Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 7:30 + 1:30 = 9:00 Uhr
Ergebnis:
9:00 Uhr
●40
Rechne um: 5 m in dm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 10 dm
2. 5 · 10 = 50 dm
Ergebnis:
50 dm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

30 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 8 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 30 Kinder und 6 €.
30 · 6 € = 180 €
Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.

Gebraucht: 30 Kinder und 6 €.
30 · 6 € = 180 €
Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.

Ergebnis:

180 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 29 Tore geschossen. Zum Finale kamen 236 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 36 Tore geschossen. Zum Finale kamen 338 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 10 Spiele.
2. 15 − 10 = 5
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
5 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 31 Tore geschossen. Zum Finale kamen 411 Zuschauer. Wie viele Karten zu 3 € wurden für das Finale verkauft, wenn alle Zuschauer eine Karte hatten? Wie viel Geld kam zusammen?
Lösung zeigen
1. Karten: 411, so viele wie Zuschauer.
2. 411 · 3 € = 1.233 €
3. Nicht gebraucht: Spiele und Tore.
Ergebnis:
411 Karten, 1.233 €

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:44 Uhr, an 7:08 Uhr.
Von 6:44 bis 7:08 Uhr sind es 24 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:44 Uhr, an 7:08 Uhr.
Von 6:44 bis 7:08 Uhr sind es 24 Minuten.

Ergebnis:

24 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 8:14 Uhr. Welchen Bus X34 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 8:14 Uhr: 7:12, 7:32, 7:52, 8:12 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:14 Uhr: 7:12, 7:32, 7:52, 8:12 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:12 Uhr an.
3. Er fährt um 7:49 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:49 Uhr
●5
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:55 Uhr, an 7:17 Uhr.
2. Von 6:55 bis 7:17 Uhr sind es 22 Minuten.
Ergebnis:
22 Minuten
★6
Mia braucht 4 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus M29 um 7:16 Uhr nehmen. Wann muss Mia spätestens los, und wann ist Mia an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 4 Minuten vor 7:16 Uhr, also 7:12 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:32 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:12 Uhr, an um 7:32 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 6 Laternen im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?

Schritt für Schritt

6 Laternen haben 5 Abstände dazwischen.
5 · 4 m = 20 m

6 Laternen haben 5 Abstände dazwischen.
5 · 4 m = 20 m

Ergebnis:

20 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Entlang eines Weges stehen 10 Zaunpfähle im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
So fängst du an:
10 Zaunpfähle haben 9 Abstände dazwischen.
Lösung zeigen
1. 10 Zaunpfähle haben 9 Abstände dazwischen.
2. 9 · 2 m = 18 m
Ergebnis:
18 m
●8
Mia sagt: „Ein Zaun von 66 m mit einem Pfahl alle 6 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 66 : 6 = 11 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.
Ergebnis:
Nein, 12 Pfähle
★9
Um ein Beet mit 20 m Umfang werden rundherum alle 5 m Pfähle gesetzt. Wie viele Pfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Rundherum gibt es keinen Anfang und kein Ende.
2. Pfähle und Abstände sind gleich viele: 20 : 5 = 4
Ergebnis:
4 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Milan braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 16:04 Uhr.
Noch 19 Minuten früher: 15:45 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 16:04 Uhr.
Noch 19 Minuten früher: 15:45 Uhr.

Ergebnis:

15:45 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Tom kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Tom 12 € geschenkt und hat jetzt 29 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 29 € − 12 € = 17 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 29 € − 12 € = 17 €
2. Dann den Kauf: 17 € + 18 € = 35 €
Ergebnis:
35 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Hanna braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Hanna spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 16:10 Uhr.
2. Noch 21 Minuten früher: 15:49 Uhr.
Ergebnis:
15:49 Uhr
★12
Lea kauft ein Buch für 5 €. Danach bekommt Lea 9 € geschenkt und hat jetzt 18 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 18 € − 9 € = 9 €
2. Dann den Kauf: 9 € + 5 € = 14 €
Ergebnis:
14 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 7 Tiere mit 20 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Das passt genau.
4 Hühner und 3 Kaninchen: 4 · 2 + 3 · 4 = 20

Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Das passt genau.
4 Hühner und 3 Kaninchen: 4 · 2 + 3 · 4 = 20

Ergebnis:

3 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof zählt Lina 7 Tiere und 20 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
2. Das passt genau.
3. 4 Hühner und 3 Kaninchen: 4 · 2 + 3 · 4 = 20
Ergebnis:
4 Hühner, 3 Kaninchen
●14
Im Hof der Kita zählt Tom 7 Fahrzeuge und 15 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 6 Fahrräder und 1 Dreirad: 6 · 2 + 1 · 3 = 15
Ergebnis:
6 Fahrräder, 1 Dreirad
★15
Auf einem Hof zählt Zeynep 10 Tiere und 22 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 9 Hühner und 1 Kaninchen: 9 · 2 + 1 · 4 = 22
Ergebnis:
9 Hühner, 1 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Tennisball kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 6,90 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,80 € = 7,20 €
Packung: 6,90 €
Die Packung ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,80 € = 7,20 €
Packung: 6,90 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
●17
Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 15,30 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
2. Packung: 15,30 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Ein Tennisball kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 18,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
2. Packung: 18,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 365 €. Der Förderverein gibt 89 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 8 € für jedes der 27 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?

