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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 9:15 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0 h 45 min
    2. 9:15 + 0:45 = 10:00 Uhr
    Ergebnis:
    10:00 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 6 cm in mm.
    Lösung zeigen
    1. 1 cm = 10 mm
    2. 6 · 10 = 60 mm
    Ergebnis:
    60 mm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
30 Kindern9 €95 Minuten
Schritt für Schritt
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 26 Tore geschossen. Zum Finale kamen 341 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    11 Spiele26 Tore341 Zuschauer
    So fängst du an:
    Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  2. ●2
    22 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    22 Kinder3 Lehrkräfte9 km6 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 22 Kinder und 6 €.
    2. 22 · 6 € = 132 €
    3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
    Ergebnis:
    132 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  3. ★3
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 16 Tore geschossen. Zum Finale kamen 422 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    11 Spiele16 Tore422 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Bus 100Hauptstraße abSchule an6:467:127:067:327:267:527:468:12
Schritt für Schritt
  1. Zum Beispiel: ab 6:46 Uhr, an 7:12 Uhr.
  2. Von 6:46 bis 7:12 Uhr sind es 26 Minuten.
  1. Zum Beispiel: ab 6:46 Uhr, an 7:12 Uhr.
  2. Von 6:46 bis 7:12 Uhr sind es 26 Minuten.
Ergebnis:
26 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Elias ist um 6:45 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Elias auf den nächsten Bus M29?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:407:067:007:267:207:467:408:06
    So fängst du an:
    Der nächste fährt um 7:00 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:00 Uhr.
    2. Von 6:45 bis 7:00 Uhr sind es 15 Minuten.
    Ergebnis:
    15 Minuten
  2. ●5
    Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:386:546:587:147:187:347:387:54
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:38 Uhr, an 6:54 Uhr.
    2. Von 6:38 bis 6:54 Uhr sind es 16 Minuten.
    Ergebnis:
    16 Minuten
  3. ★6
    Der Unterricht beginnt um 7:58 Uhr. Welchen Bus M29 muss Lina spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:467:087:067:287:267:487:468:08
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:58 Uhr: 7:08, 7:28, 7:48 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:48 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:26 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:26 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 11 Zaunpfähle im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
2 m2 m2 m…?
Schritt für Schritt
  1. 11 Zaunpfähle haben 10 Abstände dazwischen.
  2. 10 · 2 m = 20 m
  1. 11 Zaunpfähle haben 10 Abstände dazwischen.
  2. 10 · 2 m = 20 m
Ergebnis:
20 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Entlang eines Weges stehen 10 Laternen im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    10 m10 m10 m…?
    So fängst du an:
    10 Laternen haben 9 Abstände dazwischen.
    Lösung zeigen
    1. 10 Laternen haben 9 Abstände dazwischen.
    2. 9 · 10 m = 90 m
    Ergebnis:
    90 m
  2. ●8
    Ein Weg ist 10 m lang. Alle 2 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 10 : 2 = 5
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 5 + 1 = 6
    Ergebnis:
    6 Laternen
  3. ★9
    Entlang eines Weges stehen 8 Laternen im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    1. 8 Laternen haben 7 Abstände dazwischen.
    2. 7 · 10 m = 70 m
    Ergebnis:
    70 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Aylin kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Aylin 7 € geschenkt und hat jetzt 12 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
?− 16 €+ 7 €12 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 12 € − 7 € = 5 €
  2. Dann den Kauf: 5 € + 16 € = 21 €
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 12 € − 7 € = 5 €
  2. Dann den Kauf: 5 € + 16 € = 21 €
Ergebnis:
21 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Lea braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 22 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:00 Uhr
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 15:49 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 15:49 Uhr.
    2. Noch 22 Minuten früher: 15:27 Uhr.
    Ergebnis:
    15:27 Uhr
  2. ●11
    Lea kauft ein Buch für 13 €. Danach bekommt Lea 7 € geschenkt und hat jetzt 9 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?
    ?− 13 €+ 7 €9 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 9 € − 7 € = 2 €
    2. Dann den Kauf: 2 € + 13 € = 15 €
    Ergebnis:
    15 €
  3. ★12
    Hanna kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Hanna 10 € geschenkt und hat jetzt 13 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?
    ?− 12 €+ 10 €13 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 13 € − 10 € = 3 €
    2. Dann den Kauf: 3 € + 12 € = 15 €
    Ergebnis:
    15 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Hanna 9 Tische und 46 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Vierertische0123…Plätze????
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
  2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 4 Vierertische und 5 Sechsertische: 4 · 4 + 5 · 6 = 46
  1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
  2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 4 Vierertische und 5 Sechsertische: 4 · 4 + 5 · 6 = 46
Ergebnis:
4 Vierertische, 5 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 5 Tische mit 22 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    So fängst du an:
    Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
    2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 4 Vierertische und 1 Sechsertisch: 4 · 4 + 1 · 6 = 22
    Ergebnis:
    1 Sechsertisch
  2. ●14
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 7 Tische mit 36 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
    2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 3 Vierertische und 4 Sechsertische: 3 · 4 + 4 · 6 = 36
    Ergebnis:
    4 Sechsertische
  3. ★15
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 13 Tische mit 64 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 7 Vierertische und 6 Sechsertische ergeben 64 Plätze.
    2. Das passt genau.
    3. 7 Vierertische und 6 Sechsertische: 7 · 4 + 6 · 6 = 64
    Ergebnis:
    6 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,50 €
Schritt für Schritt
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
  2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
  2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 17,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
    einzeln1 Müsliriegel1,80 €Packung10 Riegeln17,00 €
    So fängst du an:
    10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
    Lösung zeigen
    1. 10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
    2. Packung: 17,00 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung
  2. ●17
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
    2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    1,33 €
  3. ★18
    Ein Müsliriegel kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 4,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
    einzeln1 Müsliriegel0,90 €Packung6 Riegeln4,40 €
    Lösung zeigen
    1. 6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
    2. Packung: 4,40 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 365 €. Der Förderverein gibt 80 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 9 € für jedes der 28 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
365 €80 €9 €28 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 365 € + 80 € = 445 €; Kosten: 28 · 9 € = 252 €
  3. 445 € − 252 € = 193 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 365 € + 80 € = 445 €; Kosten: 28 · 9 € = 252 €
  3. 445 € − 252 € = 193 €
Ergebnis:
193 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Die 5c mit 25 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 200 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    25 Kindern200 €5 €
    So fängst du an:
    Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 200 € : 25 = 8 €
    3. 8 € + 5 € = 13 €
    Ergebnis:
    13 €
  2. ●20
    In der Klassenkasse sind 360 €. Der Förderverein gibt 109 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 4 € für jedes der 23 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    360 €109 €4 €23 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 360 € + 109 € = 469 €; Kosten: 23 · 4 € = 92 €
    3. 469 € − 92 € = 377 €
    Ergebnis:
    377 €
  3. ★21
    In der Klassenkasse sind 444 €. Der Förderverein gibt 85 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 4 € für jedes der 24 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    444 €85 €4 €24 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 444 € + 85 € = 529 €; Kosten: 24 · 4 € = 96 €
    3. 529 € − 96 € = 433 €
    Ergebnis:
    433 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je ein Heft für 7 € und je eine Mappe für 6 €.“
(A) 7 · 7 + 6
(B) 7 + 7 · 6
(C) 7 · (7 + 6)
Schritt für Schritt
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
  2. Passend: 7 · (7 + 6) = 91
  3. Richtig ist C.
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
  2. Passend: 7 · (7 + 6) = 91
  3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 7 · (7 + 6)

