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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 10:15 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 60 min = 1 h 0 min
    2. 10:15 + 1:00 = 11:15 Uhr
    Ergebnis:
    11:15 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 12 kg in g.
    Lösung zeigen
    1. 1 kg = 1.000 g
    2. 12 · 1.000 = 12.000 g
    Ergebnis:
    12.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

25 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 18 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
25 Kinder2 Lehrkräfte18 km5 €
Schritt für Schritt
  1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
  2. Die Anzahl ist da: 2.
  3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
  1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
  2. Die Anzahl ist da: 2.
  3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    25 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    25 Kinder2 Lehrkräfte9 km7 €
    So fängst du an:
    Gebraucht: 25 Kinder und 7 €.
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 25 Kinder und 7 €.
    2. 25 · 7 € = 175 €
    3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
    Ergebnis:
    175 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  2. ●2
    Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
    29 Kindern9 €120 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 29 Kinder und 9 € je Karte.
    2. 29 · 9 € = 261 €
    3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
    Ergebnis:
    261 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  3. ★3
    28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    28 Kinder3 Lehrkräfte7 km4 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    2. Die Anzahl ist da: 3.
    3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Mia ist um 6:57 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Mia auf den nächsten Bus M29?
Bus M29Hauptstraße abSchule an6:427:057:027:257:227:457:428:05
Schritt für Schritt
  1. Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
  2. Von 6:57 bis 7:02 Uhr sind es 5 Minuten.
  1. Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
  2. Von 6:57 bis 7:02 Uhr sind es 5 Minuten.
Ergebnis:
5 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:527:047:077:197:227:347:377:49
    So fängst du an:
    Zum Beispiel: ab 6:52 Uhr, an 7:04 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:52 Uhr, an 7:04 Uhr.
    2. Von 6:52 bis 7:04 Uhr sind es 12 Minuten.
    Ergebnis:
    12 Minuten
  2. ●5
    Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:447:116:597:267:147:417:297:56
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:44 Uhr, an 7:11 Uhr.
    2. Von 6:44 bis 7:11 Uhr sind es 27 Minuten.
    Ergebnis:
    27 Minuten
  3. ★6
    Paul ist um 7:01 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Paul auf den nächsten Bus M29?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:547:127:047:227:147:327:247:42
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:04 Uhr.
    2. Von 7:01 bis 7:04 Uhr sind es 3 Minuten.
    Ergebnis:
    3 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Eine Allee ist 36 m lang. Alle 4 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
4 m4 m4 m…?
Schritt für Schritt
  1. Abstände: 36 : 4 = 9
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 9 + 1 = 10
  1. Abstände: 36 : 4 = 9
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 9 + 1 = 10
Ergebnis:
10 Bäume

