Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:15 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 10:15 + 0:45 = 11:00 Uhr
Ergebnis:
11:00 Uhr
●40
Rechne um: 4 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 4 · 100 = 400 cm
Ergebnis:
400 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

30 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 2.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 2.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 386 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 9 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 9 Spiele.
2. 15 − 9 = 6
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 20 Tore geschossen. Zum Finale kamen 308 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 6 Spiele.
2. 15 − 6 = 9
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 29 Tore geschossen. Zum Finale kamen 137 Zuschauer. Wie viele Karten zu 3 € wurden für das Finale verkauft, wenn alle Zuschauer eine Karte hatten? Wie viel Geld kam zusammen?
Lösung zeigen
1. Karten: 137, so viele wie Zuschauer.
2. 137 · 3 € = 411 €
3. Nicht gebraucht: Spiele und Tore.
Ergebnis:
137 Karten, 411 €

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:19 Uhr. Welchen Bus M29 muss Hanna spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:19 Uhr: 6:57, 7:12 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:12 Uhr an.
Er fährt um 6:59 Uhr ab.

Ankunft vor 7:19 Uhr: 6:57, 7:12 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:12 Uhr an.
Er fährt um 6:59 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 6:59 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Lina ist um 6:46 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lina auf den nächsten Bus 248?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 6:55 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:55 Uhr.
2. Von 6:46 bis 6:55 Uhr sind es 9 Minuten.
Ergebnis:
9 Minuten
●5
Noah ist um 6:56 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
2. Von 6:56 bis 7:02 Uhr sind es 6 Minuten.
Ergebnis:
6 Minuten
★6
Milan ist um 6:46 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Milan auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:50 Uhr.
2. Von 6:46 bis 6:50 Uhr sind es 4 Minuten.
Ergebnis:
4 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Emma sagt: „Ein Zaun von 50 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?

Schritt für Schritt

50 : 10 = 5 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.

50 : 10 = 5 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.

Ergebnis:

Nein, 6 Pfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Entlang eines Weges stehen 10 Bäume im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
So fängst du an:
10 Bäume haben 9 Abstände dazwischen.
Lösung zeigen
1. 10 Bäume haben 9 Abstände dazwischen.
2. 9 · 5 m = 45 m
Ergebnis:
45 m
●8
Eine Allee ist 25 m lang. Alle 5 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 25 : 5 = 5
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 5 + 1 = 6
Ergebnis:
6 Bäume
★9
Ein Weg ist 51 m lang. Alle 3 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 51 : 3 = 17
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 17 + 1 = 18
Ergebnis:
18 Laternen

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Lina braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:55 Uhr.
Noch 31 Minuten früher: 15:24 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:55 Uhr.
Noch 31 Minuten früher: 15:24 Uhr.

Ergebnis:

15:24 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Zeynep kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Zeynep 6 € geschenkt und hat jetzt 17 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 6 € = 11 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 6 € = 11 €
2. Dann den Kauf: 11 € + 6 € = 17 €
Ergebnis:
17 €
●11
Milan kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Milan 3 € geschenkt und hat jetzt 14 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 14 € − 3 € = 11 €
2. Dann den Kauf: 11 € + 17 € = 28 €
Ergebnis:
28 €
★12
Lea verschenkt 6 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Lea noch 6 Karten dazu. Jetzt sind es 36. Wie viele Karten waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: 36 − 6 = 30
2. Verdoppeln rückgängig: 30 : 2 = 15
3. Verschenken rückgängig: 15 + 6 = 21
Ergebnis:
21 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 10 Fahrzeuge mit 27 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3 Fahrräder und 7 Dreiräder: 3 · 2 + 7 · 3 = 27

Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3 Fahrräder und 7 Dreiräder: 3 · 2 + 7 · 3 = 27

Ergebnis:

7 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere mit 30 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Huhn und 7 Kaninchen: 1 · 2 + 7 · 4 = 30
Ergebnis:
7 Kaninchen
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 6 Tiere mit 18 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
2. Das passt genau.
3. 3 Hühner und 3 Kaninchen: 3 · 2 + 3 · 4 = 18
Ergebnis:
3 Kaninchen
★15
Im Hof der Kita zählt Noah 10 Fahrzeuge und 23 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 7 Fahrräder und 3 Dreiräder: 7 · 2 + 3 · 3 = 23
Ergebnis:
7 Fahrräder, 3 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 11,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
2. Packung: 11,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Ein Bleistift kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 8,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
2. Packung: 8,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 3,50 €. Eine Monatskarte kostet 50,00 €. Sofia fährt im Monat 21-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 21 · 3,50 € = 73,50 €
2. Monatskarte: 50,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 25 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 100 € für alle zusammen, der Eintritt 8 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 100 € : 25 = 4 €
4 € + 8 € = 12 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 100 € : 25 = 4 €
4 € + 8 € = 12 €

