Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:45 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 7:45 + 0:45 = 8:30 Uhr
Ergebnis:
8:30 Uhr
●40
Rechne um: 15 km in m.
Lösung zeigen
1. 1 km = 1.000 m
2. 15 · 1.000 = 15.000 m
Ergebnis:
15.000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

25 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 18 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
24 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 10 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 24 Kinder und 5 €.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 24 Kinder und 5 €.
2. 24 · 5 € = 120 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
120 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●2
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 23 Kinder und 9 € je Karte.
2. 23 · 9 € = 207 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
207 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
22 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
Lösung zeigen
1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 16 km = 32 km.
2. 22 Kinder: 22 · 32 km = 704 km
3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
Ergebnis:
704 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:18 Uhr. Welchen Bus 248 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:18 Uhr: 7:01, 7:11 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:11 Uhr an.
Er fährt um 6:58 Uhr ab.

Ankunft vor 7:18 Uhr: 7:01, 7:11 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:11 Uhr an.
Er fährt um 6:58 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 6:58 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:54 Uhr, an 7:12 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:54 Uhr, an 7:12 Uhr.
2. Von 6:54 bis 7:12 Uhr sind es 18 Minuten.
Ergebnis:
18 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:15 Uhr. Welchen Bus M29 muss Elias spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:15 Uhr: 6:58, 7:08 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:08 Uhr an.
3. Er fährt um 6:52 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 6:52 Uhr
★6
Can braucht 10 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus X34 um 7:08 Uhr nehmen. Wann muss Can spätestens los, und wann ist Can an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 10 Minuten vor 7:08 Uhr, also 6:58 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:30 Uhr.
Ergebnis:
los um 6:58 Uhr, an um 7:30 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ein Zaun ist 40 m lang. Alle 10 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?

Schritt für Schritt

Abstände: 40 : 10 = 4
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
4 + 1 = 5

Abstände: 40 : 10 = 4
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
4 + 1 = 5

Ergebnis:

5 Zaunpfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Entlang eines Weges stehen 5 Zaunpfähle im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
So fängst du an:
5 Zaunpfähle haben 4 Abstände dazwischen.
Lösung zeigen
1. 5 Zaunpfähle haben 4 Abstände dazwischen.
2. 4 · 4 m = 16 m
Ergebnis:
16 m
●8
Entlang eines Weges stehen 12 Zaunpfähle im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 12 Zaunpfähle haben 11 Abstände dazwischen.
2. 11 · 4 m = 44 m
Ergebnis:
44 m
★9
Ein Zaun ist 220 m lang. Alle 10 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 220 : 10 = 22
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 22 + 1 = 23
Ergebnis:
23 Zaunpfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Tom kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Tom 3 € geschenkt und hat jetzt 21 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 21 € − 3 € = 18 €
Dann den Kauf: 18 € + 10 € = 28 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 21 € − 3 € = 18 €
Dann den Kauf: 18 € + 10 € = 28 €

Ergebnis:

28 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Lina kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Lina 9 € geschenkt und hat jetzt 29 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 29 € − 9 € = 20 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 29 € − 9 € = 20 €
2. Dann den Kauf: 20 € + 8 € = 28 €
Ergebnis:
28 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Sofia braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:16 Uhr.
2. Noch 19 Minuten früher: 14:57 Uhr.
Ergebnis:
14:57 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Emma braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 17 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:55 Uhr.
2. Noch 17 Minuten früher: 15:38 Uhr.
Ergebnis:
15:38 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 10 Fahrzeuge mit 24 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
6 Fahrräder und 4 Dreiräder: 6 · 2 + 4 · 3 = 24

Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
6 Fahrräder und 4 Dreiräder: 6 · 2 + 4 · 3 = 24

Ergebnis:

4 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa zählt Jonas 5 Tische und 26 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Vierertische und 3 Sechsertische: 2 · 4 + 3 · 6 = 26
Ergebnis:
2 Vierertische, 3 Sechsertische
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 7 Tiere mit 18 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 5 Hühner und 2 Kaninchen: 5 · 2 + 2 · 4 = 18
Ergebnis:
2 Kaninchen
★15
Auf einem Hof zählt Ben 10 Tiere und 28 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Hühner und 4 Kaninchen: 6 · 2 + 4 · 4 = 28
Ergebnis:
6 Hühner, 4 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Tennisball kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Bällen kostet 14,70 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bälle braucht?

Schritt für Schritt

6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
Packung: 14,70 €
Die Packung ist günstiger.

6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
Packung: 14,70 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Tennisball kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Bällen kostet 8,00 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bälle braucht?
So fängst du an:
6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
2. Packung: 8,00 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,33 €
★18
Eine Fahrt kostet 2,80 €. Eine Monatskarte kostet 58,00 €. Ben fährt im Monat 22-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 22 · 2,80 € = 61,60 €
2. Monatskarte: 58,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 445 €. Der Förderverein gibt 81 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 4 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?

