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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 8:00 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0 h 45 min
    2. 8:00 + 0:45 = 8:45 Uhr
    Ergebnis:
    8:45 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 15 h in min.
    Lösung zeigen
    1. 1 h = 60 min
    2. 15 · 60 = 900 min
    Ergebnis:
    900 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
22 Kindern5 €95 Minuten
Schritt für Schritt
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 17 Tore geschossen. Zum Finale kamen 170 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    8 Spiele17 Tore170 Zuschauer15 Spielen
    So fängst du an:
    Gebraucht: 8 Spiele.
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 8 Spiele.
    2. 15 − 8 = 7
    3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
    Ergebnis:
    7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  2. ●2
    Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    23 Kindern7 €95 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
    3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt
  3. ★3
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 22 Tore geschossen. Zum Finale kamen 272 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    9 Spiele22 Tore272 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 9 Spiele.
    2. 15 − 9 = 6
    3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
    Ergebnis:
    6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Noah ist um 6:41 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus 248?
Bus 248Hauptstraße abSchule an6:397:076:497:176:597:277:097:37
Schritt für Schritt
  1. Der nächste fährt um 6:49 Uhr.
  2. Von 6:41 bis 6:49 Uhr sind es 8 Minuten.
  1. Der nächste fährt um 6:49 Uhr.
  2. Von 6:41 bis 6:49 Uhr sind es 8 Minuten.
Ergebnis:
8 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:417:076:567:227:117:377:267:52
    So fängst du an:
    Zum Beispiel: ab 6:41 Uhr, an 7:07 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:41 Uhr, an 7:07 Uhr.
    2. Von 6:41 bis 7:07 Uhr sind es 26 Minuten.
    Ergebnis:
    26 Minuten
  2. ●5
    Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:487:137:037:287:187:437:337:58
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:13 Uhr.
    2. Von 6:48 bis 7:13 Uhr sind es 25 Minuten.
    Ergebnis:
    25 Minuten
  3. ★6
    Paul braucht 4 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus 100 um 7:20 Uhr nehmen. Wann muss Paul spätestens los, und wann ist Paul an der Schule?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:507:177:057:327:207:477:358:02
    Lösung zeigen
    1. Los: 4 Minuten vor 7:20 Uhr, also 7:16 Uhr.
    2. Ankunft laut Fahrplan: 7:47 Uhr.
    Ergebnis:
    los um 7:16 Uhr, an um 7:47 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Tom sagt: „Ein Zaun von 50 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
10 m10 m10 m…?
Schritt für Schritt
  1. 50 : 10 = 5 ist die Zahl der Abstände.
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.
  1. 50 : 10 = 5 ist die Zahl der Abstände.
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.
Ergebnis:
Nein, 6 Pfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Entlang eines Weges stehen 6 Bäume im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    2 m2 m2 m…?
    So fängst du an:
    6 Bäume haben 5 Abstände dazwischen.
    Lösung zeigen
    1. 6 Bäume haben 5 Abstände dazwischen.
    2. 5 · 2 m = 10 m
    Ergebnis:
    10 m
  2. ●8
    Hanna sagt: „Ein Zaun von 14 m mit einem Pfahl alle 2 m braucht 7 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    1. 14 : 2 = 7 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 8.
    Ergebnis:
    Nein, 8 Pfähle
  3. ★9
    Can sagt: „Ein Zaun von 64 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 16 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    1. 64 : 4 = 16 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 17.
    Ergebnis:
    Nein, 17 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Emma kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Emma 11 € geschenkt und hat jetzt 26 €. Wie viel Geld hatte Emma am Anfang?
?− 16 €+ 11 €26 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 11 € = 15 €
  2. Dann den Kauf: 15 € + 16 € = 31 €
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 11 € = 15 €
  2. Dann den Kauf: 15 € + 16 € = 31 €
Ergebnis:
31 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Aylin kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Aylin 6 € geschenkt und hat jetzt 27 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
    ?− 6 €+ 6 €27 €
    So fängst du an:
    Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 6 € = 21 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 6 € = 21 €
    2. Dann den Kauf: 21 € + 6 € = 27 €
    Ergebnis:
    27 €
  2. ●11
    Zeynep kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Zeynep 12 € geschenkt und hat jetzt 36 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
    ?− 8 €+ 12 €36 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 36 € − 12 € = 24 €
    2. Dann den Kauf: 24 € + 8 € = 32 €
    Ergebnis:
    32 €
  3. ★12
    Aylin verschenkt 6 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Aylin noch 9 Karten dazu. Jetzt sind es 35. Wie viele Karten waren es am Anfang?
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: 35 − 9 = 26
    2. Verdoppeln rückgängig: 26 : 2 = 13
    3. Verschenken rückgängig: 13 + 6 = 19
    Ergebnis:
    19 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 7 Tische mit 40 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
  2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 1 Vierertisch und 6 Sechsertische: 1 · 4 + 6 · 6 = 40
  1. Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
  2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 1 Vierertisch und 6 Sechsertische: 1 · 4 + 6 · 6 = 40
Ergebnis:
6 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 7 Tische mit 30 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    So fängst du an:
    Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
    2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 6 Vierertische und 1 Sechsertisch: 6 · 4 + 1 · 6 = 30
    Ergebnis:
    1 Sechsertisch
  2. ●14
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 44 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
    2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 8 Vierertische und 2 Sechsertische: 8 · 4 + 2 · 6 = 44
    Ergebnis:
    2 Sechsertische
  3. ★15
    In der Mensa zählt Elias 14 Tische und 70 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Vierertische0123…Plätze????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 7 Vierertische und 7 Sechsertische ergeben 70 Plätze.
    2. Das passt genau.
    3. 7 Vierertische und 7 Sechsertische: 7 · 4 + 7 · 6 = 70
    Ergebnis:
    7 Vierertische, 7 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,50 €
Schritt für Schritt
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
  2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
  2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Saftflasche kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 11,10 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
    So fängst du an:
    6 einzeln: 6 · 1,80 € = 10,80 €
    Lösung zeigen
    1. 6 einzeln: 6 · 1,80 € = 10,80 €
    2. Packung: 11,10 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln
  2. ●17
    Ein Tennisball kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 15,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
    einzeln1 Tennisball1,50 €Packung10 Bällen15,60 €
    Lösung zeigen
    1. 10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
    2. Packung: 15,60 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln
  3. ★18
    Eine Fahrt kostet 3,50 €. Eine Monatskarte kostet 50,00 €. Sofia fährt im Monat 17-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
    Einzelfahrt1 Fahrt3,50 €Monatskartebeliebig oft50,00 €
    Lösung zeigen
    1. Einzeln: 17 · 3,50 € = 59,50 €
    2. Monatskarte: 50,00 €
    3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
    Ergebnis:
    Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 477 €. Der Förderverein gibt 115 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 6 € für jedes der 26 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
477 €115 €6 €26 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 477 € + 115 € = 592 €; Kosten: 26 · 6 € = 156 €
  3. 592 € − 156 € = 436 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 477 € + 115 € = 592 €; Kosten: 26 · 6 € = 156 €
  3. 592 € − 156 € = 436 €
Ergebnis:
436 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Die 5c mit 20 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 180 € für alle zusammen, der Eintritt 3 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    20 Kindern180 €3 €
    So fängst du an:
    Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 180 € : 20 = 9 €
    3. 9 € + 3 € = 12 €
    Ergebnis:
    12 €
  2. ●20
    In der Klassenkasse sind 470 €. Der Förderverein gibt 42 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 9 € für jedes der 24 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    470 €42 €9 €24 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 470 € + 42 € = 512 €; Kosten: 24 · 9 € = 216 €
    3. 512 € − 216 € = 296 €
    Ergebnis:
    296 €
  3. ★21
    In der Klassenkasse sind 263 €. Der Förderverein gibt 42 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 7 € für jedes der 26 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    263 €42 €7 €26 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 263 € + 42 € = 305 €; Kosten: 26 · 7 € = 182 €
    3. 305 € − 182 € = 123 €
    Ergebnis:
    123 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je einen Ball für 6 € und je eine Pumpe für 2 €.“
(A) 5 · (6 + 2)
(B) 5 · 6 + 2
(C) 5 + 6 · 2
Schritt für Schritt
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
  2. Passend: 5 · (6 + 2) = 40
  3. Richtig ist A.
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
  2. Passend: 5 · (6 + 2) = 40
  3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A: 5 · (6 + 2)

