20 : 4 = 5 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.

Ergebnis:

Nein, 6 Pfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Entlang eines Weges stehen 6 Zaunpfähle im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
So fängst du an:
6 Zaunpfähle haben 5 Abstände dazwischen.
Lösung zeigen
1. 6 Zaunpfähle haben 5 Abstände dazwischen.
2. 5 · 2 m = 10 m
Ergebnis:
10 m
●8
Hanna sagt: „Ein Zaun von 50 m mit einem Pfahl alle 5 m braucht 10 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 50 : 5 = 10 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 11.
Ergebnis:
Nein, 11 Pfähle
★9
Eine Allee ist 72 m lang. Alle 4 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 72 : 4 = 18
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 18 + 1 = 19
Ergebnis:
19 Bäume

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Lea braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:46 Uhr.
Noch 15 Minuten früher: 15:31 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:46 Uhr.
Noch 15 Minuten früher: 15:31 Uhr.

Ergebnis:

15:31 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Can braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 16:53 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 16:53 Uhr.
2. Noch 21 Minuten früher: 16:32 Uhr.
Ergebnis:
16:32 Uhr
●11
Elias kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Elias 8 € geschenkt und hat jetzt 18 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 18 € − 8 € = 10 €
2. Dann den Kauf: 10 € + 14 € = 24 €
Ergebnis:
24 €
★12
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Hanna braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Hanna spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 16:53 Uhr.
2. Noch 34 Minuten früher: 16:19 Uhr.
Ergebnis:
16:19 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Mia 7 Tische und 38 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
2 Vierertische und 5 Sechsertische: 2 · 4 + 5 · 6 = 38

Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
2 Vierertische und 5 Sechsertische: 2 · 4 + 5 · 6 = 38

Ergebnis:

2 Vierertische, 5 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa zählt Paul 9 Tische und 48 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 3 Vierertische und 6 Sechsertische: 3 · 4 + 6 · 6 = 48
Ergebnis:
3 Vierertische, 6 Sechsertische
●14
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 5 Fahrzeuge mit 14 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 4 Dreiräder: 1 · 2 + 4 · 3 = 14
Ergebnis:
4 Dreiräder
★15
Auf einem Hof zählt Milan 12 Tiere und 42 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 6 Hühner und 6 Kaninchen ergeben 36 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 3 Hühner und 9 Kaninchen: 3 · 2 + 9 · 4 = 42
Ergebnis:
3 Hühner, 9 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 25,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
2. Packung: 25,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Ein Tennisball kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 24,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
2. Packung: 24,00 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 27 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 162 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 162 € : 27 = 6 €
6 € + 4 € = 10 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 162 € : 27 = 6 €
6 € + 4 € = 10 €

Ergebnis:

10 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
Die 5c mit 21 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 147 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 147 € : 21 = 7 €
3. 7 € + 4 € = 11 €
Ergebnis:
11 €
●20
In der Klassenkasse sind 429 €. Der Förderverein gibt 42 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 7 € für jedes der 20 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 429 € + 42 € = 471 €; Kosten: 20 · 7 € = 140 €
3. 471 € − 140 € = 331 €
Ergebnis:
331 €
★21
Lea läuft an 4 Tagen in der Woche je 5 Runden auf der 250-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
Lösung zeigen
1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
2. Ein Tag: 5 · 250 m = 1250 m; eine Woche: 4 · 1250 m = 5000 m
3. 4 Wochen: 20.000 m = 20 km
Ergebnis:
20 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 €. Dazu kommt ein Getränk für 3 € für alle.“
(A) 5 + 13 · 3
(B) 5 · 13 + 3
(C) 5 · (13 + 3)

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 5 · 13 + 3 = 68
Richtig ist B.

Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 5 · 13 + 3 = 68
Richtig ist B.

Ergebnis:

B: 5 · 13 + 3

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je ein Ticket für 14 € und je ein Getränk für 7 €.“
(A) 8 · (14 + 7)
(B) 8 · 14 + 7
(C) 8 + 14 · 7
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
2. Passend: 8 · (14 + 7) = 168
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A: 8 · (14 + 7)
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · (9 + 7)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „4 Kinder kaufen je einen Ball für 9 €. Dazu kommt eine Pumpe für 7 € für alle.“
(B) „4 Kinder kaufen je einen Ball für 9 € und je eine Pumpe für 7 €.“
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
2. Passend ist B.
3. 4 · (9 + 7) = 64
Ergebnis:
B, 64 €
★24
Erfinde zu 9 · (14 + 2) eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 9.
2. „9 Kinder kaufen je ein Heft für 14 € und je eine Mappe für 2 €.“
3. 9 · (14 + 2) = 144
Ergebnis:
144 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●26
Ein Regal hat 7 Böden. Auf jedem stehen 5 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 7 Böden, 5 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:44 Uhr, an 7:02 Uhr.
2. Von 6:44 bis 7:02 Uhr sind es 18 Minuten.
Ergebnis:
18 Minuten
●28
Ein Zaun ist 36 m lang. Alle 6 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 36 : 6 = 6
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 6 + 1 = 7
Ergebnis:
7 Zaunpfähle
●29
Im Kino sitzt Ben auf Platz 3 von links. Zwischen Ben und Sofia sitzen 4 Kinder, Sofia sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Sofia?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 3 ist Ben, dann 4 Plätze dazwischen.
2. 3 + 4 + 1 = 8
Ergebnis:
Platz 8
●30
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Mia braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:17 Uhr.
2. Noch 29 Minuten früher: 14:48 Uhr.
Ergebnis:
14:48 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
25 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 18 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
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Ergebnis:
75 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:48 Uhr. Welchen Bus X34 muss Mia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
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Ergebnis:
den um 7:20 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Entlang eines Weges stehen 12 Zaunpfähle im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
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Ergebnis:
44 m
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Lea kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Lea 10 € geschenkt und hat jetzt 32 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?
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Ergebnis:
37 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof zählt Noah 8 Tiere und 30 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Huhn, 7 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,33 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 467 €. Der Förderverein gibt 61 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 5 € für jedes der 27 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
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Ergebnis:
393 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · (13 + 2)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „6 Kinder kaufen je einen Ball für 13 € und je eine Pumpe für 2 €.“
(B) „6 Kinder kaufen je einen Ball für 13 €. Dazu kommt eine Pumpe für 2 € für alle.“
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Ergebnis:
A, 90 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Beginn des Films fehlt
Der Beginn des Films fehlt
Der Beginn des Films fehlt
7 Minuten
7 Minuten
los um 7:10 Uhr, an um 7:33 Uhr
10 m
Nein, 11 Pfähle
19 Bäume
16:32 Uhr
24 €
16:19 Uhr
3 Vierertische, 6 Sechsertische
4 Dreiräder
3 Hühner, 9 Kaninchen
einzeln
die Packung
0,67 €
11 €
331 €
20 km
A: 8 · (14 + 7)
B, 64 €
144 €
Der Beginn des Films fehlt
nicht lösbar
18 Minuten
7 Zaunpfähle
Platz 8
14:48 Uhr
75 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
den um 7:20 Uhr
44 m
37 €
1 Huhn, 7 Kaninchen
1,33 €
393 €
A, 90 €
8:30 Uhr
400 ct