Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 9:45 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 9:45 + 1:30 = 11:15 Uhr
Ergebnis:
11:15 Uhr
●40
Rechne um: 12 € in ct.
Lösung zeigen
1. 1 € = 100 ct
2. 12 · 100 = 1.200 ct
Ergebnis:
1.200 ct

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 27 Tore geschossen. Zum Finale kamen 381 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 10 Spiele.
15 − 10 = 5
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 10 Spiele.
15 − 10 = 5
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

5 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 23 Kinder und 7 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 23 Kinder und 7 € je Karte.
2. 23 · 7 € = 161 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
161 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 27 Tore geschossen. Zum Finale kamen 266 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 95 Minuten. Der Film beginnt um 8:15 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
Lösung zeigen
1. 95 Minuten sind 1 Stunde und 35 Minuten.
2. 8:15 Uhr plus 95 Minuten: 9:50 Uhr
3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
Ergebnis:
9:50 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 8:32 Uhr. Welchen Bus 100 muss Can spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 8:32 Uhr: 7:15, 7:35, 7:55, 8:15 Uhr.
Der letzte davon kommt um 8:15 Uhr an.
Er fährt um 7:52 Uhr ab.

Ankunft vor 8:32 Uhr: 7:15, 7:35, 7:55, 8:15 Uhr.
Der letzte davon kommt um 8:15 Uhr an.
Er fährt um 7:52 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:52 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:45 Uhr, an 6:58 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:45 Uhr, an 6:58 Uhr.
2. Von 6:45 bis 6:58 Uhr sind es 13 Minuten.
Ergebnis:
13 Minuten
●5
Paul ist um 7:01 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Paul auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:05 Uhr.
2. Von 7:01 bis 7:05 Uhr sind es 4 Minuten.
Ergebnis:
4 Minuten
★6
Jonas braucht 6 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus M29 um 7:04 Uhr nehmen. Wann muss Jonas spätestens los, und wann ist Jonas an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 6 Minuten vor 7:04 Uhr, also 6:58 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:29 Uhr.
Ergebnis:
los um 6:58 Uhr, an um 7:29 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 13 Bäume im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?

Schritt für Schritt

13 Bäume haben 12 Abstände dazwischen.
12 · 2 m = 24 m

13 Bäume haben 12 Abstände dazwischen.
12 · 2 m = 24 m

Ergebnis:

24 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Aylin sagt: „Ein Zaun von 12 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 4 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
So fängst du an:
12 : 3 = 4 ist die Zahl der Abstände.
Lösung zeigen
1. 12 : 3 = 4 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.
Ergebnis:
Nein, 5 Pfähle
●8
Entlang eines Weges stehen 10 Laternen im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 10 Laternen haben 9 Abstände dazwischen.
2. 9 · 5 m = 45 m
Ergebnis:
45 m
★9
Um ein Beet mit 100 m Umfang werden rundherum alle 10 m Pfähle gesetzt. Wie viele Pfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Rundherum gibt es keinen Anfang und kein Ende.
2. Pfähle und Abstände sind gleich viele: 100 : 10 = 10
Ergebnis:
10 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Mia kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Mia 5 € geschenkt und hat jetzt 22 €. Wie viel Geld hatte Mia am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 22 € − 5 € = 17 €
Dann den Kauf: 17 € + 15 € = 32 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 22 € − 5 € = 17 €
Dann den Kauf: 17 € + 15 € = 32 €

Ergebnis:

32 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Paul kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Paul 10 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 24 € − 10 € = 14 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 24 € − 10 € = 14 €
2. Dann den Kauf: 14 € + 9 € = 23 €
Ergebnis:
23 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Tom braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:53 Uhr.
2. Noch 27 Minuten früher: 15:26 Uhr.
Ergebnis:
15:26 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Hanna braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Hanna spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:15 Uhr.
2. Noch 20 Minuten früher: 14:55 Uhr.
Ergebnis:
14:55 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Lina 5 Tische und 26 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
2 Vierertische und 3 Sechsertische: 2 · 4 + 3 · 6 = 26

Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
2 Vierertische und 3 Sechsertische: 2 · 4 + 3 · 6 = 26

Ergebnis:

2 Vierertische, 3 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa zählt Paul 6 Tische und 30 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 3 Vierertische und 3 Sechsertische: 3 · 4 + 3 · 6 = 30
Ergebnis:
3 Vierertische, 3 Sechsertische
●14
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 5 Tische mit 24 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 3 Vierertische und 2 Sechsertische: 3 · 4 + 2 · 6 = 24
Ergebnis:
2 Sechsertische
★15
In der Mensa zählt Can 20 Tische und 100 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 10 Vierertische und 10 Sechsertische ergeben 100 Plätze.
2. Das passt genau.
3. 10 Vierertische und 10 Sechsertische: 10 · 4 + 10 · 6 = 100
Ergebnis:
10 Vierertische, 10 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Müsliriegel kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 10,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
Packung: 10,60 €
Einzeln ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
Packung: 10,60 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
Ergebnis:
0,80 €
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
★18
Eine Fahrt kostet 3,50 €. Eine Monatskarte kostet 50,00 €. Aylin fährt im Monat 29-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 29 · 3,50 € = 101,50 €
2. Monatskarte: 50,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 414 €. Der Förderverein gibt 98 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 3 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?