Schritt für Schritt

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 445 € + 81 € = 526 €; Kosten: 30 · 4 € = 120 €
526 € − 120 € = 406 €

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 445 € + 81 € = 526 €; Kosten: 30 · 4 € = 120 €
526 € − 120 € = 406 €

Ergebnis:

406 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
Die 5c mit 25 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 200 € für alle zusammen, der Eintritt 9 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 200 € : 25 = 8 €
3. 8 € + 9 € = 17 €
Ergebnis:
17 €
●20
In der Klassenkasse sind 341 €. Der Förderverein gibt 67 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 3 € für jedes der 28 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 341 € + 67 € = 408 €; Kosten: 28 · 3 € = 84 €
3. 408 € − 84 € = 324 €
Ergebnis:
324 €
★21
Die 5c mit 25 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 225 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 225 € : 25 = 9 €
3. 9 € + 5 € = 14 €
Ergebnis:
14 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je ein Heft für 6 €. Dazu kommt eine Mappe für 6 € für alle.“
(A) 4 · 6 + 6
(B) 4 + 6 · 6
(C) 4 · (6 + 6)

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 4 · 6 + 6 = 30
Richtig ist A.

Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 4 · 6 + 6 = 30
Richtig ist A.

Ergebnis:

A: 4 · 6 + 6

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · (12 + 7)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „3 Kinder kaufen je ein Heft für 12 € und je eine Mappe für 7 €.“
(B) „3 Kinder kaufen je ein Heft für 12 €. Dazu kommt eine Mappe für 7 € für alle.“
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
2. Passend ist A.
3. 3 · (12 + 7) = 57
Ergebnis:
A, 57 €
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · (15 + 5)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 15 € und je eine Pumpe für 5 €.“
(B) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 15 €. Dazu kommt eine Pumpe für 5 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
2. Passend ist A.
3. 8 · (15 + 5) = 160
Ergebnis:
A, 160 €
★24
Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · (20 + 6)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 20 € und je eine Mappe für 6 €.“
(B) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 20 €. Dazu kommt eine Mappe für 6 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
2. Passend ist A.
3. 5 · (20 + 6) = 130
Ergebnis:
A, 130 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 29 Tore geschossen. Zum Finale kamen 231 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 11 Spiele.
2. 15 − 11 = 4
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●26
In der Klasse sind 20 Kinder. Sie spielen in 5 gleich großen Teams, wer übrig bleibt, pfeift. Wie viele Kinder pfeifen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. 20 : 5 = 4
2. 0 Kinder pfeifen.
Ergebnis:
lösbar, 0
●27
Emma ist um 6:48 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Emma auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:51 Uhr.
2. Von 6:48 bis 6:51 Uhr sind es 3 Minuten.
Ergebnis:
3 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 10 Laternen im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 10 Laternen haben 9 Abstände dazwischen.
2. 9 · 5 m = 45 m
Ergebnis:
45 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Emma an 3. Stelle von vorn und an 11. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 2 Kinder, dann Emma, dahinter 10 Kinder.
2. 2 + 1 + 10 = 13
Ergebnis:
13 Kinder
●30
Ben kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Ben 7 € geschenkt und hat jetzt 27 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 7 € = 20 €
2. Dann den Kauf: 20 € + 15 € = 35 €
Ergebnis:
35 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
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22 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 15 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
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Ergebnis:
154 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
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Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
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Ergebnis:
27 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
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Ein Weg ist 24 m lang. Alle 2 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
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Ergebnis:
13 Laternen
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
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Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Hanna braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 23 Minuten für den Weg. Wann muss Hanna spätestens von zu Hause los?
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Ergebnis:
14:54 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
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Auf einem Hof zählt Aylin 10 Tiere und 30 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
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Ergebnis:
5 Hühner, 5 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
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Ein Müsliriegel kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 9,00 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?
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Ergebnis:
die Packung
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
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In der Klassenkasse sind 458 €. Der Förderverein gibt 46 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 4 € für jedes der 22 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
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Ergebnis:
416 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
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Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · (14 + 3)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 14 € und je eine Pumpe für 3 €.“
(B) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 14 €. Dazu kommt eine Pumpe für 3 € für alle.“
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Ergebnis:
A, 85 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

120 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
207 €, die Filmdauer brauche ich nicht
704 km
18 Minuten
den um 6:52 Uhr
los um 6:58 Uhr, an um 7:30 Uhr
16 m
44 m
23 Zaunpfähle
28 €
14:57 Uhr
15:38 Uhr
2 Vierertische, 3 Sechsertische
2 Kaninchen
6 Hühner, 4 Kaninchen
die Packung
1,33 €
Ja
17 €
324 €
14 €
A, 57 €
A, 160 €
A, 130 €
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
lösbar, 0
3 Minuten
45 m
13 Kinder
35 €
154 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
27 Minuten
13 Laternen
14:54 Uhr
5 Hühner, 5 Kaninchen
die Packung
416 €
A, 85 €
8:30 Uhr
15.000 m