Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:45 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 8:45 + 1:00 = 9:45 Uhr
Ergebnis:
9:45 Uhr
●40
Rechne um: 5 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 5 · 60 = 300 min
Ergebnis:
300 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 18 Tore geschossen. Zum Finale kamen 264 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 6 Spiele.
15 − 6 = 9
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 6 Spiele.
15 − 6 = 9
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
25 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 25 Kinder und 6 €.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 25 Kinder und 6 €.
2. 25 · 6 € = 150 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
150 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●2
27 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 27 Kinder und 3 €.
2. 27 · 3 € = 81 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
81 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 28 Tore geschossen. Zum Finale kamen 127 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 6 Spiele.
2. 15 − 6 = 9
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:51 Uhr, an 7:11 Uhr.
Von 6:51 bis 7:11 Uhr sind es 20 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:51 Uhr, an 7:11 Uhr.
Von 6:51 bis 7:11 Uhr sind es 20 Minuten.

Ergebnis:

20 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Lina ist um 6:58 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lina auf den nächsten Bus X34?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:09 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:09 Uhr.
2. Von 6:58 bis 7:09 Uhr sind es 11 Minuten.
Ergebnis:
11 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 8:32 Uhr. Welchen Bus X34 muss Aylin spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:32 Uhr: 7:14, 7:34, 7:54, 8:14 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:14 Uhr an.
3. Er fährt um 7:47 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:47 Uhr
★6
Can ist um 6:48 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Can auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:04 Uhr.
2. Von 6:48 bis 7:04 Uhr sind es 16 Minuten.
Ergebnis:
16 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ein Zaun ist 120 m lang. Alle 10 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?

Schritt für Schritt

Abstände: 120 : 10 = 12
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
12 + 1 = 13

Abstände: 120 : 10 = 12
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
12 + 1 = 13

Ergebnis:

13 Zaunpfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Hanna sagt: „Ein Zaun von 12 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 4 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
So fängst du an:
12 : 3 = 4 ist die Zahl der Abstände.
Lösung zeigen
1. 12 : 3 = 4 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.
Ergebnis:
Nein, 5 Pfähle
●8
Lea sagt: „Ein Zaun von 40 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 10 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 40 : 4 = 10 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 11.
Ergebnis:
Nein, 11 Pfähle
★9
Sofia sagt: „Ein Zaun von 56 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 14 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 56 : 4 = 14 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 15.
Ergebnis:
Nein, 15 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Lina braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 22 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
Noch 22 Minuten früher: 15:47 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
Noch 22 Minuten früher: 15:47 Uhr.

Ergebnis:

15:47 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Lina braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:05 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:05 Uhr.
2. Noch 31 Minuten früher: 15:34 Uhr.
Ergebnis:
15:34 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Tom braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:51 Uhr.
2. Noch 19 Minuten früher: 15:32 Uhr.
Ergebnis:
15:32 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Zeynep braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:51 Uhr.
2. Noch 20 Minuten früher: 15:31 Uhr.
Ergebnis:
15:31 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Hanna 6 Tische und 30 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
Das passt genau.
3 Vierertische und 3 Sechsertische: 3 · 4 + 3 · 6 = 30

Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
Das passt genau.
3 Vierertische und 3 Sechsertische: 3 · 4 + 3 · 6 = 30

Ergebnis:

3 Vierertische, 3 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 9 Tiere mit 20 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 8 Hühner und 1 Kaninchen: 8 · 2 + 1 · 4 = 20
Ergebnis:
1 Kaninchen
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 10 Tiere mit 32 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 4 Hühner und 6 Kaninchen: 4 · 2 + 6 · 4 = 32
Ergebnis:
6 Kaninchen
★15
In der Mensa zählt Sofia 12 Tische und 70 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 6 Vierertische und 6 Sechsertische ergeben 60 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Vierertisch und 11 Sechsertische: 1 · 4 + 11 · 6 = 70
Ergebnis:
1 Vierertisch, 11 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Müsliriegel kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 4,80 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?

Schritt für Schritt

6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
Packung: 4,80 €
Die Packung ist günstiger.

6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
Packung: 4,80 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 3,80 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
So fängst du an:
4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
2. Packung: 3,80 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
★18
Eine Saftflasche kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 14,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
2. Packung: 14,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 394 €. Der Förderverein gibt 54 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 7 € für jedes der 24 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?

