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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 9:45 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0 h 45 min
    2. 9:45 + 0:45 = 10:30 Uhr
    Ergebnis:
    10:30 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 5 € in ct.
    Lösung zeigen
    1. 1 € = 100 ct
    2. 5 · 100 = 500 ct
    Ergebnis:
    500 ct

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 23 Tore geschossen. Zum Finale kamen 158 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
9 Spiele23 Tore158 Zuschauer
Schritt für Schritt
  1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
  2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
  3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
  1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
  2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
  3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 37 Tore geschossen. Zum Finale kamen 275 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    12 Spiele37 Tore275 Zuschauer15 Spielen
    So fängst du an:
    Gebraucht: 12 Spiele.
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 12 Spiele.
    2. 15 − 12 = 3
    3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
    Ergebnis:
    3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  2. ●2
    Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    29 Kindern5 €120 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    2. Die Dauer ist da: 120 Minuten.
    3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt
  3. ★3
    Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 110 Minuten. Der Film beginnt um 8:15 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
    28 Kindern7 €110 Minuten
    Lösung zeigen
    1. 110 Minuten sind 1 Stunde und 50 Minuten.
    2. 8:15 Uhr plus 110 Minuten: 10:05 Uhr
    3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
    Ergebnis:
    10:05 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Milan ist um 6:47 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Milan auf den nächsten Bus 100?
Bus 100Hauptstraße abSchule an6:437:086:537:187:037:287:137:38
Schritt für Schritt
  1. Der nächste fährt um 6:53 Uhr.
  2. Von 6:47 bis 6:53 Uhr sind es 6 Minuten.
  1. Der nächste fährt um 6:53 Uhr.
  2. Von 6:47 bis 6:53 Uhr sind es 6 Minuten.
Ergebnis:
6 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:407:067:007:267:207:467:408:06
    So fängst du an:
    Zum Beispiel: ab 6:40 Uhr, an 7:06 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:40 Uhr, an 7:06 Uhr.
    2. Von 6:40 bis 7:06 Uhr sind es 26 Minuten.
    Ergebnis:
    26 Minuten
  2. ●5
    Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:437:066:537:167:037:267:137:36
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:43 Uhr, an 7:06 Uhr.
    2. Von 6:43 bis 7:06 Uhr sind es 23 Minuten.
    Ergebnis:
    23 Minuten
  3. ★6
    Der Unterricht beginnt um 7:41 Uhr. Welchen Bus 248 muss Tom spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:547:107:047:207:147:307:247:40
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:41 Uhr: 7:10, 7:20, 7:30, 7:40 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:40 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:24 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:24 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ein Zaun ist 16 m lang. Alle 4 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
4 m4 m4 m…?
Schritt für Schritt
  1. Abstände: 16 : 4 = 4
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 4 + 1 = 5
  1. Abstände: 16 : 4 = 4
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 4 + 1 = 5
Ergebnis:
5 Zaunpfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Weg ist 55 m lang. Alle 5 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
    5 m5 m5 m…?
    So fängst du an:
    Abstände: 55 : 5 = 11
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 55 : 5 = 11
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 11 + 1 = 12
    Ergebnis:
    12 Laternen
  2. ●8
    Ein Zaun ist 28 m lang. Alle 4 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 28 : 4 = 7
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 7 + 1 = 8
    Ergebnis:
    8 Zaunpfähle
  3. ★9
    Entlang eines Weges stehen 18 Bäume im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    1. 18 Bäume haben 17 Abstände dazwischen.
    2. 17 · 10 m = 170 m
    Ergebnis:
    170 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Zeynep braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
WegUmziehen?17:00 Uhr
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:52 Uhr.
  2. Noch 21 Minuten früher: 16:31 Uhr.
  1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:52 Uhr.
  2. Noch 21 Minuten früher: 16:31 Uhr.
Ergebnis:
16:31 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Emma braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 25 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:54 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:54 Uhr.
    2. Noch 25 Minuten früher: 16:29 Uhr.
    Ergebnis:
    16:29 Uhr
  2. ●11