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je ein Heft für 14 € und je eine Mappe für 3 €.“
    (A) 7 · 14 + 3
    (B) 7 · (14 + 3)
    (C) 7 + 14 · 3
    So fängst du an:
    Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
    2. Passend: 7 · (14 + 3) = 119
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B: 7 · (14 + 3)
  2. ●23
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · 6 + 5? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 6 €. Dazu kommt ein Getränk für 5 € für alle.“
    (B) „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 6 € und je ein Getränk für 5 €.“
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist A.
    3. 4 · 6 + 5 = 29
    Ergebnis:
    A, 29 €
  3. ★24
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 21 + 7? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 21 € und je ein Getränk für 7 €.“
    (B) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 21 €. Dazu kommt ein Getränk für 7 € für alle.“
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist B.
    3. 5 · 21 + 7 = 112
    Ergebnis:
    B, 112 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    23 Kindern5 €120 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    2. Die Dauer ist da: 120 Minuten.
    3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt
  2. ●26
    Ein Regal hat 3 Böden mit je 10 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? B: Wie viele Bücher stehen im Regal? C: Wie viel kostet ein Buch?
    3 Böden10 Büchern
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
    2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 3 · 10 = 30.
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B, 30 Bücher
  3. ●27
    Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:436:556:587:107:137:257:287:40
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:43 Uhr, an 6:55 Uhr.
    2. Von 6:43 bis 6:55 Uhr sind es 12 Minuten.
    Ergebnis:
    12 Minuten
  4. ●28
    Entlang eines Weges stehen 13 Laternen im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    1. 13 Laternen haben 12 Abstände dazwischen.
    2. 12 · 10 m = 120 m
    Ergebnis:
    120 m
  5. ●29
    In der Schlange vor der Mensa steht Mia an 11. Stelle von vorn und an 14. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
    1114
    Lösung zeigen
    1. Skizze: vorn 10 Kinder, dann Mia, dahinter 13 Kinder.
    2. 10 + 1 + 13 = 24
    Ergebnis:
    24 Kinder
  6. ●30
    Emma kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Emma 10 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Emma am Anfang?
    ?− 10 €+ 10 €24 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 24 € − 10 € = 14 €
    2. Dann den Kauf: 14 € + 10 € = 24 €
    Ergebnis:
    24 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    30 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    30 Kinder3 Lehrkräfte16 km5 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    150 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:417:047:017:247:217:447:418:04
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    23 Minuten