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · 11 + 6? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 11 € und je eine Pumpe für 6 €.“
    (B) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 11 €. Dazu kommt eine Pumpe für 6 € für alle.“
    So fängst du an:
    Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist B.
    3. 8 · 11 + 6 = 94
    Ergebnis:
    B, 94 €
  2. ●23
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 9 € und je ein Getränk für 3 €.“
    (A) 4 + 9 · 3
    (B) 4 · (9 + 3)
    (C) 4 · 9 + 3
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
    2. Passend: 4 · (9 + 3) = 48
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B: 4 · (9 + 3)
  3. ★24
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „9 Kinder kaufen je ein Ticket für 18 € und je ein Getränk für 3 €.“
    (A) 9 + 18 · 3
    (B) 9 · 18 + 3
    (C) 9 · (18 + 3)
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 9.
    2. Passend: 9 · (18 + 3) = 189
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C: 9 · (18 + 3)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 36 Tore geschossen. Zum Finale kamen 357 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    12 Spiele36 Tore357 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  2. ●26
    Ein Regal hat 5 Böden. Auf jedem stehen 16 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
    5 Böden16 Bücher
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben: 5 Böden, 16 Bücher je Boden.
    2. Über die Seiten steht nichts im Text.
    3. Die Frage kann man nicht beantworten.
    Ergebnis:
    nicht lösbar
  3. ●27
    Der Unterricht beginnt um 7:24 Uhr. Welchen Bus M29 muss Ben spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:487:077:037:227:187:377:337:52
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:24 Uhr: 7:07, 7:22 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:22 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:03 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:03 Uhr
  4. ●28
    Entlang eines Weges stehen 8 Bäume im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    1. 8 Bäume haben 7 Abstände dazwischen.
    2. 7 · 4 m = 28 m
    Ergebnis:
    28 m
  5. ●29
    Im Kino sitzt Emma auf Platz 9 von links. Zwischen Emma und Paul sitzen 1 Kinder, Paul sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Paul?
    91 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Skizze: Platz 9 ist Emma, dann 1 Plätze dazwischen.
    2. 9 + 1 + 1 = 11
    Ergebnis:
    Platz 11
  6. ●30
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Lina braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 16:45 Uhr.
    2. Noch 15 Minuten früher: 16:30 Uhr.
    Ergebnis:
    16:30 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 28 Tore geschossen. Zum Finale kamen 441 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    9 Spiele28 Tore441 Zuschauer
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Der Unterricht beginnt um 7:36 Uhr. Welchen Bus X34 muss Mia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:406:586:507:087:007:187:107:28
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    den um 7:10 Uhr