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Hanna braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Hanna spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 16:48 Uhr.
    2. Noch 27 Minuten früher: 16:21 Uhr.
    Ergebnis:
    16:21 Uhr
  3. ★12
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Zeynep braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:52 Uhr.
    2. Noch 20 Minuten früher: 16:32 Uhr.
    Ergebnis:
    16:32 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Can 6 Tische und 34 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Vierertische0123…Plätze????
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
  2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 1 Vierertisch und 5 Sechsertische: 1 · 4 + 5 · 6 = 34
  1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
  2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 1 Vierertisch und 5 Sechsertische: 1 · 4 + 5 · 6 = 34
Ergebnis:
1 Vierertisch, 5 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Mensa zählt Elias 9 Tische und 48 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Vierertische0123…Plätze????
    So fängst du an:
    Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
    2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 3 Vierertische und 6 Sechsertische: 3 · 4 + 6 · 6 = 48
    Ergebnis:
    3 Vierertische, 6 Sechsertische
  2. ●14
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 9 Tische mit 50 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
    2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 2 Vierertische und 7 Sechsertische: 2 · 4 + 7 · 6 = 50
    Ergebnis:
    7 Sechsertische
  3. ★15
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 11 Fahrzeuge mit 28 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 6 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 27 Räder.
    2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
    3. 5 Fahrräder und 6 Dreiräder: 5 · 2 + 6 · 3 = 28
    Ergebnis:
    6 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Tennisball kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 6 Bällen kostet 11,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bälle braucht?
einzeln1 Tennisball1,80 €Packung6 Bällen11,40 €
Schritt für Schritt
  1. 6 einzeln: 6 · 1,80 € = 10,80 €
  2. Packung: 11,40 €
  3. Einzeln ist günstiger.
  1. 6 einzeln: 6 · 1,80 € = 10,80 €
  2. Packung: 11,40 €
  3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,50 €
    So fängst du an:
    Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
    2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    1,67 €
  2. ●17
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
    2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    1,33 €
  3. ★18
    Eine Fahrt kostet 3,50 €. Eine Monatskarte kostet 50,00 €. Tom fährt im Monat 21-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
    Einzelfahrt1 Fahrt3,50 €Monatskartebeliebig oft50,00 €
    Lösung zeigen
    1. Einzeln: 21 · 3,50 € = 73,50 €
    2. Monatskarte: 50,00 €
    3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
    Ergebnis:
    Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 470 €. Der Förderverein gibt 71 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 9 € für jedes der 26 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
470 €71 €9 €26 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 470 € + 71 € = 541 €; Kosten: 26 · 9 € = 234 €
  3. 541 € − 234 € = 307 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 470 € + 71 € = 541 €; Kosten: 26 · 9 € = 234 €
  3. 541 € − 234 € = 307 €
Ergebnis:
307 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In der Klassenkasse sind 309 €. Der Förderverein gibt 105 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 5 € für jedes der 29 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    309 €105 €5 €29 Kinder
    So fängst du an:
    Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 309 € + 105 € = 414 €; Kosten: 29 · 5 € = 145 €
    3. 414 € − 145 € = 269 €
    Ergebnis:
    269 €
  2. ●20
    In der Klassenkasse sind 479 €. Der Förderverein gibt 53 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 5 € für jedes der 22 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    479 €53 €5 €22 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 479 € + 53 € = 532 €; Kosten: 22 · 5 € = 110 €
    3. 532 € − 110 € = 422 €
    Ergebnis:
    422 €
  3. ★21
    Mia läuft an 5 Tagen in der Woche je 4 Runden auf der 250-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
    5 Tagen4 Runden2504 Wochen
    Lösung zeigen
    1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
    2. Ein Tag: 4 · 250 m = 1000 m; eine Woche: 5 · 1000 m = 5000 m
    3. 4 Wochen: 20.000 m = 20 km
    Ergebnis:
    20 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je einen Ball für 12 €. Dazu kommt eine Pumpe für 4 € für alle.“
(A) 6 + 12 · 4
(B) 6 · (12 + 4)
(C) 6 · 12 + 4
Schritt für Schritt
  1. Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend: 6 · 12 + 4 = 76
  3. Richtig ist C.
  1. Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend: 6 · 12 + 4 = 76
  3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 6 · 12 + 4