Schritt für Schritt

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 414 € + 98 € = 512 €; Kosten: 30 · 3 € = 90 €
512 € − 90 € = 422 €

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 414 € + 98 € = 512 €; Kosten: 30 · 3 € = 90 €
512 € − 90 € = 422 €

Ergebnis:

422 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 328 €. Der Förderverein gibt 105 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 3 € für jedes der 20 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 328 € + 105 € = 433 €; Kosten: 20 · 3 € = 60 €
3. 433 € − 60 € = 373 €
Ergebnis:
373 €
●20
Die 5c mit 24 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 216 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 216 € : 24 = 9 €
3. 9 € + 4 € = 13 €
Ergebnis:
13 €
★21
Paul läuft an 5 Tagen in der Woche je 4 Runden auf der 250-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
Lösung zeigen
1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
2. Ein Tag: 4 · 250 m = 1000 m; eine Woche: 5 · 1000 m = 5000 m
3. 4 Wochen: 20.000 m = 20 km
Ergebnis:
20 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 11 €. Dazu kommt ein Getränk für 2 € für alle.“
(A) 5 · (11 + 2)
(B) 5 · 11 + 2
(C) 5 + 11 · 2

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 5 · 11 + 2 = 57
Richtig ist B.

Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 5 · 11 + 2 = 57
Richtig ist B.

Ergebnis:

B: 5 · 11 + 2

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je ein Heft für 13 € und je eine Mappe für 2 €.“
(A) 8 + 13 · 2
(B) 8 · (13 + 2)
(C) 8 · 13 + 2
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
2. Passend: 8 · (13 + 2) = 120
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 8 · (13 + 2)
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · 15 + 3? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „3 Kinder kaufen je einen Ball für 15 € und je eine Pumpe für 3 €.“
(B) „3 Kinder kaufen je einen Ball für 15 €. Dazu kommt eine Pumpe für 3 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist B.
3. 3 · 15 + 3 = 48
Ergebnis:
B, 48 €
★24
Welche Geschichte passt zur Rechnung 9 · (20 + 3)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „9 Kinder kaufen je einen Ball für 20 € und je eine Pumpe für 3 €.“
(B) „9 Kinder kaufen je einen Ball für 20 €. Dazu kommt eine Pumpe für 3 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 9.
2. Passend ist A.
3. 9 · (20 + 3) = 207
Ergebnis:
A, 207 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
24 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 18 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 24 Kinder und 4 €.
2. 24 · 4 € = 96 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
96 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
Auf einem Schiff sind 15 Schafe und 5 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:53 Uhr, an 7:20 Uhr.
2. Von 6:53 bis 7:20 Uhr sind es 27 Minuten.
Ergebnis:
27 Minuten
●28
Eine Allee ist 20 m lang. Alle 2 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 20 : 2 = 10
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 10 + 1 = 11
Ergebnis:
11 Bäume
●29
Im Kino sitzt Milan auf Platz 4 von links. Zwischen Milan und Tom sitzen 2 Kinder, Tom sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Tom?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 4 ist Milan, dann 2 Plätze dazwischen.
2. 4 + 2 + 1 = 7
Ergebnis:
Platz 7
●30
Lea kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Lea 8 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 8 € = 17 €
2. Dann den Kauf: 17 € + 7 € = 24 €
Ergebnis:
24 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Aylin ist um 6:59 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Aylin auf den nächsten Bus M29?
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Ergebnis:
2 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Entlang eines Weges stehen 11 Laternen im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
Ergebnis:
100 m
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
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Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Aylin braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:40 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
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In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 6 Tische mit 28 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
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Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,00 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
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Die 5c mit 29 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 116 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
10 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
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Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · 12 + 8? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „7 Kinder kaufen je ein Heft für 12 €. Dazu kommt eine Mappe für 8 € für alle.“
(B) „7 Kinder kaufen je ein Heft für 12 € und je eine Mappe für 8 €.“
Lösung zeigen
Ergebnis:
A, 92 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

161 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Die Tore im Finale fehlen
9:50 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
13 Minuten
4 Minuten
los um 6:58 Uhr, an um 7:29 Uhr
Nein, 5 Pfähle
45 m
10 Pfähle
23 €
15:26 Uhr
14:55 Uhr
3 Vierertische, 3 Sechsertische
2 Sechsertische
10 Vierertische, 10 Sechsertische
0,80 €
1,00 €
Ja
373 €
13 €
20 km
B: 8 · (13 + 2)
B, 48 €
A, 207 €
96 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
nicht lösbar
27 Minuten
11 Bäume
Platz 7
24 €
Der Beginn des Films fehlt
2 Minuten
100 m
15:40 Uhr
2 Sechsertische
1,00 €
10 €
A, 92 €
11:15 Uhr
1.200 ct