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Ein Zaun ist 35 m lang. Alle 5 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    5 m5 m5 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Zaunpfähle

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Tom kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Tom 9 € geschenkt und hat jetzt 19 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?
    ?− 6 €+ 9 €19 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 €

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 9 Tiere mit 30 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Kaninchen

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,00 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,33 €

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    Die 5c mit 26 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 156 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    26 Kindern156 €6 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · (14 + 5)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „8 Kinder kaufen je ein Ticket für 14 €. Dazu kommt ein Getränk für 5 € für alle.“
    (B) „8 Kinder kaufen je ein Ticket für 14 € und je ein Getränk für 5 €.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B, 152 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. 7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  2. Der Beginn des Films fehlt
  3. 6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  4. 26 Minuten
  5. 25 Minuten
  6. los um 7:16 Uhr, an um 7:47 Uhr
  7. 10 m
  8. Nein, 8 Pfähle
  9. Nein, 17 Pfähle
  10. 27 €
  11. 32 €
  12. 19 Karten
  13. 1 Sechsertisch
  14. 2 Sechsertische
  15. 7 Vierertische, 7 Sechsertische
  16. einzeln
  17. einzeln
  18. Ja
  19. 12 €
  20. 296 €
  21. 123 €
  22. B, 94 €
  23. B: 4 · (9 + 3)
  24. C: 9 · (18 + 3)
  25. Die Tore im Finale fehlen
  26. nicht lösbar
  27. den um 7:03 Uhr
  28. 28 m
  29. Platz 11
  30. 16:30 Uhr
  31. Die Tore im Finale fehlen
  32. den um 7:10 Uhr
  33. 8 Zaunpfähle
  34. 16 €
  35. 6 Kaninchen
  36. 1,33 €
  37. 12 €
  38. B, 152 €
  39. 8:45 Uhr
  40. 900 min