Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:00 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 10:00 + 1:00 = 11:00 Uhr
Ergebnis:
11:00 Uhr
●40
Rechne um: 4 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 4 · 60 = 240 min
Ergebnis:
240 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

23 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 8 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
27 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 18 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 26 Tore geschossen. Zum Finale kamen 317 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
23 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 13 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
Lösung zeigen
1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 13 km = 26 km.
2. 23 Kinder: 23 · 26 km = 598 km
3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
Ergebnis:
598 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:24 Uhr. Welchen Bus 248 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:24 Uhr: 7:04, 7:19 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:19 Uhr an.
Er fährt um 7:07 Uhr ab.

Ankunft vor 7:24 Uhr: 7:04, 7:19 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:19 Uhr an.
Er fährt um 7:07 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:07 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Milan ist um 6:56 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Milan auf den nächsten Bus 100?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:12 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:12 Uhr.
2. Von 6:56 bis 7:12 Uhr sind es 16 Minuten.
Ergebnis:
16 Minuten
●5
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:47 Uhr, an 7:06 Uhr.
2. Von 6:47 bis 7:06 Uhr sind es 19 Minuten.
Ergebnis:
19 Minuten
★6
Jonas braucht 9 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus M29 um 7:05 Uhr nehmen. Wann muss Jonas spätestens los, und wann ist Jonas an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 9 Minuten vor 7:05 Uhr, also 6:56 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:33 Uhr.
Ergebnis:
los um 6:56 Uhr, an um 7:33 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ein Weg ist 16 m lang. Alle 2 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?

Schritt für Schritt

Abstände: 16 : 2 = 8
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
8 + 1 = 9

Abstände: 16 : 2 = 8
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
8 + 1 = 9

Ergebnis:

9 Laternen

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Elias sagt: „Ein Zaun von 110 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
So fängst du an:
110 : 10 = 11 ist die Zahl der Abstände.
Lösung zeigen
1. 110 : 10 = 11 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.
Ergebnis:
Nein, 12 Pfähle
●8
Eine Allee ist 60 m lang. Alle 10 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 60 : 10 = 6
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 6 + 1 = 7
Ergebnis:
7 Bäume
★9
Ein Weg ist 48 m lang. Alle 4 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 48 : 4 = 12
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 12 + 1 = 13
Ergebnis:
13 Laternen

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Hanna kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Hanna 6 € geschenkt und hat jetzt 27 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 6 € = 21 €
Dann den Kauf: 21 € + 8 € = 29 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 6 € = 21 €
Dann den Kauf: 21 € + 8 € = 29 €

Ergebnis:

29 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Sofia kauft ein Buch für 5 €. Danach bekommt Sofia 10 € geschenkt und hat jetzt 26 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 10 € = 16 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 10 € = 16 €
2. Dann den Kauf: 16 € + 5 € = 21 €
Ergebnis:
21 €
●11
Aylin kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Aylin 4 € geschenkt und hat jetzt 16 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 16 € − 4 € = 12 €
2. Dann den Kauf: 12 € + 7 € = 19 €
Ergebnis:
19 €
★12
Aylin kauft ein Buch für 13 €. Danach bekommt Aylin 4 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 4 € = 21 €
2. Dann den Kauf: 21 € + 13 € = 34 €
Ergebnis:
34 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Ben 7 Fahrzeuge und 19 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 5 Dreiräder: 2 · 2 + 5 · 3 = 19

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 5 Dreiräder: 2 · 2 + 5 · 3 = 19

Ergebnis:

2 Fahrräder, 5 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 50 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 5 Vierertische und 5 Sechsertische: 5 · 4 + 5 · 6 = 50
Ergebnis:
5 Sechsertische
●14
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 48 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Vierertische und 4 Sechsertische: 6 · 4 + 4 · 6 = 48
Ergebnis:
4 Sechsertische
★15
Im Hof der Kita zählt Jonas 10 Fahrzeuge und 21 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 9 Fahrräder und 1 Dreirad: 9 · 2 + 1 · 3 = 21
Ergebnis:
9 Fahrräder, 1 Dreirad

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,33 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Tennisball kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 4,20 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
So fängst du an:
4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
2. Packung: 4,20 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Ein Tennisball kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 10,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
2. Packung: 10,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
Ergebnis:
0,80 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 27 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 162 € für alle zusammen, der Eintritt 9 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 162 € : 27 = 6 €
6 € + 9 € = 15 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 162 € : 27 = 6 €
6 € + 9 € = 15 €