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Elias sagt: „Ein Zaun von 12 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 4 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    3 m3 m3 m…?
    So fängst du an:
    12 : 3 = 4 ist die Zahl der Abstände.
    Lösung zeigen
    1. 12 : 3 = 4 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.
    Ergebnis:
    Nein, 5 Pfähle
  2. ●8
    Ein Weg ist 80 m lang. Alle 10 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 80 : 10 = 8
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 8 + 1 = 9
    Ergebnis:
    9 Laternen
  3. ★9
    Ein Zaun ist 80 m lang. Alle 4 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 80 : 4 = 20
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 20 + 1 = 21
    Ergebnis:
    21 Zaunpfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Lina braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 16 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
WegUmziehen?15:30 Uhr
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:25 Uhr.
  2. Noch 16 Minuten früher: 15:09 Uhr.
  1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:25 Uhr.
  2. Noch 16 Minuten früher: 15:09 Uhr.
Ergebnis:
15:09 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Mia braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 30 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:00 Uhr
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:50 Uhr.
    2. Noch 30 Minuten früher: 15:20 Uhr.
    Ergebnis:
    15:20 Uhr
  2. ●11
    Can kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Can 5 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
    ?− 10 €+ 5 €28 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 5 € = 23 €
    2. Dann den Kauf: 23 € + 10 € = 33 €
    Ergebnis:
    33 €
  3. ★12
    Hanna kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Hanna 12 € geschenkt und hat jetzt 34 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?
    ?− 16 €+ 12 €34 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 34 € − 12 € = 22 €
    2. Dann den Kauf: 22 € + 16 € = 38 €
    Ergebnis:
    38 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 9 Tische mit 40 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
  2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
  3. 7 Vierertische und 2 Sechsertische: 7 · 4 + 2 · 6 = 40
  1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
  2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
  3. 7 Vierertische und 2 Sechsertische: 7 · 4 + 2 · 6 = 40
Ergebnis:
2 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im Hof der Kita zählt Emma 5 Fahrzeuge und 11 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    So fängst du an:
    Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
    2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
    3. 4 Fahrräder und 1 Dreirad: 4 · 2 + 1 · 3 = 11
    Ergebnis:
    4 Fahrräder, 1 Dreirad
  2. ●14
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 44 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
    2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 8 Vierertische und 2 Sechsertische: 8 · 4 + 2 · 6 = 44
    Ergebnis:
    2 Sechsertische
  3. ★15
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 11 Tiere mit 32 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 6 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 32 Beine.
    2. Das passt genau.
    3. 6 Hühner und 5 Kaninchen: 6 · 2 + 5 · 4 = 32
    Ergebnis:
    5 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 11,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
einzeln1 Bleistift1,20 €Packung10 Bleistiften11,00 €
Schritt für Schritt
  1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
  2. Packung: 11,00 €
  3. Die Packung ist günstiger.
  1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
  2. Packung: 11,00 €
  3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Saftflasche kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 25,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
    So fängst du an:
    10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
    Lösung zeigen
    1. 10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
    2. Packung: 25,60 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln
  2. ●17
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,50 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
    2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    1,67 €
  3. ★18
    Ein Tennisball kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 6 Bällen kostet 9,80 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bälle braucht?
    einzeln1 Tennisball1,80 €Packung6 Bällen9,80 €
    Lösung zeigen
    1. 6 einzeln: 6 · 1,80 € = 10,80 €
    2. Packung: 9,80 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 327 €. Der Förderverein gibt 97 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 9 € für jedes der 22 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
327 €97 €9 €22 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 327 € + 97 € = 424 €; Kosten: 22 · 9 € = 198 €
  3. 424 € − 198 € = 226 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 327 € + 97 € = 424 €; Kosten: 22 · 9 € = 198 €
  3. 424 € − 198 € = 226 €
Ergebnis:
226 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Die 5c mit 22 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 176 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    22 Kindern176 €5 €
    So fängst du an:
    Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 176 € : 22 = 8 €
    3. 8 € + 5 € = 13 €
    Ergebnis:
    13 €
  2. ●20
    In der Klassenkasse sind 344 €. Der Förderverein gibt 119 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 9 € für jedes der 22 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    344 €119 €9 €22 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 344 € + 119 € = 463 €; Kosten: 22 · 9 € = 198 €
    3. 463 € − 198 € = 265 €
    Ergebnis:
    265 €
  3. ★21
    In der Klassenkasse sind 287 €. Der Förderverein gibt 52 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 4 € für jedes der 21 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    287 €52 €4 €21 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 287 € + 52 € = 339 €; Kosten: 21 · 4 € = 84 €
    3. 339 € − 84 € = 255 €
    Ergebnis:
    255 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · 10 + 4? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „3 Kinder kaufen je einen Ball für 10 € und je eine Pumpe für 4 €.“
(B) „3 Kinder kaufen je einen Ball für 10 €. Dazu kommt eine Pumpe für 4 € für alle.“
Schritt für Schritt
  1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend ist B.
  3. 3 · 10 + 4 = 34
  1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend ist B.
  3. 3 · 10 + 4 = 34
Ergebnis:
B, 34 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je ein Heft für 14 €. Dazu kommt eine Mappe für 4 € für alle.“
    (A) 3 · 14 + 4
    (B) 3 · (14 + 4)
    (C) 3 + 14 · 4
    So fängst du an:
    Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 3 · 14 + 4 = 46
    3. Richtig ist A.
    Ergebnis:
    A: 3 · 14 + 4
  2. ●23
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · (7 + 5)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 7 €. Dazu kommt eine Pumpe für 5 € für alle.“
    (B) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 7 € und je eine Pumpe für 5 €.“
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
    2. Passend ist B.
    3. 8 · (7 + 5) = 96
    Ergebnis:
    B, 96 €
  3. ★24
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · 6 + 8? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „8 Kinder kaufen je ein Heft für 6 €. Dazu kommt eine Mappe für 8 € für alle.“
    (B) „8 Kinder kaufen je ein Heft für 6 € und je eine Mappe für 8 €.“
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist A.
    3. 8 · 6 + 8 = 56
    Ergebnis:
    A, 56 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
    29 Kindern7 €120 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 29 Kinder und 7 € je Karte.
    2. 29 · 7 € = 203 €
    3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
    Ergebnis:
    203 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  2. ●26
    Ein Regal hat 6 Böden mit je 11 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Bücher stehen im Regal? B: Wie viel kostet ein Buch? C: Wie viele Seiten hat das dickste Buch?
    6 Böden11 Büchern
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
    2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 6 · 11 = 66.
    3. Richtig ist A.
    Ergebnis:
    A, 66 Bücher
  3. ●27
    Aylin ist um 6:57 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Aylin auf den nächsten Bus 100?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:497:027:047:177:197:327:347:47
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:04 Uhr.
    2. Von 6:57 bis 7:04 Uhr sind es 7 Minuten.
    Ergebnis:
    7 Minuten
  4. ●28
    Milan sagt: „Ein Zaun von 8 m mit einem Pfahl alle 2 m braucht 4 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    1. 8 : 2 = 4 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.
    Ergebnis:
    Nein, 5 Pfähle
  5. ●29
    In der Schlange vor der Mensa steht Milan an 10. Stelle von vorn und an 3. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
    103
    Lösung zeigen
    1. Skizze: vorn 9 Kinder, dann Milan, dahinter 2 Kinder.
    2. 9 + 1 + 2 = 12
    Ergebnis:
    12 Kinder
  6. ●30
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Milan braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 30 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:54 Uhr.
    2. Noch 30 Minuten früher: 16:24 Uhr.
    Ergebnis:
    16:24 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    29 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 11 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    29 Kinder2 Lehrkräfte11 km3 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Der Unterricht beginnt um 7:38 Uhr. Welchen Bus M29 muss Aylin spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:547:167:097:317:247:467:398:01
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    den um 7:09 Uhr