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · (13 + 9)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „6 Kinder kaufen je einen Ball für 13 €. Dazu kommt eine Pumpe für 9 € für alle.“
    (B) „6 Kinder kaufen je einen Ball für 13 € und je eine Pumpe für 9 €.“
    So fängst du an:
    Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
    2. Passend ist B.
    3. 6 · (13 + 9) = 132
    Ergebnis:
    B, 132 €
  2. ●23
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je ein Heft für 11 € und je eine Mappe für 5 €.“
    (A) 4 · (11 + 5)
    (B) 4 + 11 · 5
    (C) 4 · 11 + 5
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
    2. Passend: 4 · (11 + 5) = 64
    3. Richtig ist A.
    Ergebnis:
    A: 4 · (11 + 5)
  3. ★24
    Erfinde zu 10 · (10 + 6) eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 10.
    2. „10 Kinder kaufen je ein Ticket für 10 € und je ein Getränk für 6 €.“
    3. 10 · (10 + 6) = 160
    Ergebnis:
    160 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    27 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 8 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    27 Kinder2 Lehrkräfte8 km6 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 27 Kinder und 6 €.
    2. 27 · 6 € = 162 €
    3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
    Ergebnis:
    162 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  2. ●26
    Ein Regal hat 6 Böden. Auf jedem stehen 29 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
    6 Böden29 Bücher
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben: 6 Böden, 29 Bücher je Boden.
    2. Über die Seiten steht nichts im Text.
    3. Die Frage kann man nicht beantworten.
    Ergebnis:
    nicht lösbar
  3. ●27
    Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:396:586:547:137:097:287:247:43
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:58 Uhr.
    2. Von 6:39 bis 6:58 Uhr sind es 19 Minuten.
    Ergebnis:
    19 Minuten
  4. ●28
    Ein Weg ist 24 m lang. Alle 2 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 24 : 2 = 12
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 12 + 1 = 13
    Ergebnis:
    13 Laternen
  5. ●29
    In der Schlange vor der Mensa steht Milan an 14. Stelle von vorn und an 9. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
    149
    Lösung zeigen
    1. Skizze: vorn 13 Kinder, dann Milan, dahinter 8 Kinder.
    2. 13 + 1 + 8 = 22
    Ergebnis:
    22 Kinder
  6. ●30
    Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Tom braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?15:30 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 15:18 Uhr.
    2. Noch 29 Minuten früher: 14:49 Uhr.
    Ergebnis:
    14:49 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    27 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    27 Kinder3 Lehrkräfte14 km4 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    108 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Der Unterricht beginnt um 7:21 Uhr. Welchen Bus M29 muss Jonas spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:427:026:577:177:127:327:277:47
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    den um 6:57 Uhr

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Ein Weg ist 44 m lang. Alle 4 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Laternen

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Elias kauft ein Buch für 11 €. Danach bekommt Elias 3 € geschenkt und hat jetzt 22 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
    ?− 11 €+ 3 €22 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    30 €

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 10 Tiere mit 22 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 Kaninchen

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 3,90 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    einzeln

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    In der Klassenkasse sind 426 €. Der Förderverein gibt 104 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 8 € für jedes der 24 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    426 €104 €8 €24 Kinder
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    338 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 6 + 6? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 6 €. Dazu kommt eine Mappe für 6 € für alle.“
    (B) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 6 € und je eine Mappe für 6 €.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A, 36 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. 3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  2. Der Beginn des Films fehlt
  3. 10:05 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
  4. 26 Minuten
  5. 23 Minuten
  6. den um 7:24 Uhr
  7. 12 Laternen
  8. 8 Zaunpfähle
  9. 170 m
  10. 16:29 Uhr
  11. 16:21 Uhr
  12. 16:32 Uhr
  13. 3 Vierertische, 6 Sechsertische
  14. 7 Sechsertische
  15. 6 Dreiräder
  16. 1,67 €
  17. 1,33 €
  18. Ja
  19. 269 €
  20. 422 €
  21. 20 km
  22. B, 132 €
  23. A: 4 · (11 + 5)
  24. 160 €
  25. 162 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  26. nicht lösbar
  27. 19 Minuten
  28. 13 Laternen
  29. 22 Kinder
  30. 14:49 Uhr
  31. 108 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  32. den um 6:57 Uhr
  33. 12 Laternen
  34. 30 €
  35. 1 Kaninchen
  36. einzeln
  37. 338 €
  38. A, 36 €
  39. 10:30 Uhr
  40. 500 ct