Ergebnis:

15 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 310 €. Der Förderverein gibt 49 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 6 € für jedes der 29 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 310 € + 49 € = 359 €; Kosten: 29 · 6 € = 174 €
3. 359 € − 174 € = 185 €
Ergebnis:
185 €
●20
Die 5c mit 28 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 168 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 168 € : 28 = 6 €
3. 6 € + 6 € = 12 €
Ergebnis:
12 €
★21
Noah läuft an 4 Tagen in der Woche je 4 Runden auf der 250-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
Lösung zeigen
1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
2. Ein Tag: 4 · 250 m = 1000 m; eine Woche: 4 · 1000 m = 4000 m
3. 4 Wochen: 16.000 m = 16 km
Ergebnis:
16 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je ein Heft für 15 € und je eine Mappe für 6 €.“
(A) 7 + 15 · 6
(B) 7 · 15 + 6
(C) 7 · (15 + 6)

Schritt für Schritt

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
Passend: 7 · (15 + 6) = 147
Richtig ist C.

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
Passend: 7 · (15 + 6) = 147
Richtig ist C.

Ergebnis:

C: 7 · (15 + 6)

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · 9 + 7? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „7 Kinder kaufen je einen Ball für 9 € und je eine Pumpe für 7 €.“
(B) „7 Kinder kaufen je einen Ball für 9 €. Dazu kommt eine Pumpe für 7 € für alle.“
So fängst du an:
Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist B.
3. 7 · 9 + 7 = 70
Ergebnis:
B, 70 €
●23
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 €. Dazu kommt ein Getränk für 9 € für alle.“
(A) 3 · (13 + 9)
(B) 3 + 13 · 9
(C) 3 · 13 + 9
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 3 · 13 + 9 = 48
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 3 · 13 + 9
★24
Erfinde zu 9 · 8 + 3 eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 9-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. „9 Kinder kaufen je ein Heft für 8 €. Dazu kommt eine Mappe für 3 € für alle.“
3. 9 · 8 + 3 = 75
Ergebnis:
75 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
23 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 6 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
Ein Regal hat 6 Böden. Auf jedem stehen 24 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 6 Böden, 24 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 8:13 Uhr. Welchen Bus 248 muss Hanna spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:13 Uhr: 7:17, 7:37, 7:57 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:57 Uhr an.
3. Er fährt um 7:31 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:31 Uhr
●28
Eine Allee ist 36 m lang. Alle 4 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 36 : 4 = 9
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 9 + 1 = 10
Ergebnis:
10 Bäume
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Noah an 11. Stelle von vorn und an 6. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 10 Kinder, dann Noah, dahinter 5 Kinder.
2. 10 + 1 + 5 = 16
Ergebnis:
16 Kinder
●30
Lea kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Lea 5 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 5 € = 20 €
2. Dann den Kauf: 20 € + 9 € = 29 €
Ergebnis:
29 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Elias ist um 6:41 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Elias auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Tom sagt: „Ein Zaun von 60 m mit einem Pfahl alle 5 m braucht 12 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, 13 Pfähle
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Emma braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:50 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Tom 8 Fahrzeuge und 20 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Fahrräder, 4 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,80 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 296 €. Der Förderverein gibt 57 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 7 € für jedes der 21 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
Ergebnis:
206 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 7 + 7? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 7 € und je eine Pumpe für 7 €.“
(B) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 7 €. Dazu kommt eine Pumpe für 7 € für alle.“
Lösung zeigen
Ergebnis:
B, 42 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Preis für Erwachsene fehlt
Die Tore im Finale fehlen
598 km
16 Minuten
19 Minuten
los um 6:56 Uhr, an um 7:33 Uhr
Nein, 12 Pfähle
7 Bäume
13 Laternen
21 €
19 €
34 €
5 Sechsertische
4 Sechsertische
9 Fahrräder, 1 Dreirad
die Packung
einzeln
0,80 €
185 €
12 €
16 km
B, 70 €
C: 3 · 13 + 9
75 €
Der Preis für Erwachsene fehlt
nicht lösbar
den um 7:31 Uhr
10 Bäume
16 Kinder
29 €
Der Beginn des Films fehlt
8 Minuten
Nein, 13 Pfähle
15:50 Uhr
4 Fahrräder, 4 Dreiräder
0,80 €
206 €
B, 42 €
11:00 Uhr
240 min