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Sofia sagt: „Ein Zaun von 20 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, 6 Pfähle

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Lina braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 24 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:15 Uhr
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15:41 Uhr

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Im Hof der Kita zählt Sofia 10 Fahrzeuge und 27 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Fahrräder, 7 Dreiräder

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,50 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,67 €

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    Die 5c mit 23 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 138 € für alle zusammen, der Eintritt 9 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    23 Kindern138 €9 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · (14 + 2)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 14 € und je ein Getränk für 2 €.“
    (B) „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 14 €. Dazu kommt ein Getränk für 2 € für alle.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A, 48 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. Die Tore im Finale fehlen
  2. 132 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  3. Die Tore im Finale fehlen
  4. 15 Minuten
  5. 16 Minuten
  6. den um 7:26 Uhr
  7. 90 m
  8. 6 Laternen
  9. 70 m
  10. 15:27 Uhr
  11. 15 €
  12. 15 €
  13. 1 Sechsertisch
  14. 4 Sechsertische
  15. 6 Sechsertische
  16. die Packung
  17. 1,33 €
  18. die Packung
  19. 13 €
  20. 377 €
  21. 433 €
  22. B: 7 · (14 + 3)
  23. A, 29 €
  24. B, 112 €
  25. Der Beginn des Films fehlt
  26. B, 30 Bücher
  27. 12 Minuten
  28. 120 m
  29. 24 Kinder
  30. 24 €
  31. 150 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  32. 23 Minuten
  33. Nein, 6 Pfähle
  34. 15:41 Uhr
  35. 3 Fahrräder, 7 Dreiräder
  36. 1,67 €
  37. 15 €
  38. A, 48 €
  39. 10:00 Uhr
  40. 60 mm