Schritt für Schritt

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 365 € + 89 € = 454 €; Kosten: 27 · 8 € = 216 €
454 € − 216 € = 238 €

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 365 € + 89 € = 454 €; Kosten: 27 · 8 € = 216 €
454 € − 216 € = 238 €

Ergebnis:

238 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 258 €. Der Förderverein gibt 100 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 4 € für jedes der 28 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 258 € + 100 € = 358 €; Kosten: 28 · 4 € = 112 €
3. 358 € − 112 € = 246 €
Ergebnis:
246 €
●20
In der Klassenkasse sind 388 €. Der Förderverein gibt 117 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 6 € für jedes der 25 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 388 € + 117 € = 505 €; Kosten: 25 · 6 € = 150 €
3. 505 € − 150 € = 355 €
Ergebnis:
355 €
★21
Die 5c mit 23 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 115 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 115 € : 23 = 5 €
3. 5 € + 7 € = 12 €
Ergebnis:
12 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · (15 + 4)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „7 Kinder kaufen je einen Ball für 15 € und je eine Pumpe für 4 €.“
(B) „7 Kinder kaufen je einen Ball für 15 €. Dazu kommt eine Pumpe für 4 € für alle.“

Schritt für Schritt

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
Passend ist A.
7 · (15 + 4) = 133

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
Passend ist A.
7 · (15 + 4) = 133

Ergebnis:

A, 133 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · 6 + 4? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 6 €. Dazu kommt eine Pumpe für 4 € für alle.“
(B) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 6 € und je eine Pumpe für 4 €.“
So fängst du an:
Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist A.
3. 8 · 6 + 4 = 52
Ergebnis:
A, 52 €
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 11 + 6? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 11 €. Dazu kommt eine Mappe für 6 € für alle.“
(B) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 11 € und je eine Mappe für 6 €.“
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist A.
3. 5 · 11 + 6 = 61
Ergebnis:
A, 61 €
★24
Erfinde zu 4 · 8 + 3 eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. „4 Kinder kaufen je ein Heft für 8 €. Dazu kommt eine Mappe für 3 € für alle.“
3. 4 · 8 + 3 = 35
Ergebnis:
35 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 27 Tore geschossen. Zum Finale kamen 266 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 11 Spiele.
2. 15 − 11 = 4
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 8 Böden mit je 22 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viel kostet ein Buch? B: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? C: Wie viele Bücher stehen im Regal?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 8 · 22 = 176.
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C, 176 Bücher
●27
Elias ist um 6:45 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Elias auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
2. Von 6:45 bis 7:02 Uhr sind es 17 Minuten.
Ergebnis:
17 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 13 Zaunpfähle im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 13 Zaunpfähle haben 12 Abstände dazwischen.
2. 12 · 2 m = 24 m
Ergebnis:
24 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Hanna an 8. Stelle von vorn und an 11. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 7 Kinder, dann Hanna, dahinter 10 Kinder.
2. 7 + 1 + 10 = 18
Ergebnis:
18 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Mia braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 26 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:46 Uhr.
2. Noch 26 Minuten früher: 16:20 Uhr.
Ergebnis:
16:20 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 19 Tore geschossen. Zum Finale kamen 344 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Hanna ist um 6:58 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Sofia sagt: „Ein Zaun von 40 m mit einem Pfahl alle 5 m braucht 8 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, 9 Pfähle
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Tom braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 30 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16:16 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof zählt Emma 7 Tiere und 20 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Hühner, 3 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 9,40 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 411 €. Der Förderverein gibt 52 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 7 € für jedes der 25 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
Ergebnis:
288 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · 9 + 2? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „3 Kinder kaufen je einen Ball für 9 € und je eine Pumpe für 2 €.“
(B) „3 Kinder kaufen je einen Ball für 9 €. Dazu kommt eine Pumpe für 2 € für alle.“
Lösung zeigen
Ergebnis:
B, 29 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Die Tore im Finale fehlen
5 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
411 Karten, 1.233 €
den um 7:49 Uhr
22 Minuten
los um 7:12 Uhr, an um 7:32 Uhr
18 m
Nein, 12 Pfähle
4 Pfähle
35 €
15:49 Uhr
14 €
4 Hühner, 3 Kaninchen
6 Fahrräder, 1 Dreirad
9 Hühner, 1 Kaninchen
1,67 €
einzeln
einzeln
246 €
355 €
12 €
A, 52 €
A, 61 €
35 €
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
C, 176 Bücher
17 Minuten
24 m
18 Kinder
16:20 Uhr
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
2 Minuten
Nein, 9 Pfähle
16:16 Uhr
4 Hühner, 3 Kaninchen
die Packung
288 €
B, 29 €
9:00 Uhr
50 dm