Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:45 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 10:45 + 0:45 = 11:30 Uhr
Ergebnis:
11:30 Uhr
●40
Rechne um: 6 km in m.
Lösung zeigen
1. 1 km = 1.000 m
2. 6 · 1.000 = 6.000 m
Ergebnis:
6.000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 22 Tore geschossen. Zum Finale kamen 206 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 10 Spiele.
15 − 10 = 5
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 10 Spiele.
15 − 10 = 5
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

5 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 26 Kinder und 9 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 26 Kinder und 9 € je Karte.
2. 26 · 9 € = 234 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
234 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
25 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 25 Kinder und 3 €.
2. 25 · 3 € = 75 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
75 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 25 Tore geschossen. Zum Finale kamen 228 Zuschauer. Wie viele Karten zu 3 € wurden für das Finale verkauft, wenn alle Zuschauer eine Karte hatten? Wie viel Geld kam zusammen?
Lösung zeigen
1. Karten: 228, so viele wie Zuschauer.
2. 228 · 3 € = 684 €
3. Nicht gebraucht: Spiele und Tore.
Ergebnis:
228 Karten, 684 €

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 8:13 Uhr. Welchen Bus M29 muss Paul spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 8:13 Uhr: 7:00, 7:20, 7:40, 8:00 Uhr.
Der letzte davon kommt um 8:00 Uhr an.
Er fährt um 7:48 Uhr ab.

Ankunft vor 8:13 Uhr: 7:00, 7:20, 7:40, 8:00 Uhr.
Der letzte davon kommt um 8:00 Uhr an.
Er fährt um 7:48 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:48 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Hanna ist um 6:50 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus 248?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 6:53 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:53 Uhr.
2. Von 6:50 bis 6:53 Uhr sind es 3 Minuten.
Ergebnis:
3 Minuten
●5
Aylin ist um 6:52 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Aylin auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:59 Uhr.
2. Von 6:52 bis 6:59 Uhr sind es 7 Minuten.
Ergebnis:
7 Minuten
★6
Aylin braucht 12 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus M29 um 7:03 Uhr nehmen. Wann muss Aylin spätestens los, und wann ist Aylin an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 12 Minuten vor 7:03 Uhr, also 6:51 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:26 Uhr.
Ergebnis:
los um 6:51 Uhr, an um 7:26 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ben sagt: „Ein Zaun von 44 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?

Schritt für Schritt

44 : 4 = 11 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.

44 : 4 = 11 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.

Ergebnis:

Nein, 12 Pfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Entlang eines Weges stehen 7 Zaunpfähle im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
So fängst du an:
7 Zaunpfähle haben 6 Abstände dazwischen.
Lösung zeigen
1. 7 Zaunpfähle haben 6 Abstände dazwischen.
2. 6 · 10 m = 60 m
Ergebnis:
60 m
●8
Zeynep sagt: „Ein Zaun von 24 m mit einem Pfahl alle 2 m braucht 12 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 24 : 2 = 12 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 13.
Ergebnis:
Nein, 13 Pfähle
★9
Ein Zaun ist 65 m lang. Alle 5 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 65 : 5 = 13
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 13 + 1 = 14
Ergebnis:
14 Zaunpfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Tom kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Tom 11 € geschenkt und hat jetzt 34 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 34 € − 11 € = 23 €
Dann den Kauf: 23 € + 18 € = 41 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 34 € − 11 € = 23 €
Dann den Kauf: 23 € + 18 € = 41 €

Ergebnis:

41 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Lea braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 17 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 16:49 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 16:49 Uhr.
2. Noch 17 Minuten früher: 16:32 Uhr.
Ergebnis:
16:32 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Can braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 25 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:54 Uhr.
2. Noch 25 Minuten früher: 15:29 Uhr.
Ergebnis:
15:29 Uhr
★12
Can kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Can 8 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 8 € = 20 €
2. Dann den Kauf: 20 € + 9 € = 29 €
Ergebnis:
29 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 54 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3 Vierertische und 7 Sechsertische: 3 · 4 + 7 · 6 = 54

Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3 Vierertische und 7 Sechsertische: 3 · 4 + 7 · 6 = 54

Ergebnis:

7 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita zählt Paul 8 Fahrzeuge und 21 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 3 Fahrräder und 5 Dreiräder: 3 · 2 + 5 · 3 = 21
Ergebnis:
3 Fahrräder, 5 Dreiräder
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 5 Tiere mit 18 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Huhn und 4 Kaninchen: 1 · 2 + 4 · 4 = 18
Ergebnis:
4 Kaninchen
★15
Im Hof der Kita zählt Milan 10 Fahrzeuge und 25 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
2. Das passt genau.
3. 5 Fahrräder und 5 Dreiräder: 5 · 2 + 5 · 3 = 25
Ergebnis:
5 Fahrräder, 5 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 14,70 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?