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Eine Allee ist 24 m lang. Alle 2 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13 Bäume

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Milan kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Milan 6 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?
    ?− 12 €+ 6 €24 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    30 €

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Im Hof der Kita zählt Paul 8 Fahrzeuge und 18 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Fahrräder, 2 Dreiräder

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 9,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    einzeln

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    In der Klassenkasse sind 455 €. Der Förderverein gibt 89 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 5 € für jedes der 22 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    455 €89 €5 €22 Kinder
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    434 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je ein Heft für 8 € und je eine Mappe für 2 €.“
    (A) 8 · 8 + 2
    (B) 8 · (8 + 2)
    (C) 8 + 8 · 2
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B: 8 · (8 + 2)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. 175 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  2. 261 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  3. Der Preis für Erwachsene fehlt
  4. 12 Minuten
  5. 27 Minuten
  6. 3 Minuten
  7. Nein, 5 Pfähle
  8. 9 Laternen
  9. 21 Zaunpfähle
  10. 15:20 Uhr
  11. 33 €
  12. 38 €
  13. 4 Fahrräder, 1 Dreirad
  14. 2 Sechsertische
  15. 5 Kaninchen
  16. einzeln
  17. 1,67 €
  18. die Packung
  19. 13 €
  20. 265 €
  21. 255 €
  22. A: 3 · 14 + 4
  23. B, 96 €
  24. A, 56 €
  25. 203 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  26. A, 66 Bücher
  27. 7 Minuten
  28. Nein, 5 Pfähle
  29. 12 Kinder
  30. 16:24 Uhr
  31. Der Preis für Erwachsene fehlt
  32. den um 7:09 Uhr
  33. 13 Bäume
  34. 30 €
  35. 6 Fahrräder, 2 Dreiräder
  36. einzeln
  37. 434 €
  38. B: 8 · (8 + 2)
  39. 11:15 Uhr
  40. 12.000 g