Ergebnis:

12 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
Die 5c mit 27 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 108 € für alle zusammen, der Eintritt 9 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 108 € : 27 = 4 €
3. 4 € + 9 € = 13 €
Ergebnis:
13 €
●20
Die 5c mit 29 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 116 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 116 € : 29 = 4 €
3. 4 € + 4 € = 8 €
Ergebnis:
8 €
★21
Die 5c mit 25 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 100 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 100 € : 25 = 4 €
3. 4 € + 4 € = 8 €
Ergebnis:
8 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je ein Heft für 6 € und je eine Mappe für 2 €.“
(A) 4 · (6 + 2)
(B) 4 + 6 · 2
(C) 4 · 6 + 2

Schritt für Schritt

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
Passend: 4 · (6 + 2) = 32
Richtig ist A.

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
Passend: 4 · (6 + 2) = 32
Richtig ist A.

Ergebnis:

A: 4 · (6 + 2)

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je ein Heft für 8 € und je eine Mappe für 7 €.“
(A) 6 · (8 + 7)
(B) 6 + 8 · 7
(C) 6 · 8 + 7
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
2. Passend: 6 · (8 + 7) = 90
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A: 6 · (8 + 7)
●23
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je einen Ball für 9 € und je eine Pumpe für 6 €.“
(A) 5 · (9 + 6)
(B) 5 + 9 · 6
(C) 5 · 9 + 6
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
2. Passend: 5 · (9 + 6) = 75
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A: 5 · (9 + 6)
★24
Erfinde zu 6 · 24 + 3 eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. „6 Kinder kaufen je ein Ticket für 24 €. Dazu kommt ein Getränk für 3 € für alle.“
3. 6 · 24 + 3 = 147
Ergebnis:
147 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 18 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 28 Kinder und 3 €.
2. 28 · 3 € = 84 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
84 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 6 Böden. Auf jedem stehen 10 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 6 Böden, 10 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 8:22 Uhr. Welchen Bus 248 muss Tom spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:22 Uhr: 7:12, 7:32, 7:52, 8:12 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:12 Uhr an.
3. Er fährt um 7:48 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:48 Uhr
●28
Entlang eines Weges stehen 7 Laternen im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 7 Laternen haben 6 Abstände dazwischen.
2. 6 · 2 m = 12 m
Ergebnis:
12 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Mia an 8. Stelle von vorn und an 13. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 7 Kinder, dann Mia, dahinter 12 Kinder.
2. 7 + 1 + 12 = 20
Ergebnis:
20 Kinder
●30
Mia kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Mia 12 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Mia am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 12 € = 13 €
2. Dann den Kauf: 13 € + 7 € = 20 €
Ergebnis:
20 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
27 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
108 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Jonas ist um 6:49 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Jonas auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
Ergebnis:
19 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ein Weg ist 70 m lang. Alle 10 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 Laternen
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Sofia braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16:26 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 5 Fahrzeuge mit 13 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 6,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 396 €. Der Förderverein gibt 48 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 4 € für jedes der 28 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
Ergebnis:
332 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je einen Ball für 14 €. Dazu kommt eine Pumpe für 2 € für alle.“
(A) 5 · 14 + 2
(B) 5 + 14 · 2
(C) 5 · (14 + 2)
Lösung zeigen
Ergebnis:
A: 5 · 14 + 2

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
137 Karten, 411 €
9 Minuten
6 Minuten
4 Minuten
45 m
6 Bäume
18 Laternen
17 €
28 €
21 Karten
7 Kaninchen
3 Kaninchen
7 Fahrräder, 3 Dreiräder
die Packung
die Packung
Ja
13 €
8 €
8 €
A: 6 · (8 + 7)
A: 5 · (9 + 6)
147 €
84 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
nicht lösbar
den um 7:48 Uhr
12 m
20 Kinder
20 €
108 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
19 Minuten
8 Laternen
16:26 Uhr
3 Dreiräder
einzeln
332 €
A: 5 · 14 + 2
11:00 Uhr
400 cm