Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 9:15 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 9:15 + 1:30 = 10:45 Uhr
Ergebnis:
10:45 Uhr
●40
Rechne um: 12 kg in g.
Lösung zeigen
1. 1 kg = 1.000 g
2. 12 · 1.000 = 12.000 g
Ergebnis:
12.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 8 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 2.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 2.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 22 Kinder und 5 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 22 Kinder und 5 € je Karte.
2. 22 · 5 € = 110 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
110 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
29 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 15 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
27 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 10 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
Lösung zeigen
1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 10 km = 20 km.
2. 27 Kinder: 27 · 20 km = 540 km
3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
Ergebnis:
540 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:25 Uhr. Welchen Bus 100 muss Jonas spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:25 Uhr: 7:07, 7:17 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:17 Uhr an.
Er fährt um 6:56 Uhr ab.

Ankunft vor 7:25 Uhr: 7:07, 7:17 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:17 Uhr an.
Er fährt um 6:56 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 6:56 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Sofia ist um 6:41 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Sofia auf den nächsten Bus X34?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 6:50 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:50 Uhr.
2. Von 6:41 bis 6:50 Uhr sind es 9 Minuten.
Ergebnis:
9 Minuten
●5
Milan ist um 6:39 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Milan auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:58 Uhr.
2. Von 6:39 bis 6:58 Uhr sind es 19 Minuten.
Ergebnis:
19 Minuten
★6
Hanna ist um 6:56 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:10 Uhr.
2. Von 6:56 bis 7:10 Uhr sind es 14 Minuten.
Ergebnis:
14 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 7 Bäume im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?

Schritt für Schritt

7 Bäume haben 6 Abstände dazwischen.
6 · 2 m = 12 m

7 Bäume haben 6 Abstände dazwischen.
6 · 2 m = 12 m

Ergebnis:

12 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Entlang eines Weges stehen 8 Laternen im Abstand von 6 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
So fängst du an:
8 Laternen haben 7 Abstände dazwischen.
Lösung zeigen
1. 8 Laternen haben 7 Abstände dazwischen.
2. 7 · 6 m = 42 m
Ergebnis:
42 m
●8
Tom sagt: „Ein Zaun von 42 m mit einem Pfahl alle 6 m braucht 7 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 42 : 6 = 7 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 8.
Ergebnis:
Nein, 8 Pfähle
★9
Um ein Beet mit 24 m Umfang werden rundherum alle 2 m Pfähle gesetzt. Wie viele Pfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Rundherum gibt es keinen Anfang und kein Ende.
2. Pfähle und Abstände sind gleich viele: 24 : 2 = 12
Ergebnis:
12 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Can braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:54 Uhr.
Noch 15 Minuten früher: 15:39 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:54 Uhr.
Noch 15 Minuten früher: 15:39 Uhr.

Ergebnis:

15:39 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Milan kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Milan 12 € geschenkt und hat jetzt 32 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 32 € − 12 € = 20 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 32 € − 12 € = 20 €
2. Dann den Kauf: 20 € + 6 € = 26 €
Ergebnis:
26 €
●11
Milan kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Milan 3 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 3 € = 25 €
2. Dann den Kauf: 25 € + 18 € = 43 €
Ergebnis:
43 €
★12
Paul verschenkt 6 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Paul noch 4 Karten dazu. Jetzt sind es 52. Wie viele Karten waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: 52 − 4 = 48
2. Verdoppeln rückgängig: 48 : 2 = 24
3. Verschenken rückgängig: 24 + 6 = 30
Ergebnis:
30 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Lina 6 Fahrzeuge und 16 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 4 Dreiräder: 2 · 2 + 4 · 3 = 16

Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 4 Dreiräder: 2 · 2 + 4 · 3 = 16

Ergebnis:

2 Fahrräder, 4 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 6 Tische mit 28 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 4 Vierertische und 2 Sechsertische: 4 · 4 + 2 · 6 = 28
Ergebnis:
2 Sechsertische
●14
Im Hof der Kita zählt Ben 5 Fahrzeuge und 13 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 2 Fahrräder und 3 Dreiräder: 2 · 2 + 3 · 3 = 13
Ergebnis:
2 Fahrräder, 3 Dreiräder
★15
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 13 Tische mit 72 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 7 Vierertische und 6 Sechsertische ergeben 64 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 3 Vierertische und 10 Sechsertische: 3 · 4 + 10 · 6 = 72
Ergebnis:
10 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,33 €
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
Ergebnis:
0,80 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 21 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 189 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 189 € : 21 = 9 €
9 € + 4 € = 13 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 189 € : 21 = 9 €
9 € + 4 € = 13 €