Schritt für Schritt

6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
Packung: 14,70 €
Die Packung ist günstiger.

6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
Packung: 14,70 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Tennisball kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 2,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
So fängst du an:
4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
2. Packung: 2,60 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 20 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 160 € für alle zusammen, der Eintritt 3 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 160 € : 20 = 8 €
8 € + 3 € = 11 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 160 € : 20 = 8 €
8 € + 3 € = 11 €

Ergebnis:

11 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 307 €. Der Förderverein gibt 65 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 4 € für jedes der 27 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 307 € + 65 € = 372 €; Kosten: 27 · 4 € = 108 €
3. 372 € − 108 € = 264 €
Ergebnis:
264 €
●20
In der Klassenkasse sind 259 €. Der Förderverein gibt 78 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 5 € für jedes der 27 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 259 € + 78 € = 337 €; Kosten: 27 · 5 € = 135 €
3. 337 € − 135 € = 202 €
Ergebnis:
202 €
★21
Die 5c mit 27 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 243 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 243 € : 27 = 9 €
3. 9 € + 7 € = 16 €
Ergebnis:
16 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 15 + 8? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 15 € und je eine Pumpe für 8 €.“
(B) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 15 €. Dazu kommt eine Pumpe für 8 € für alle.“

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist B.
5 · 15 + 8 = 83

Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist B.
5 · 15 + 8 = 83

Ergebnis:

B, 83 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · (6 + 2)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 6 € und je ein Getränk für 2 €.“
(B) „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 6 €. Dazu kommt ein Getränk für 2 € für alle.“
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
2. Passend ist A.
3. 3 · (6 + 2) = 24
Ergebnis:
A, 24 €
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · (7 + 7)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „7 Kinder kaufen je ein Ticket für 7 € und je ein Getränk für 7 €.“
(B) „7 Kinder kaufen je ein Ticket für 7 €. Dazu kommt ein Getränk für 7 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
2. Passend ist A.
3. 7 · (7 + 7) = 98
Ergebnis:
A, 98 €
★24
Erfinde zu 3 · (17 + 7) eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
2. „3 Kinder kaufen je einen Ball für 17 € und je eine Pumpe für 7 €.“
3. 3 · (17 + 7) = 72
Ergebnis:
72 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
27 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 13 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 27 Kinder und 7 €.
2. 27 · 7 € = 189 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
189 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
Auf einem Schiff sind 12 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:28 Uhr. Welchen Bus M29 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:28 Uhr: 7:11, 7:21 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:21 Uhr an.
3. Er fährt um 6:59 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 6:59 Uhr
●28
Noah sagt: „Ein Zaun von 12 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 4 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 12 : 3 = 4 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.
Ergebnis:
Nein, 5 Pfähle
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Ben an 14. Stelle von vorn und an 12. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 13 Kinder, dann Ben, dahinter 11 Kinder.
2. 13 + 1 + 11 = 25
Ergebnis:
25 Kinder
●30
Ben kauft ein Buch für 13 €. Danach bekommt Ben 11 € geschenkt und hat jetzt 15 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 15 € − 11 € = 4 €
2. Dann den Kauf: 4 € + 13 € = 17 €
Ergebnis:
17 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
27 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 10 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Tom ist um 6:53 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus X34?
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Ergebnis:
4 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ein Zaun ist 25 m lang. Alle 5 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
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Ergebnis:
6 Zaunpfähle
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Noah braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 24 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
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Ergebnis:
15:37 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa zählt Lina 7 Tische und 30 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Vierertische, 1 Sechsertisch
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 312 €. Der Förderverein gibt 44 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 8 € für jedes der 21 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
Ergebnis:
188 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · (6 + 2)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „4 Kinder kaufen je einen Ball für 6 € und je eine Pumpe für 2 €.“
(B) „4 Kinder kaufen je einen Ball für 6 €. Dazu kommt eine Pumpe für 2 € für alle.“
Lösung zeigen
Ergebnis:
A, 32 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

234 €, die Filmdauer brauche ich nicht
75 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
228 Karten, 684 €
3 Minuten
7 Minuten
los um 6:51 Uhr, an um 7:26 Uhr
60 m
Nein, 13 Pfähle
14 Zaunpfähle
16:32 Uhr
15:29 Uhr
29 €
3 Fahrräder, 5 Dreiräder
4 Kaninchen
5 Fahrräder, 5 Dreiräder
die Packung
0,67 €
1,67 €
264 €
202 €
16 €
A, 24 €
A, 98 €
72 €
189 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
nicht lösbar
den um 6:59 Uhr
Nein, 5 Pfähle
25 Kinder
17 €
Der Preis für Erwachsene fehlt
4 Minuten
6 Zaunpfähle
15:37 Uhr
6 Vierertische, 1 Sechsertisch
0,67 €
188 €
A, 32 €
11:30 Uhr
6.000 m