Schritt für Schritt

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 394 € + 54 € = 448 €; Kosten: 24 · 7 € = 168 €
448 € − 168 € = 280 €

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 394 € + 54 € = 448 €; Kosten: 24 · 7 € = 168 €
448 € − 168 € = 280 €

Ergebnis:

280 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
Die 5c mit 20 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 140 € für alle zusammen, der Eintritt 9 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 140 € : 20 = 7 €
3. 7 € + 9 € = 16 €
Ergebnis:
16 €
●20
Die 5c mit 24 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 96 € für alle zusammen, der Eintritt 9 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 96 € : 24 = 4 €
3. 4 € + 9 € = 13 €
Ergebnis:
13 €
★21
Ben läuft an 5 Tagen in der Woche je 5 Runden auf der 250-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
Lösung zeigen
1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
2. Ein Tag: 5 · 250 m = 1250 m; eine Woche: 5 · 1250 m = 6250 m
3. 4 Wochen: 25.000 m = 25 km
Ergebnis:
25 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · 8 + 6? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „6 Kinder kaufen je einen Ball für 8 € und je eine Pumpe für 6 €.“
(B) „6 Kinder kaufen je einen Ball für 8 €. Dazu kommt eine Pumpe für 6 € für alle.“

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist B.
6 · 8 + 6 = 54

Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist B.
6 · 8 + 6 = 54

Ergebnis:

B, 54 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 14 + 2? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 14 € und je eine Pumpe für 2 €.“
(B) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 14 €. Dazu kommt eine Pumpe für 2 € für alle.“
So fängst du an:
Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist B.
3. 5 · 14 + 2 = 72
Ergebnis:
B, 72 €
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · (10 + 2)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 10 € und je eine Mappe für 2 €.“
(B) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 10 €. Dazu kommt eine Mappe für 2 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
2. Passend ist A.
3. 6 · (10 + 2) = 72
Ergebnis:
A, 72 €
★24
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „12 Kinder kaufen je einen Ball für 25 €. Dazu kommt eine Pumpe für 7 € für alle.“
(A) 12 · (25 + 7)
(B) 12 + 25 · 7
(C) 12 · 25 + 7
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 12-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 12 · 25 + 7 = 307
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 12 · 25 + 7

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 30 Tore geschossen. Zum Finale kamen 296 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 7 Spiele.
2. 15 − 7 = 8
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 4 Böden mit je 28 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? B: Wie viele Bücher stehen im Regal? C: Wie viel kostet ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 4 · 28 = 112.
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B, 112 Bücher
●27
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:53 Uhr, an 7:18 Uhr.
2. Von 6:53 bis 7:18 Uhr sind es 25 Minuten.
Ergebnis:
25 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 7 Bäume im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 7 Bäume haben 6 Abstände dazwischen.
2. 6 · 2 m = 12 m
Ergebnis:
12 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Noah an 10. Stelle von vorn und an 7. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 9 Kinder, dann Noah, dahinter 6 Kinder.
2. 9 + 1 + 6 = 16
Ergebnis:
16 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Milan braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 23 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 15:20 Uhr.
2. Noch 23 Minuten früher: 14:57 Uhr.
Ergebnis:
14:57 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 26 Tore geschossen. Zum Finale kamen 466 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Elias ist um 7:01 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Elias auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
Ergebnis:
9 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Entlang eines Weges stehen 10 Laternen im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
Ergebnis:
36 m
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Lea braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 16 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:47 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa zählt Jonas 10 Tische und 44 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 Vierertische, 2 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 6,20 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 313 €. Der Förderverein gibt 90 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 8 € für jedes der 29 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
Ergebnis:
171 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je ein Heft für 11 € und je eine Mappe für 7 €.“
(A) 7 · 11 + 7
(B) 7 · (11 + 7)
(C) 7 + 11 · 7
Lösung zeigen
Ergebnis:
B: 7 · (11 + 7)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

150 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
81 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
11 Minuten
den um 7:47 Uhr
16 Minuten
Nein, 5 Pfähle
Nein, 11 Pfähle
Nein, 15 Pfähle
15:34 Uhr
15:32 Uhr
15:31 Uhr
1 Kaninchen
6 Kaninchen
1 Vierertisch, 11 Sechsertische
die Packung
1,00 €
die Packung
16 €
13 €
25 km
B, 72 €
A, 72 €
C: 12 · 25 + 7
8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
B, 112 Bücher
25 Minuten
12 m
16 Kinder
14:57 Uhr
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
9 Minuten
36 m
15:47 Uhr
8 Vierertische, 2 Sechsertische
die Packung
171 €
B: 7 · (11 + 7)
9:45 Uhr
300 min