Ergebnis:

13 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 275 €. Der Förderverein gibt 74 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 6 € für jedes der 27 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 275 € + 74 € = 349 €; Kosten: 27 · 6 € = 162 €
3. 349 € − 162 € = 187 €
Ergebnis:
187 €
●20
In der Klassenkasse sind 313 €. Der Förderverein gibt 53 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 6 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 313 € + 53 € = 366 €; Kosten: 30 · 6 € = 180 €
3. 366 € − 180 € = 186 €
Ergebnis:
186 €
★21
Die 5c mit 28 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 112 € für alle zusammen, der Eintritt 8 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 112 € : 28 = 4 €
3. 4 € + 8 € = 12 €
Ergebnis:
12 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · (13 + 2)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 13 € und je eine Pumpe für 2 €.“
(B) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 13 €. Dazu kommt eine Pumpe für 2 € für alle.“

Schritt für Schritt

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
Passend ist A.
5 · (13 + 2) = 75

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
Passend ist A.
5 · (13 + 2) = 75

Ergebnis:

A, 75 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je ein Ticket für 8 €. Dazu kommt ein Getränk für 9 € für alle.“
(A) 7 · 8 + 9
(B) 7 · (8 + 9)
(C) 7 + 8 · 9
So fängst du an:
Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 7 · 8 + 9 = 65
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A: 7 · 8 + 9
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · 6 + 2? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „7 Kinder kaufen je einen Ball für 6 €. Dazu kommt eine Pumpe für 2 € für alle.“
(B) „7 Kinder kaufen je einen Ball für 6 € und je eine Pumpe für 2 €.“
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist A.
3. 7 · 6 + 2 = 44
Ergebnis:
A, 44 €
★24
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „11 Kinder kaufen je ein Ticket für 20 €. Dazu kommt ein Getränk für 6 € für alle.“
(A) 11 · 20 + 6
(B) 11 + 20 · 6
(C) 11 · (20 + 6)
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 11-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 11 · 20 + 6 = 226
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A: 11 · 20 + 6

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 35 Tore geschossen. Zum Finale kamen 429 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 9 Spiele.
2. 15 − 9 = 6
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●26
In der Klasse sind 29 Kinder. Sie spielen in 4 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Über Tore steht nichts im Text.
2. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:05 Uhr.
2. Von 6:48 bis 7:05 Uhr sind es 17 Minuten.
Ergebnis:
17 Minuten
●28
Ben sagt: „Ein Zaun von 54 m mit einem Pfahl alle 6 m braucht 9 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 54 : 6 = 9 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.
Ergebnis:
Nein, 10 Pfähle
●29
Im Kino sitzt Mia auf Platz 6 von links. Zwischen Mia und Tom sitzen 4 Kinder, Tom sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Tom?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 6 ist Mia, dann 4 Plätze dazwischen.
2. 6 + 4 + 1 = 11
Ergebnis:
Platz 11
●30
Lea kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Lea 11 € geschenkt und hat jetzt 33 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 33 € − 11 € = 22 €
2. Dann den Kauf: 22 € + 12 € = 34 €
Ergebnis:
34 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
24 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 11 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 8:09 Uhr. Welchen Bus 100 muss Ben spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:46 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ben sagt: „Ein Zaun von 54 m mit einem Pfahl alle 6 m braucht 9 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, 10 Pfähle
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Paul kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Paul 8 € geschenkt und hat jetzt 11 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
12 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 5 Tische mit 22 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Sechsertisch
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Bleistift kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 9,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 256 €. Der Förderverein gibt 82 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 4 € für jedes der 26 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
Ergebnis:
234 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · 9 + 7? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „3 Kinder kaufen je einen Ball für 9 € und je eine Pumpe für 7 €.“
(B) „3 Kinder kaufen je einen Ball für 9 €. Dazu kommt eine Pumpe für 7 € für alle.“
Lösung zeigen
Ergebnis:
B, 34 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

110 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
540 km
9 Minuten
19 Minuten
14 Minuten
42 m
Nein, 8 Pfähle
12 Pfähle
26 €
43 €
30 Karten
2 Sechsertische
2 Fahrräder, 3 Dreiräder
10 Sechsertische
1,00 €
1,33 €
0,80 €
187 €
186 €
12 €
A: 7 · 8 + 9
A, 44 €
A: 11 · 20 + 6
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
nicht lösbar
17 Minuten
Nein, 10 Pfähle
Platz 11
34 €
Der Preis für Erwachsene fehlt
den um 7:46 Uhr
Nein, 10 Pfähle
12 €
1 Sechsertisch
einzeln
234 €
B, 34 €
10:45 Uhr
12.000 g